Contrôle de maths 4ème : patrons et repérage dans un pavé droit

Exercice 1 : Est-ce un patron ? (3 points)

Calculatrice autorisée.

Voici quatre figures découpées dans du carton.

1. Pour chacune des figures 1, 2, 3 et 4, dis si c’est le patron d’un solide et, si oui, donne le nom de ce solide. (2 points)
2. Explique pourquoi la figure 3 ne peut pas être le patron d’une pyramide, puis indique ce qu’il faudrait lui ajouter. (1 point)

Exercice 2 : Patron d’une pyramide régulière (4 points)

\(SABCD\) est une pyramide régulière : sa base \(ABCD\) est un carré de côté \(4\text{ cm}\) et ses quatre arêtes latérales mesurent \(5\text{ cm}\).

1. Construis un patron de cette pyramide en vraie grandeur. Laisse les traits de construction apparents. (2 points)
2. On appelle \(I\) le milieu de \([AB]\). Explique pourquoi le triangle \(SAI\) est rectangle en \(I\), puis calcule \(SI\), arrondi au millimètre. (1 point)
3. Calcule l’aire totale des quatre faces latérales, arrondie au dixième de \(\text{cm}^2\). (1 point)

Exercice 3 : Patron d’un cône (4 points)

Un chapeau pointu a la forme d’un cône de révolution de sommet \(S\). Le rayon de sa base est \(OM = 3\text{ cm}\) et sa génératrice mesure \(SM = 5\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule la hauteur \(SO\) du cône. (1,5 point)
2. Le patron du cône est formé d’un disque et d’un secteur de disque de rayon \(5\text{ cm}\). Explique pourquoi la longueur de l’arc de ce secteur est égale au périmètre de la base, puis calcule-la en valeur exacte et au millimètre près. (1 point)
3. La longueur d’un arc est proportionnelle à l’angle du secteur. Sachant qu’un cercle complet de rayon \(5\text{ cm}\) correspond à \(360^\circ\), calcule l’angle du secteur. (1,5 point)

Exercice 4 : Se repérer dans un pavé droit (5 points)

\(ABCDEFGH\) est un pavé droit tel que \(AB = 6\text{ cm}\), \(AD = 4\text{ cm}\) et \(AE = 3\text{ cm}\). On repère chaque point par trois nombres (abscisse ; ordonnée ; altitude) : l’origine est \(A\), l’abscisse se lit sur \([AB]\), l’ordonnée sur \([AD]\) et l’altitude sur \([AE]\), en centimètres. Par exemple, \(D\) a pour coordonnées \((0 \,;\, 4 \,;\, 0)\).

1. Donne les coordonnées des points \(B\), \(C\), \(F\), \(G\) et \(H\). (2,5 points)
2. Le point \(M\) a pour coordonnées \((6 \,;\, 2 \,;\, 0)\) et le point \(N\) a pour coordonnées \((3 \,;\, 2 \,;\, 3)\). Place-les sur la figure et décris leur position dans le pavé. (1,5 point)
3. Où se trouvent le point \(P\,(3 \,;\, 0 \,;\, 3)\) et le point \(K\,(6 \,;\, 4 \,;\, 1{,}5)\) ? Réponds par une phrase pour chacun. (1 point)

Exercice 5 : Problème : une tige dans une boîte (4 points)

Zoé range une tige de bambou rigide de \(52\text{ cm}\) dans une boîte en forme de pavé droit \(ABCDEFGH\), avec \(AB = 40\text{ cm}\), \(BC = 30\text{ cm}\) et \(AE = 20\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule la longueur de la diagonale \([AC]\) du fond de la boîte. (1,5 point)
2. Calcule la longueur de la diagonale \([BG]\) de la face \(BCGF\), arrondie au millimètre. (1 point)
3. La tige peut-elle être posée à plat sur le fond de la boîte ? Peut-elle être placée dans la boîte le long du segment \([AG]\) ? On admet que le triangle \(ACG\) est rectangle en \(C\), car l’arête \([CG]\) est perpendiculaire au fond. Justifie. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : patrons et repérage dans un pavé droit

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Pyramides et cônes » en 4ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés volumes de pyramides et cônes.

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