Brevet maths 2022 Polynésie sept. : sujet et corrigé

Cette page propose le sujet de mathématiques du brevet 2022 de Polynésie, session de septembre (épreuve du 6 septembre 2022), accompagné d’un corrigé complet et expliqué pour chaque question. Six questions de calcul ouvrent l’épreuve : somme de fractions, décomposition en facteurs premiers, développement, périmètre d’un rectangle, volume d’une pyramide et pourcentage d’évolution retrouvé à l’envers. Deux araignées descendent ensuite d’un poteau électrique par deux chemins différents, ce qui mobilise Pythagore, le cosinus, Thalès et les vitesses. Un exercice Scratch fait tracer des escaliers et compléter un script avant de repérer des translations et symétries dans un pavage. On termine avec trois fonctions à relier à leurs courbes et un jeu de tirage de boules dans une urne (probabilités, moyenne, médiane).

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le brevet de maths 2027 : tous les sujets récents y sont classés par session.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2022
Polynésie — 6 septembre 2022
Mathématiques — Durée : 2 heures

L’usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé. L’usage de calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (22 points)

Cet exercice est constitué de six questions indépendantes.

1. Calculer \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8}\) et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

On détaillera les calculs.

2. a. Donner, sans justifier, la décomposition en facteurs premiers de 198 et de 84.

b. En déduire la forme irréductible de la fraction \(\dfrac{198}{84}\).

3. On donne l’expression littérale suivante : \(E = 5(3x – 4) – (2x – 7)\).

Développer et réduire \(E\).

4. On désigne par \(b\) un nombre positif.

Déterminer la valeur de \(b\) telle que le périmètre du rectangle ci-contre soit égal à 25.

5. Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire de hauteur SH = 6 ci-contre.

6. Le nombre d’habitants d’une ville a augmenté de 12 % entre 2019 et 2020.

Cette ville compte 20 692 habitants en 2020.

Quel était le nombre d’habitants de cette ville en 2019 ?

Exercice 2 (22 points)

Un poteau électrique vertical [BC] de 5,2 m de haut est retenu par un câble métallique [AC] comme montré sur le schéma 1 qui n’est pas en vraie grandeur.

1. Montrer que la longueur du câble [AC] est égale à 6,5 m.

2. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\) au degré près.

Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point C) décident de rejoindre le bas du câble (point A) par deux chemins différents.

3. La première araignée se déplace le long du câble [AC] à une vitesse de 0,2 m/s.

Vérifier qu’il lui faut 32,5 secondes pour atteindre le bas du câble.

4. La deuxième araignée décide de parcourir le chemin CFHA indiqué en pointillés sur le schéma 2 (qui n’est pas en vraie grandeur) : elle suit le morceau de câble [CF] en marchant, puis descend verticalement le long de [FH] grâce à son fil et enfin marche sur le sol le long de [HA].

Calculer les longueurs FH et HA.

5. La deuxième araignée marche à une vitesse de 0,2 m/s le long des segments [CF] et [HA] et descend le long du segment [FH] à une vitesse de 0,8 m/s.

Laquelle des deux araignées met le moins de temps à arriver en A ?

Exercice 3 (17 points)

On utilise un logiciel de programmation.

On rappelle que « s’orienter à 0° » signifie qu’on oriente le stylo vers le haut.

On considère les deux scripts suivants :

1. On exécute le script 1 ci-dessus.

Représenter le chemin parcouru par le stylo sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.

(annexe à rendre avec la copie) Chaque côté de carreau mesure 20 pixels. La position de départ du stylo est indiquée sur la figure.

2. Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ?

On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2.

Chaque côté de carreau mesure 20 pixels.

3. On souhaite maintenant obtenir le motif représenté sur le dessin 4 :

Compléter sans justifier les trois cases du script 3 donné en ANNEXE à rendre avec la copie, permettant d’obtenir le dessin 4.

(annexe à rendre avec la copie)

4. À partir du motif représenté sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous :

Répondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le numéro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la réponse) :

a. Quelle est l’image du motif 1 par la translation qui transforme le point B en E ?

b. Quelle est l’image du motif 1 par la symétrie de centre B ?

c. Quelle est l’image du motif 16 par la symétrie de centre G ?

d. Quelle est l’image du motif 2 par la symétrie d’axe (CG) ?

