Corrigé du contrôle de maths 3ème : mise en équation et inéquations

Exercice 1 : Automatismes (3 points)

1. \(5x – 7 = 18\)
   \(5x = 18 + 7\)
   \(5x = 25\)
   \(x = \frac{25}{5} = 5\)
   L’équation a donc pour solution 5.
2. On développe d’abord le membre de gauche, puis on isole \(x\).
   \(3(x + 2) = 2x – 5\)
   \(3x + 6 = 2x – 5\)
   \(3x – 2x = -5 – 6\)
   \(x = -11\)
   Vérifions ensuite : \(3 \times (-11 + 2) = 3 \times (-9) = -27\). De même, \(2 \times (-11) – 5 = -22 – 5 = -27\).
   Ainsi, l’équation a pour solution \(-11\).
3. On remplace \(x\) par \(-2\) dans chaque membre.
   D’abord, \(4 \times (-2) + 3 = -8 + 3 = -5\). Puis \(-2 – 2 = -4\).
   Or \(-5 < -4\), donc l’inégalité est vraie.
   Ainsi, \(-2\) est bien une solution de l’inéquation.

Barème : a) 1 point (0,5 pour la méthode, 0,5 pour la solution). Puis la b) vaut 1 point (0,5 pour le développement correct, 0,5 pour la solution). Enfin, la c) vaut 1 point : 0,5 point pour les deux calculs, 0,5 point pour la comparaison et la conclusion.

Exercice 2 : Inéquations et droite graduée (4 points)

1. \(7 – 2x \geq\, 1\)
   \(-2x \geq\, 1 – 7\)
   \(-2x \geq\, -6\)
   On divise par \(-2\), qui est négatif : le sens de l’inégalité change donc.
   Ainsi, \(x \leq\, \frac{-6}{-2}\), soit \(x \leq\, 3\).
   Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 3.
2. \(3x – 4 > x + 6\)
   \(3x – x > 6 + 4\)
   \(2x > 10\)
   On divise par 2, qui est positif : le sens ne change donc pas.
   Alors \(x > 5\).
   Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 5.
3. Les solutions sont à droite de 5, et 5 n’est pas une solution. Le crochet en 5 doit donc être tourné vers l’extérieur de la partie colorée, c’est-à-dire « ] ».
   La représentation A contient 5 (crochet tourné vers la partie colorée) : elle correspond donc à \(x \geq\, 5\). Quant à la représentation C, elle colore les nombres inférieurs à 5 et correspond à \(x < 5\).
   C’est donc la représentation B.

4. Question d : résoudre et représenter

   \(5 – 3x \leq\, 2x – 15\)
   \(-3x – 2x \leq\, -15 – 5\)
   \(-5x \leq\, -20\)
   On divise par \(-5\), négatif : le sens change.
   Ainsi, \(x \geq\, \frac{-20}{-5}\), soit \(x \geq\, 4\).
   Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 4 ; 4 est une solution, donc le crochet est tourné vers la partie colorée :

Erreur fréquente : oublier de changer le sens de l’inégalité en divisant par un nombre négatif. On obtient alors \(x \leq\, 4\) au lieu de \(x \geq\, 4\). Pour contrôler, prends par exemple \(x = 10\) : \(5 – 30 = -25\) et \(20 – 15 = 5\), et on a bien \(-25 \leq\, 5\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour les étapes, 0,5 pour le changement de sens). Puis la b) vaut 1 point. Ensuite, la c) vaut 1 point : 0,5 point pour B, 0,5 point pour l’explication. Enfin, la d) vaut 1 point : 0,5 point pour \(x \geq\, 4\), 0,5 point pour la représentation avec le bon crochet.

Exercice 3 : Deux programmes de calcul (4 points)

1. Programme A : \(3 \times 4 = 12\) puis \(12 – 3 = 9\). Le programme A donne bien 9.
   Programme B : \(3 + 5 = 8\) puis \(8 \times 2 = 16\).
   Avec 3, le programme B donne donc 16.
2. Programme A : \(x \times 4 – 3 = 4x – 3\).
   Programme B : \((x + 5) \times 2 = 2x + 10\).
   Ainsi, A donne \(4x – 3\) et B donne \(2x + 10\).
3. On résout \(4x – 3 = 2x + 10\) :
   \(4x – 2x = 10 + 3\)
   \(2x = 13\)
   \(x = 6{,}5\)
   Vérifions ensuite : \(6{,}5 \times 4 – 3 = 26 – 3 = 23\). Puis \((6{,}5 + 5) \times 2 = 11{,}5 \times 2 = 23\).
   Il faut choisir \(6{,}5\) : les deux programmes donnent alors 23.
4. On résout \(4x – 3 > 2x + 10\) :
   \(2x > 13\)
   \(x > 6{,}5\) (on divise par 2, positif, le sens ne change pas).
   Le programme A donne donc un résultat plus grand pour tous les nombres strictement supérieurs à \(6{,}5\).

