Brevet de maths 2020 en Amérique du Nord (septembre) : sujet et corrigé

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2020
Amérique du Nord — 14 septembre 2020
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (20 points)

La figure ci-dessous est dessinée à main levée. On donne les informations suivantes :

• ABC est un triangle tel que : AC = 10,4 cm, AB = 4 cm et BC = 9,6 cm ;
• les points A, L et C sont alignés ;
• les points B, K et C sont alignés ;
• la droite (KL) est parallèle à la droite (AB) ;
• CK = 3 cm.

1. À l’aide d’instruments de géométrie, construire la figure en vraie grandeur sur la copie en laissant apparents les traits de construction.

2. Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.

3. Calculer la longueur CL en cm.

4. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle \(\widehat{\text{CAB}}\), au degré près.

Exercice 2 (15 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées, une seule d’entre elles est exacte.

Pour chacune des cinq questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

On rappelle que toute réponse doit être justifiée.

Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne retire pas de point.

Exercice 3 (18 points)

Dans cet exercice, le carré ABCD n’est pas représenté en vraie grandeur.

Aucune justification n’est attendue pour les questions 1. et 2. On attend des réponses justifiées pour la question 3.

1. On considère le carré ABCD de centre O représenté ci-dessous, partagé en quatre polygones superposables, numérotés ①, ②, ③ et ④.

a. Quelle est l’image du polygone ① par la symétrie centrale de centre O ?

b. Quelle est l’image du polygone ④ par la rotation de centre O qui transforme le polygone ① en le polygone ② ?

2. La figure ci-dessous est une partie de pavage dont un motif de base est le carré ABCD de la question 1.

Quelle transformation partant du polygone ① permet d’obtenir le polygone ⑤ ?

3. On souhaite faire imprimer ces motifs sur un tissu rectangulaire de longueur 315 cm et de largeur 270 cm.

On souhaite que le tissu soit entièrement recouvert par les carrés identiques à ABCD, sans découpe et de sorte que le côté du carré mesure un nombre entier de centimètres.

a. Montrer qu’on peut choisir des carrés de 9 cm de côté.

b. Dans ce cas, combien de carrés de 9 cm de côté seront imprimés sur le tissu ?

Exercice 4 (24 points)

Voici la série des temps exprimés en secondes, et réalisés par des nageuses lors de la finale du 100 mètres féminin nage libre lors des championnats d’Europe de natation de 2018 :

1. La nageuse française, Charlotte BONNET, est arrivée troisième à cette finale. Quel est le temps, exprimé en secondes, de cette nageuse ?

2. Quelle est la vitesse moyenne, exprimée en m/s, de la nageuse ayant parcouru les 100 mètres en 52,93 secondes ? Arrondir au dixième près.

3. Comparer moyenne et médiane des temps de cette série.

Sur une feuille de calcul, on a reporté le classement des dix premiers pays selon le nombre de médailles d’or lors de ces championnats d’Europe de natation, toutes disciplines confondues :

4. Est-il vrai qu’à elles deux, la Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu autant de médailles d’or que la Russie ?

5. Est-il vrai que plus de 35 % des médailles remportées par la France sont des médailles d’or ?

6. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule F2 de cette feuille de calcul, avant qu’elle soit étirée vers le bas jusqu’à la cellule F11 ?

Exercice 5 (23 points)

On dispose de deux urnes :

• une urne bleue contenant trois boules bleues numérotées : ②, ③ et ④.
• une urne rouge contenant quatre boules rouges numérotées : ②, ③, ④ et ⑤.

Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher et ont la même probabilité d’être tirées.

On s’intéresse à l’expérience aléatoire suivante :

« On tire au hasard une boule bleue et on note son numéro, puis on tire au hasard une boule rouge et on note son numéro. »

Exemple : si on tire la boule bleue numérotée ③, puis la boule rouge numérotée ④, le tirage obtenu sera noté \((3\,;\,4)\).

On précise que le tirage \((3\,;\,4)\) est différent du tirage \((4\,;\,3)\).

1. On définit les deux évènements suivants :

« On obtient deux nombres premiers » et « La somme des deux nombres est égale à 12 »

a. Pour chacun des deux évènements précédents, dire s’il est possible ou impossible lorsqu’on effectue l’expérience aléatoire.

b. Déterminer la probabilité de l’évènement « On obtient deux nombres premiers ».

2. On obtient un « double » lorsque les deux boules tirées portent le même numéro.

Justifier que la probabilité d’obtenir un « double » lors de cette expérience, est \(\dfrac{1}{4}\).

3. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.

On souhaite simuler cette expérience 1 000 fois.

Pour cela, on a commencé à écrire un programme, à ce stade, encore incomplet. Voici des copies d’écran :

a. Par quels nombres faut-il remplacer les lettres A, B et C ?

b. Dans le script principal, indiquer où placer le bloc

c. Dans le script principal, indiquer où placer le bloc

d. On souhaite obtenir la fréquence d’apparition du nombre de « doubles » obtenus.