Exercice 4 (20 points)

1. Voici un tableau de valeurs d’une fonction \(f\) :

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	0	1	3	4	5
\(f(x)\)	5	3	1	\(-1\)	\(-5\)	\(-7\)	\(-9\)

a. Quelle est l’image de 3 par la fonction \(f\) ?

b. Donner un nombre qui a pour image 5 par la fonction \(f\).

c. Donner un antécédent de 1 par la fonction \(f\).

2. On considère le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre
Ajouter 1
Calculer le carré du résultat

a. Quel résultat obtient-on en choisissant 1 comme nombre de départ ? Et en choisissant \(-2\) comme nombre de départ ?

b. On note \(x\) le nombre choisi au départ et on appelle \(g\) la fonction qui à \(x\) fait correspondre le résultat obtenu avec le programme de calcul.

Exprimer \(g(x)\) en fonction de \(x\).

3. La fonction \(h\) est définie par \(h(x) = 2x^2 – 3\).

a. Quelle est l’image de 3 par la fonction \(h\) ?

b. Quelle est l’image de \(-4\) par la fonction \(h\) ?

c. Donner un antécédent de 5 par la fonction \(h\). En existe-t-il un autre ?

4. On donne les trois représentations graphiques suivantes qui correspondent chacune à une des fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) citées dans les questions précédentes.

Associer à chaque courbe la fonction qui lui correspond, en expliquant la réponse.

Exercice 5 (19 points)

Une urne contient 20 boules rouges, 10 boules vertes, 5 boules bleues et 1 boule noire.

Un jeu consiste à tirer une boule au hasard dans l’urne.

Lorsqu’un joueur tire une boule noire, il gagne 10 points.

Lorsqu’il tire une boule bleue, il gagne 5 points.

Lorsqu’il tire une boule verte, il gagne 2 points.

Lorsqu’il tire une boule rouge, il gagne 1 point.

1. Un joueur tire au hasard une boule dans l’urne.

a. Quelle est la probabilité qu’il gagne 10 points ?

b. Quelle est la probabilité qu’il gagne plus de 3 points ?

c. A-t-il plus de chance de gagner 2 points ou de gagner 5 points ?

2. Le tableau ci-contre récapitule les scores obtenus par 15 joueurs :

JOUEUR	SCORE
JOUEUR A	2 points
JOUEUR B	1 point
JOUEUR C	1 point
JOUEUR D	5 points
JOUEUR E	10 points
JOUEUR F	2 points
JOUEUR G	2 points
JOUEUR H	5 points
JOUEUR I	1 point
JOUEUR J	2 points
JOUEUR K	5 points
JOUEUR L	10 points
JOUEUR M	1 point
JOUEUR N	1 point
JOUEUR O	2 points

a. Quelle est la moyenne des scores obtenus par ces joueurs ?

b. Quelle est la médiane des scores ?

c. Déterminer la fréquence du score « 10 points ».

3. Mille joueurs ont participé au jeu. Peut-on estimer le nombre de joueurs ayant obtenu le score de 10 points ?

La réponse, affirmative ou négative, devra être argumentée.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Pour additionner deux fractions, on les écrit avec un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de 6 et de 8 est 24 :

\[\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} + \dfrac{7 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{20}{24} + \dfrac{21}{24} = \dfrac{41}{24}\]

41 est un nombre premier qui ne divise pas 24, donc la fraction est irréductible : \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8} = \)\(\dfrac{41}{24}\).

2. a.

\(198 = 2 \times 99 = 2 \times 9 \times 11\), donc \(198 = 2 \times 3^2 \times 11\).

\(84 = 4 \times 21\), donc \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\).

2. b.

Les facteurs communs aux deux décompositions sont 2 et 3 ; on simplifie par \(2 \times 3 = 6\) :

\[\dfrac{198}{84} = \dfrac{2 \times 3 \times 3 \times 11}{2 \times 3 \times 2 \times 7} = \dfrac{3 \times 11}{2 \times 7} = \dfrac{33}{14}\]

33 et 14 n’ont plus aucun facteur premier commun : la forme irréductible est \(\dfrac{33}{14}\).

On distribue 5 dans la première parenthèse, et on supprime la seconde parenthèse précédée d’un signe moins en changeant les signes de ses termes :

\[E = 15x – 20 – 2x + 7 = 13x – 13\]

Donc \(E = 13x – 13\).

Sur la figure, la longueur du rectangle est formée de trois segments codés de même longueur \(b\), puis d’un segment de 2,9 : elle vaut donc \(3b + 2{,}9\). La largeur vaut 4,5.

