Contrôle de maths Terminale : équations et inéquations avec ln

Exercice 1 : Propriétés algébriques du logarithme (4 points)

Calculatrice autorisée, mais les résultats demandés sous forme exacte doivent être justifiés sans elle.

1. Écrire \(A = \ln 72\) en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\). (1 point)
2. Écrire \(B = \ln(\frac{1}{16}) + \ln\sqrt{27}\) en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\). (1 point)
3. Simplifier \(C = \ln(e^3) – \ln(\frac{e}{2})\). (1 point)
4. Calculer \(D = e^{2\ln 3} – \ln(e^{-2})\). (1 point)

Exercice 2 : Résoudre des équations (5 points)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, en précisant d’abord, s’il y a lieu, l’ensemble sur lequel l’équation a un sens.

1. \(\ln(2x – 1) = 0\) (1 point)
2. \(\ln(x + 3) + \ln(x – 1) = \ln 12\) (1,5 point)
3. \(e^{2x} – 5e^x + 6 = 0\) (on pourra poser \(X = e^x\)) (1,5 point)
4. \((\ln x)^2 – \ln x – 2 = 0\) (1 point)

Exercice 3 : Résoudre des inéquations (4 points)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes, en précisant l’ensemble sur lequel elles ont un sens. Donner les solutions sous forme d’intervalle.

1. \(\ln(3 – x) \leq\, 0\) (1 point)
2. \(\ln x > \ln(4 – x)\) (1 point)
3. \(e^{3x – 1} \geq\, 5\) (valeur exacte, puis arrondi au centième) (1 point)
4. \(2\ln x \leq\, \ln(x + 6)\) (1 point)

Exercice 4 : Limites avec ln (3 points)

Déterminer les limites suivantes en justifiant.

1. \(\lim_{x \to +\infty} (2 – 3\ln x)\) (0,5 point)
2. \(\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{x}\) (1 point)
3. \(\lim_{x \to +\infty} \ln(1 + \frac{1}{x})\) (0,5 point)
4. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\), en reconnaissant un nombre dérivé. (1 point)

Exercice 5 : Élimination d’un médicament (4 points)

On injecte à Samir une dose de 50 mg d’un médicament. Chaque heure, son organisme élimine 20 % de la quantité de médicament présente dans le sang. On note \(q_n\) la quantité de médicament, en mg, présente \(n\) heures après l’injection ; ainsi \(q_0 = 50\).

1. Justifier que \(q_{n+1} = 0{,}8\,q_n\), puis que \(q_n = 50 \times 0{,}8^n\) pour tout entier naturel \(n\). (1 point)
2. Calculer la quantité de médicament présente 3 heures après l’injection. (0,5 point)
3. Le médicament est considéré comme éliminé lorsque la quantité présente est strictement inférieure à 1 % de la dose injectée, soit \(0{,}5\) mg. Montrer que cela revient à résoudre \(0{,}8^n < 0{,}01\), puis déterminer par le calcul le plus petit entier \(n\) qui convient. (2 points)
4. Au bout de combien d’heures entières la quantité présente est-elle pour la première fois inférieure ou égale à la moitié de la dose injectée ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : équations et inéquations avec ln

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La fonction logarithme népérien » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés logarithmes.

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