Parmi les instructions ci-dessous, laquelle faut-il placer à la fin du script principal après la boucle « répéter » ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Construction en vraie grandeur. On commence par le plus grand côté : on trace le segment [AC] de longueur 10,4 cm. Au compas, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de cercle de centre C et de rayon 9,6 cm : leur point d’intersection est le point B. On place ensuite K sur le segment [CB] à 3 cm de C (arc de centre C et de rayon 3 cm). Enfin, on trace la parallèle à (AB) passant par K (avec la règle et l’équerre, en faisant glisser l’équerre, ou avec la perpendiculaire à (BC) en K puisque, comme on va le voir, (AB) est perpendiculaire à (BC)) : elle coupe [AC] en L. On laisse les arcs de cercle visibles.

2. Le plus grand côté est [AC]. On calcule séparément :

\[ \text{AC}^2 = 10{,}4^2 = 108{,}16 \]

\[ \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 4^2 + 9{,}6^2 = 16 + 92{,}16 = 108{,}16 \]

On constate que \(\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (B est le sommet opposé au plus grand côté).

3. Les points C, K, B d’une part et C, L, A d’autre part sont alignés, et les droites (KL) et (AB) sont parallèles. Le triangle CKL est donc une réduction du triangle CBA et, d’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{\text{CK}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CL}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{KL}}{\text{BA}} \]

On utilise la première égalité : \(\dfrac{3}{9{,}6} = \dfrac{\text{CL}}{10{,}4}\), d’où, par produit en croix :

\[ \text{CL} = \dfrac{3 \times 10{,}4}{9{,}6} = \dfrac{31{,}2}{9{,}6} = 3{,}25 \]

Donc CL = 3,25 cm.

4. Le triangle ABC est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{\text{CAB}}\), le côté [AB] est le côté adjacent et [AC] l’hypoténuse. On utilise donc le cosinus :

\[ \cos \widehat{\text{CAB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{4}{10{,}4} \]

La calculatrice (touche « arccos » ou \(\cos^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{CAB}} \approx 67{,}38^\circ\), soit \(\widehat{\text{CAB}} \approx 67^\circ\) au degré près.

Exercice 2 :

1. Si l’arête du cube mesure \(a\), son volume est \(a^3\). Avec une arête de \(3a\), le volume devient \((3a)^3 = 3^3 \times a^3 = 27a^3\). Dans un agrandissement de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\). Réponse D : 27.

2. On remplace \(x\) par \(-4\) en n’oubliant pas les parenthèses :

\[ (-4)^2 + 3 \times (-4) + 4 = 16 – 12 + 4 = 8 \]

Réponse A : 8.

3. On met les deux fractions au même dénominateur 12 :

\[ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12} \]

La réponse B (0,583) n’est qu’une valeur approchée de \(\dfrac{7}{12} = 0{,}58333\ldots\), elle n’est donc pas égale à la somme. Réponse C : \(\dfrac{7}{12}\).

4. Une notation scientifique s’écrit \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq\, a \lt 10\), ce qui élimine les réponses A et B. Or 1 500 000 000 = 1,5 milliard et un milliard vaut \(10^9\) : \(1\,500\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^9\). Réponse D.

5. On développe avec l’identité remarquable \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\) :

\[ (x-2)(x+2) = x^2 – 2^2 = x^2 – 4 \]

Réponse A : \(x^2-4\).

Exercice 3 :

1. a. La symétrie de centre O est un demi-tour autour de O : le polygone en haut à gauche va en bas à droite. L’image du polygone ① est le polygone ③.

b. La rotation de centre O qui envoie ① (en haut à gauche) sur ② (en haut à droite) est un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre. Par ce même quart de tour, le polygone ④ (en bas à gauche) vient en haut à gauche. L’image du polygone ④ est le polygone ①.

2. Le polygone ⑤ a exactement la même position et la même orientation que ① dans le carré voisin, qui est décalé vers la droite d’une longueur égale au côté du carré. On passe de ① à ⑤ par la translation de vecteur \(\vec{\text{AB}}\) (qui transforme A en B).

3. a. Pour couvrir le tissu sans découpe, il faut placer un nombre entier de carrés dans la longueur et un nombre entier de carrés dans la largeur : le côté du carré doit donc être un diviseur commun de 315 et de 270. Or :

\[ 315 = 9 \times 35 \quad \text{et} \quad 270 = 9 \times 30 \]

9 divise à la fois 315 et 270, on peut donc choisir des carrés de 9 cm de côté : on en place 35 dans la longueur et 30 dans la largeur.

b. Le tissu est recouvert par 35 colonnes de 30 carrés :

\[ 35 \times 30 = 1\,050 \]

1 050 carrés de 9 cm de côté seront imprimés sur le tissu. On peut vérifier avec les aires : \(315 \times 270 = 85\,050\ \text{cm}^2\) et \(85\,050 : 81 = 1\,050\).