Le périmètre d’un rectangle est égal à deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur :

\[P = 2 \times (3b + 2{,}9 + 4{,}5) = 2 \times (3b + 7{,}4) = 6b + 14{,}8\]

On veut \(P = 25\) :

\[6b + 14{,}8 = 25\]

\[6b = 10{,}2\]

\[b = \dfrac{10{,}2}{6} = 1{,}7\]

Vérification : \(2 \times (3 \times 1{,}7 + 2{,}9 + 4{,}5) = 2 \times 12{,}5 = 25\). Il faut \(b = 1{,}7\).

Le volume d’une pyramide est donné par \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire de la base et \(h\) la hauteur.

La base est un rectangle de 4 sur 3, donc \(\mathcal{B} = 4 \times 3 = 12\) ; la hauteur est SH = 6.

\[V = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 6 = 24\]

Le volume de la pyramide est 24 (unités de volume).

Augmenter une quantité de 12 %, c’est la multiplier par \(1 + \dfrac{12}{100} = 1{,}12\). Si on appelle \(N\) le nombre d’habitants en 2019, on a donc :

\[N \times 1{,}12 = 20\,692\]

Pour retrouver \(N\), on fait l’opération inverse, c’est-à-dire qu’on divise par 1,12 :

\[N = \dfrac{20\,692}{1{,}12} = 18\,475\]

Vérification : \(18\,475 \times 1{,}12 = 20\,692\). La ville comptait 18 475 habitants en 2019.

Attention : enlever 12 % à 20 692 ne donne pas le bon résultat, car les 12 % se calculent sur la population de 2019, pas sur celle de 2020.

Exercice 2 :

Le poteau est vertical et le sol horizontal : le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 3{,}9^2 + 5{,}2^2 = 15{,}21 + 27{,}04 = 42{,}25\]

\[\text{AC} = \sqrt{42{,}25} = 6{,}5\]

Le câble mesure bien 6,5 m.

Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\), le côté adjacent est [BC] et l’hypoténuse est [AC] :

\[\cos \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{5{,}2}{6{,}5} = 0{,}8\]

La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{\text{ACB}} \approx 36{,}87\)°.

Au degré près, \(\widehat{\text{ACB}} \approx 37\)°.

À vitesse constante, la durée est égale à la distance divisée par la vitesse. La première araignée parcourt AC = 6,5 m à 0,2 m/s :

\[t = \dfrac{6{,}5}{0{,}2} = 32{,}5\ \text{s}\]

Il lui faut bien 32,5 secondes.

Les droites (FH) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB) ; or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (FH) et (BC) sont parallèles.

Les points A, H, B sont alignés, ainsi que A, F, C. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AHF et ABC :

\[\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AF}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{HF}}{\text{BC}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{\text{AH}}{3{,}9} = \dfrac{4}{6{,}5} = \dfrac{\text{HF}}{5{,}2}\]

On en déduit :

\[\text{FH} = \dfrac{4 \times 5{,}2}{6{,}5} = \dfrac{20{,}8}{6{,}5} = 3{,}2 \qquad \text{et} \qquad \text{HA} = \dfrac{4 \times 3{,}9}{6{,}5} = \dfrac{15{,}6}{6{,}5} = 2{,}4\]

Donc FH = 3,2 m et HA = 2,4 m.

On calcule la durée du trajet de la deuxième araignée, morceau par morceau.

Sur le câble : \(\text{CF} = \text{AC} – \text{AF} = 6{,}5 – 4 = 2{,}5\) m, parcourus à 0,2 m/s, soit \(\dfrac{2{,}5}{0{,}2} = 12{,}5\) s.
Le long du fil : FH = 3,2 m à 0,8 m/s, soit \(\dfrac{3{,}2}{0{,}8} = 4\) s.
Sur le sol : HA = 2,4 m à 0,2 m/s, soit \(\dfrac{2{,}4}{0{,}2} = 12\) s.

Durée totale : \(12{,}5 + 4 + 12 = 28{,}5\) s.

Comme \(28{,}5 \lt 32{,}5\), c’est la deuxième araignée qui arrive la première en A, avec 4 secondes d’avance, bien que son chemin soit plus long (8,1 m contre 6,5 m) : la descente rapide le long du fil lui fait gagner du temps.

Exercice 3 :

Un carreau mesure 20 pixels. Le stylo part orienté vers le haut. À chaque passage dans la boucle, il monte de 20 (1 carreau), tourne vers la droite, avance de 40 (2 carreaux vers la droite), puis tourne à gauche pour être de nouveau orienté vers le haut. La boucle étant répétée 2 fois, on obtient un escalier de deux marches : 1 carreau vers le haut, 2 carreaux vers la droite, 1 carreau vers le haut, 2 carreaux vers la droite.

