Corrigé du contrôle de maths 3ème : fonctions linéaires et pourcentages

Exercice 1 : Questions flash (3 points)

1. \(f(4) = -2{,}5 \times 4 = -10\). L’image de 4 par \(f\) est \(-10\).
2. Augmenter de \(20\,\%\), c’est multiplier par \(1 + \frac{20}{100} = 1{,}2\). Baisser de \(15\,\%\), c’est multiplier par \(1 – \frac{15}{100} = 0{,}85\). Les coefficients multiplicateurs sont \(1{,}2\) et \(0{,}85\).
3. Le coefficient multiplicateur est \(\frac{60}{50} = 1{,}2\), et \(1{,}2 = 1 + \frac{20}{100}\). On peut aussi calculer l’augmentation : \(60 – 50 = 10\) € et \(\frac{10}{50} = 0{,}2 = 20\,\%\). Le prix a augmenté de \(20\,\%\).

Barème : 1 point par question (0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat). En b), 0,5 point par coefficient.

Exercice 2 : Le prix du fromage (4 points)

1. On calcule le prix d’un kilogramme pour chaque client :
   \(\frac{9}{0{,}5} = 18\) ; \(\frac{21{,}6}{1{,}2} = 18\) ; \(\frac{36}{2} = 18\).
   Les quotients sont tous égaux à 18, donc le prix payé est proportionnel à la masse (le comté coûte 18 € le kg).
2. Le prix s’obtient en multipliant la masse par 18. \(p(x) = 18x\) : \(p\) est une fonction linéaire de coefficient 18.
3. \(p(3{,}5) = 18 \times 3{,}5 = 63\). \(3{,}5\) kg de comté coûtent 63 €.
4. On cherche \(x\) tel que \(18x = 27\), donc \(x = \frac{27}{18} = 1{,}5\). Ilyes a acheté \(1{,}5\) kg de comté.

Erreur fréquente : en d), calculer \(p(27) = 486\). On connaît ici le prix, pas la masse : on cherche un antécédent, donc on divise par le coefficient.

Barème : a) 0,5 point pour les trois quotients, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour l’expression, 0,5 point pour « linéaire » ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour l’équation ou la division, 0,5 point pour \(1{,}5\) kg.

Exercice 3 : Deux droites dans un repère (4 points)

1. \(f(x) = 1{,}5x\) est de la forme \(ax\) avec \(a = 1{,}5\) : \(f\) est une fonction linéaire. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
   Pour la tracer, il suffit d’un second point : \(f(2) = 1{,}5 \times 2 = 3\), donc la droite passe par \(O(0 \,;\, 0)\) et par le point \((2 \,;\, 3)\) (droite rouge ci-dessus).
2. Sur la droite (d), le point d’abscisse 4 a pour ordonnée \(-2\) (pointillés bleus), donc \(h(4) = -2\).
   \(h\) est linéaire, donc \(h(x) = ax\) avec \(a = \frac{h(4)}{4} = \frac{-2}{4} = -0{,}5\).
   Le coefficient de \(h\) est \(-0{,}5\) et \(h(x) = -0{,}5x\).
3. \(f(6) = 1{,}5 \times 6 = 9\) : c’est l’ordonnée de \(A\). Le point \(A\) appartient à la représentation graphique de \(f\).
   \(f(-3) = 1{,}5 \times (-3) = -4{,}5\) et \(-4{,}5 \neq 4\). Le point \(B\) n’appartient pas à la représentation graphique de \(f\).

Erreur fréquente : en b), lire le coefficient comme l’ordonnée du point d’abscisse 1 sans vérifier le signe : la droite descend, le coefficient est donc négatif.

Barème : a) 0,5 point pour la justification (fonction linéaire), 1 point pour le tracé passant par O et un point correct ; b) 0,5 point pour \(h(4) = -2\), 0,5 point pour le coefficient, 0,5 point pour l’expression ; c) 0,5 point par point étudié avec calcul.

Exercice 4 : Soldes et prix affichés (4 points)

1. Une baisse de \(15\,\%\) correspond au coefficient multiplicateur \(0{,}85\).
   \(480 \times 0{,}85 = 408\). Le vélo soldé coûte 408 €.
2. Pour tout prix \(x\), le prix soldé est \(x \times 0{,}85\). \(s(x) = 0{,}85x\) : \(s\) est une fonction linéaire de coefficient \(0{,}85\).
3. On cherche \(x\) tel que \(0{,}85x = 238\), donc \(x = \frac{238}{0{,}85} = 280\).
   Vérification : \(280 \times 0{,}85 = 238\). La trottinette coûtait 280 € avant les soldes.
4. Le prix affiché est le prix hors taxe multiplié par \(1{,}2\). On cherche \(x\) tel que \(1{,}2x = 45\), donc \(x = \frac{45}{1{,}2} = 37{,}5\). Le prix hors taxe du casque est \(37{,}50\) €.

Erreur fréquente : en c), ajouter \(15\,\%\) à 238 € : \(238 \times 1{,}15 = 273{,}70\) €, ce qui est faux, car les \(15\,\%\) portent sur le prix de départ, pas sur le prix soldé.

Barème : a) 0,5 point pour le coefficient ou la méthode, 0,5 point pour 408 € ; b) 0,5 point pour l’expression, 0,5 point pour la nature ; c) 0,5 point pour la division par \(0{,}85\), 0,5 point pour 280 € ; d) 0,5 point pour la division par \(1{,}2\), 0,5 point pour \(37{,}50\) €.

Exercice 5 : Une action en bourse (5 points)

1. Une hausse de \(20\,\%\) correspond au coefficient \(1{,}2\) : \(250 \times 1{,}2 = 300\). Fin janvier, l’action vaut 300 €.
2. Une baisse de \(20\,\%\) correspond au coefficient \(0{,}8\) : \(300 \times 0{,}8 = 240\). Fin février, l’action vaut 240 €.
3. 240 € n’est pas égal à 250 €, donc Lina a tort.
   Le coefficient multiplicateur global est \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\), et \(0{,}96 = 1 – \frac{4}{100}\).
   Sur les deux mois, l’action a baissé de \(4\,\%\) : Lina a tort. La baisse de février porte sur 300 €, une valeur plus grande que 250 €, donc elle fait perdre plus que ce que la hausse avait fait gagner.
4. On cherche le coefficient \(c\) tel que \(240 \times c = 250\), donc \(c = \frac{250}{240} \approx 1{,}041\,67\).
   \(1{,}041\,67 = 1 + \frac{4{,}167}{100}\) environ. En mars, l’action a augmenté d’environ \(4{,}17\,\%\).

Erreur fréquente : répondre \(20\,\% – 20\,\% = 0\,\%\) en c), ou \(4\,\%\) en d). Les pourcentages successifs ne s’ajoutent pas : on multiplie les coefficients.

Barème : a) 1 point ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour « Lina a tort » justifié, 0,5 point pour le coefficient \(0{,}96\), 0,5 point pour la baisse de \(4\,\%\) ; d) 0,5 point pour l’équation ou le quotient \(\frac{250}{240}\), 0,5 point pour le coefficient, 0,5 point pour \(4{,}17\,\%\).

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Après le corrigé du contrôle : fonctions linéaires et pourcentages

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