Exercice 4 :

1. On range les temps dans l’ordre croissant (le plus petit temps correspond à la première place) :

\[ 52{,}93 \ ;\ 53{,}23 \ ;\ 53{,}35 \ ;\ 53{,}61 \ ;\ 54{,}04 \ ;\ 54{,}07 \ ;\ 54{,}52 \ ;\ 54{,}56 \]

La troisième nageuse est celle qui a le troisième meilleur temps : Charlotte Bonnet a nagé en 53,35 secondes.

2. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée :

\[ v = \dfrac{100\ \text{m}}{52{,}93\ \text{s}} \approx 1{,}889\ \text{m/s} \]

La vitesse moyenne est d’environ 1,9 m/s au dixième près.

3. Moyenne : on additionne les 8 temps et on divise par 8.

\[ \dfrac{53{,}23 + 54{,}04 + 53{,}61 + 54{,}52 + 53{,}35 + 52{,}93 + 54{,}56 + 54{,}07}{8} = \dfrac{430{,}31}{8} \approx 53{,}79\ \text{s} \]

Médiane : la série compte 8 valeurs (nombre pair). Dans la liste rangée de la question 1, la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs :

\[ \dfrac{53{,}61 + 54{,}04}{2} = 53{,}825\ \text{s} \]

Conclusion : la moyenne (environ 53,79 s) et la médiane (53,825 s) sont très proches ; elles valent toutes les deux environ 53,8 s au dixième près, la médiane étant très légèrement supérieure à la moyenne.

4. La Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu ensemble \(13 + 8 = 21\) médailles d’or, alors que la Russie en a obtenu 23. Comme \(21 \neq 23\), c’est faux : elles en ont 2 de moins que la Russie.

5. La France a remporté 12 médailles au total, dont 4 en or. La proportion de médailles d’or est :

\[ \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 \text{, soit environ } 33{,}3\,\% \]

Comme \(33{,}3\,\% \lt 35\,\%\), c’est faux.

6. Le total d’une ligne est la somme des médailles d’or, d’argent et de bronze, c’est-à-dire des cellules C2, D2 et E2. On a pu saisir =SOMME(C2:E2) (ou =C2+D2+E2). En étirant vers le bas, la formule devient automatiquement =SOMME(C3:E3), =SOMME(C4:E4), etc.

Exercice 5 :

Pour tout l’exercice, on peut lister les issues dans un tableau à double entrée : 3 boules bleues et 4 boules rouges donnent \(3 \times 4 = 12\) tirages, tous équiprobables.

1. a. Parmi les numéros 2, 3, 4 et 5, les nombres premiers sont 2, 3 et 5 (4 est divisible par 2). Le tirage \((2\,;\,3)\), par exemple, donne deux nombres premiers : l’évènement « on obtient deux nombres premiers » est possible. En revanche, la plus grande somme possible est \(4 + 5 = 9\), qui est inférieure à 12 : l’évènement « la somme est égale à 12 » est impossible.

b. La boule bleue doit porter 2 ou 3 et la boule rouge 2, 3 ou 5. Les tirages favorables sont \((2\,;\,2)\), \((2\,;\,3)\), \((2\,;\,5)\), \((3\,;\,2)\), \((3\,;\,3)\) et \((3\,;\,5)\), soit 6 tirages sur 12. La probabilité cherchée est \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).

2. Un double n’est possible qu’avec un numéro présent dans les deux urnes : 2, 3 ou 4. Les tirages favorables sont \((2\,;\,2)\), \((3\,;\,3)\) et \((4\,;\,4)\), soit 3 tirages sur 12 équiprobables. La probabilité d’obtenir un double est donc \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\), comme annoncé.

3. a. On veut 1 000 répétitions, et les numéros vont de 2 à 4 dans l’urne bleue et de 2 à 5 dans l’urne rouge. A = 1 000, B = 4 et C = 5.

b. Il faut effectuer un nouveau tirage à chaque répétition, avant de tester s’il s’agit d’un double. Le bloc « Tirer deux boules » se place dans la boucle « répéter », juste avant le bloc « si … alors ».

c. Le compteur doit être remis à zéro une seule fois, au début. Le bloc « mettre Nombre de doubles à 0 » se place juste après « quand drapeau vert est cliqué », avant la boucle « répéter ».

d. La fréquence est le nombre de doubles divisé par le nombre total de tirages, c’est-à-dire 1 000. Il faut choisir la proposition ② « dire Nombre de doubles / 1000 ».

Le script principal complet est donc :

quand drapeau vert est cliqué
mettre [Nombre de doubles] à 0
répéter 1000 fois
    Tirer deux boules
    si (Boule bleue) = (Boule rouge) alors
        ajouter 1 à [Nombre de doubles]
fin
dire (Nombre de doubles) / 1000

D’après la question 2, la fréquence affichée devrait être proche de \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\).

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