On suit le script 2 pas à pas. La variable longueur vaut d’abord 20.

Premier passage : le stylo monte de 20 (1 carreau), tourne à droite, avance de 20 (1 carreau vers la droite), tourne à gauche. Puis longueur devient 40.
Deuxième passage : le stylo monte de 40 (2 carreaux), tourne à droite, avance de 40 (2 carreaux vers la droite), tourne à gauche. Puis longueur devient 60, mais la boucle est terminée.

Le chemin est donc : 1 carreau vers le haut, 1 vers la droite, 2 vers le haut, 2 vers la droite. C’est le dessin 2.

Le dessin 1 ne convient pas : la deuxième marche a la même taille que la première (1 carreau), comme si la longueur n’avait pas augmenté de 20 ; or au deuxième passage le stylo doit avancer de 40, soit 2 carreaux.
Le dessin 3 ne convient pas : le premier trait part vers la droite, alors que le stylo est orienté à 0°, c’est-à-dire vers le haut, au moment où il avance pour la première fois.

On suit le contour du dessin 4 depuis la position de départ, en comptant les carreaux (1 carreau = 20 pixels) :

avancer de 20 vers le haut (1 carreau), tourner à droite ;
avancer vers la droite de 2 carreaux : première case : 40 ; tourner à gauche ;
avancer de 80 vers le haut (4 carreaux), tourner à droite, avancer de 40 vers la droite (2 carreaux), tourner à gauche ;
avancer vers le haut de 1 carreau : deuxième case : 20 ; tourner à droite, avancer de 20 vers la droite, tourner à droite (le stylo est maintenant orienté vers le bas) ;
descendre jusqu’à la ligne de départ, soit \(1 + 4 + 1 = 6\) carreaux : troisième case : 120 ;
tourner à droite et avancer de 100 vers la gauche (\(2 + 2 + 1 = 5\) carreaux) pour revenir au point de départ.

Script 3 complété :

quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
stylo en position d'écriture
s'orienter à 0
avancer de 20
tourner à droite de 90 degrés
avancer de 40
tourner à gauche de 90 degrés
avancer de 80
tourner à droite de 90 degrés
avancer de 40
tourner à gauche de 90 degrés
avancer de 20
tourner à droite de 90 degrés
avancer de 20
tourner à droite de 90 degrés
avancer de 120
tourner à droite de 90 degrés
avancer de 100

Les trois cases à compléter sont donc, dans l’ordre : 40, 20 et 120.

a. La translation qui transforme B en E fait glisser chaque motif de la même distance vers la droite (la longueur BE) sans le retourner : le motif 1 vient se placer sur le motif 5.

b. La symétrie de centre B fait faire un demi-tour au motif 1 autour du point B : sa partie haute se retrouve en bas et sa partie gauche à droite. On obtient le motif 9.

c. De même, le demi-tour autour du point G envoie le motif 16, situé en bas à gauche de G, en haut à droite de G : on obtient le motif 12.

d. La droite (CG) est verticale ; la symétrie d’axe (CG) retourne le motif 2 comme dans un miroir, de l’autre côté de cette droite, à la même hauteur : on obtient le motif 5.

Exercice 4 :

1. a.

Dans le tableau, sous \(x = 3\), on lit \(f(3) = -5\). L’image de 3 par \(f\) est \(-5\).

1. b.

On cherche 5 dans la ligne des images : il se trouve sous \(x = -2\), car \(f(-2) = 5\). Le nombre \(-2\) a pour image 5.

1. c.

On cherche 1 dans la ligne des images : \(f(0) = 1\). Un antécédent de 1 par \(f\) est 0.

2. a.

Avec 1 : \(1 + 1 = 2\), puis \(2^2 = 4\). On obtient 4.

Avec \(-2\) : \(-2 + 1 = -1\), puis \((-1)^2 = 1\). On obtient 1.

2. b.

En partant de \(x\), on ajoute 1, ce qui donne \(x + 1\), puis on élève ce résultat au carré : \(g(x) = (x + 1)^2\).

3. a.

\[h(3) = 2 \times 3^2 – 3 = 2 \times 9 – 3 = 18 – 3 = 15\]

L’image de 3 par \(h\) est 15.

3. b.

\[h(-4) = 2 \times (-4)^2 – 3 = 2 \times 16 – 3 = 32 – 3 = 29\]

L’image de \(-4\) par \(h\) est 29 (attention : le carré de \(-4\) est 16, positif).