Barème : a) 1 point (0,5 par programme). Puis la b) vaut 1 point (0,5 par expression). Ensuite, la c) vaut 1 point : 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la solution. Enfin, la d) vaut 1 point : 0,5 point pour l’inéquation, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 4 : Inès et sa mère (3 points)

1. Dans \(x\) années, Inès aura \(12 + x\) ans et sa mère aura \(40 + x\) ans.
   Or l’âge de la mère doit être le double de celui d’Inès :
   \(40 + x = 2(12 + x)\)
2. On développe d’abord le membre de droite, puis on isole \(x\).
   \(40 + x = 24 + 2x\)
   \(40 – 24 = 2x – x\)
   \(16 = x\)
   Ainsi, l’équation a pour solution 16.
3. Vérifions : dans 16 ans, Inès aura \(12 + 16 = 28\) ans et sa mère \(40 + 16 = 56\) ans. Or \(2 \times 28 = 56\).
   Donc, dans 16 ans, la mère d’Inès aura le double de l’âge de sa fille.

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour les deux âges, 0,5 point pour l’équation. Ensuite, la b) vaut 1,5 point : 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour les étapes, 0,5 point pour la solution. Enfin, la c) vaut 0,5 point pour la phrase-réponse avec la vérification.

Exercice 5 : Les tarifs de la piscine (3 points)

1. Tarif Libre : \(12 \times 6 = 72\) €.
   Tarif Abonné : \(40 + 12 \times 3{,}50 = 40 + 42 = 82\) €.
   Ainsi, pour 12 entrées, on paie 72 € au Tarif Libre et 82 € au Tarif Abonné.
2. Tarif Libre : \(6x\) ; Tarif Abonné : \(40 + 3{,}5x\).
3. Le Tarif Abonné est strictement plus avantageux lorsque \(40 + 3{,}5x < 6x\).
   \(40 < 6x – 3{,}5x\)
   \(40 < 2{,}5x\)
   Donc \(x > \frac{40}{2{,}5}\), soit \(x > 16\).
   Pour 16 entrées, les deux tarifs coûtent \(96\) €. En effet, \(16 \times 6 = 96\) et \(40 + 16 \times 3{,}5 = 40 + 56 = 96\). Puis, pour 17 entrées : \(102\) € contre \(99{,}50\) €.
   Le Tarif Abonné est plus avantageux à partir de 17 entrées.

Erreur fréquente : répondre « 16 entrées ». En effet, pour 16 entrées les deux tarifs sont égaux : l’abonnement n’est donc pas encore strictement plus avantageux. De plus, le nombre d’entrées est un nombre entier.

Barème : a) 0,5 point (les deux prix justes). Puis la b) vaut 1 point (0,5 par expression). Enfin, la c) vaut 1,5 point : 0,5 point pour l’inéquation, 0,5 point pour sa résolution, 0,5 point pour la conclusion « 17 entrées ».

Exercice 6 : Même périmètre (3 points)

1. Périmètre du rectangle : \(2 \times (x + 4) + 2 \times x = 2x + 8 + 2x = 4x + 8\).
   Le triangle équilatéral a trois côtés de longueur \(x + 6\) : \(3 \times (x + 6) = 3x + 18\).
   Périmètre du rectangle : \(4x + 8\) ; périmètre du triangle : \(3x + 18\).
2. On résout \(4x + 8 = 3x + 18\) :
   \(4x – 3x = 18 – 8\)
   \(x = 10\)
   Alors \(4 \times 10 + 8 = 48\) et \(3 \times 10 + 18 = 48\).
   Ainsi, pour \(x = 10\), les deux figures ont le même périmètre, 48 cm.
3. On résout \(4x + 8 \leq\, 3x + 18\) :
   \(4x – 3x \leq\, 18 – 8\)
   \(x \leq\, 10\)
   De plus, \(x\) est une longueur, donc il est positif.
   Le périmètre du rectangle est donc inférieur ou égal à celui du triangle lorsque \(x\) est compris entre 0 et 10 (10 compris).

Barème : a) 1 point (0,5 par périmètre). Ensuite, la b) vaut 1 point : 0,5 point pour l’équation résolue, 0,5 point pour le périmètre de 48 cm. Enfin, la c) vaut 1 point : 0,5 point pour l’inéquation, 0,5 point pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : mise en équation et inéquations

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