3. c.

On cherche les nombres \(x\) tels que \(h(x) = 5\) :

\[2x^2 – 3 = 5\]

\[2x^2 = 8\]

\[x^2 = 4\]

Les nombres dont le carré vaut 4 sont 2 et \(-2\). Un antécédent de 5 par \(h\) est 2, et il en existe un autre : \(-2\). On vérifie : \(h(2) = 2 \times 4 – 3 = 5\) et \(h(-2) = 2 \times 4 – 3 = 5\).

Représentation n° 1 : fonction \(f\). C’est une droite qui passe par les points \((0\,;\,1)\) et \((1\,;\,-1)\), exactement comme dans le tableau de \(f\) : \(f(0) = 1\) et \(f(1) = -1\). Les courbes de \(g\) et \(h\) ne passent pas par ces points (par exemple \(g(1) = 4\) et \(h(0) = -3\)).
Représentation n° 2 : fonction \(h\). La courbe coupe l’axe des ordonnées en \(-3\), et \(h(0) = 2 \times 0^2 – 3 = -3\). On lit aussi que le point d’abscisse 3 a pour ordonnée 15, comme \(h(3) = 15\).
Représentation n° 3 : fonction \(g\). La courbe coupe l’axe des ordonnées en 1, et \(g(0) = (0 + 1)^2 = 1\) ; elle touche l’axe des abscisses en \(-1\), et \(g(-1) = 0^2 = 0\).

Exercice 5 :

1. a.

L’urne contient \(20 + 10 + 5 + 1 = 36\) boules. Le tirage se fait au hasard : chaque boule a la même probabilité d’être tirée. On gagne 10 points seulement avec la boule noire, qui est unique :

\[P(\text{10 points}) = \dfrac{1}{36}\]

La probabilité est \(\dfrac{1}{36}\).

1. b.

On gagne plus de 3 points en tirant la boule noire (10 points) ou une boule bleue (5 points), ce qui fait \(1 + 5 = 6\) boules favorables :

\[P(\text{plus de 3 points}) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\]

La probabilité est \(\dfrac{1}{6}\).

1. c.

Gagner 2 points correspond aux 10 boules vertes, soit une probabilité de \(\dfrac{10}{36}\) ; gagner 5 points correspond aux 5 boules bleues, soit \(\dfrac{5}{36}\).

Comme \(\dfrac{10}{36} \gt \dfrac{5}{36}\), le joueur a plus de chances de gagner 2 points (deux fois plus, même).

2. a.

On regroupe les scores : 5 joueurs ont 1 point (B, C, I, M, N), 5 joueurs ont 2 points (A, F, G, J, O), 3 joueurs ont 5 points (D, H, K) et 2 joueurs ont 10 points (E, L). On a bien \(5 + 5 + 3 + 2 = 15\) joueurs.

\[\text{moyenne} = \dfrac{5 \times 1 + 5 \times 2 + 3 \times 5 + 2 \times 10}{15} = \dfrac{5 + 10 + 15 + 20}{15} = \dfrac{50}{15} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\]

La moyenne des scores est \(\dfrac{10}{3}\) points, soit environ 3,33 points.

2. b.

On range les 15 scores dans l’ordre croissant :

1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 ; 5 ; 5 ; 10 ; 10

L’effectif est impair (15), donc la médiane est la valeur centrale, la 8^e : 7 scores sont avant elle et 7 après. La médiane est 2 points.

2. c.

Deux joueurs sur 15 ont obtenu 10 points. La fréquence du score « 10 points » est :

\[\dfrac{2}{15} \approx 0{,}133\]

soit \(\dfrac{2}{15}\), environ 13,3 %.

Oui, on peut estimer ce nombre. Lorsqu’on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence d’un résultat se rapproche de sa probabilité. Avec 1 000 joueurs, la fréquence du score « 10 points » doit donc être proche de \(\dfrac{1}{36}\) (question 1. a.) :

\[1\,000 \times \dfrac{1}{36} = \dfrac{1\,000}{36} \approx 27{,}8\]

On peut estimer qu’environ 28 joueurs ont obtenu 10 points. Ce n’est qu’une estimation : le nombre réel peut s’en écarter un peu.

On ne doit pas utiliser la fréquence \(\dfrac{2}{15}\) de la question 2 : elle a été observée sur seulement 15 joueurs, un échantillon bien trop petit pour être représentatif (elle conduirait à environ 133 joueurs, ce qui est très éloigné de la probabilité réelle).

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