Corrigé du contrôle de maths spé : DS de réduction des endomorphismes

Exercice 1 : Partie I : polynôme caractéristique d’une matrice compagnon (5 points)

1. La matrice \(X I_n – C_P\) est à coefficients dans l’anneau commutatif \(\mathbb{K}[X]\) : elle porte \(X\) sur la diagonale, \(-1\) juste sous la diagonale, et sa dernière colonne vaut \((a_0, a_1, \ldots, a_{n-2}, X + a_{n-1})^{T}\). L’opération \(L_1 arrow L_1 + X L_2 + \cdots + X^{n-1} L_n\) ajoute à la première ligne une combinaison des autres : elle ne change pas le déterminant.

   Pour une colonne \(j \leq\, n-1\), seuls deux coefficients sont non nuls : \(X\) en ligne \(j\) et \(-1\) en ligne \(j+1\). Le nouveau coefficient de la ligne 1 vaut donc \(X^{j-1} \times X + X^{j} \times (-1) = 0\). Dans la dernière colonne, on obtient :

   \[a_0 + X a_1 + \cdots + X^{n-2} a_{n-2} + X^{n-1}(X + a_{n-1}) = P(X).\]

   On développe alors selon la première ligne, qui vaut \((0, \ldots, 0, P)\) : \(\chi_{C_P} = (-1)^{1+n} P \, \Delta\), où \(\Delta\) est le déterminant obtenu en supprimant la ligne 1 et la colonne \(n\). Cette matrice de taille \(n-1\) est triangulaire supérieure, avec des \(-1\) sur la diagonale, donc \(\Delta = (-1)^{n-1}\).

   Par conséquent \(\chi_{C_P} = (-1)^{n+1}(-1)^{n-1} P = P\).

2. Les \(n-1\) premières colonnes de \(C_P – \lambda I_n\) sont \(e_{k+1} – \lambda e_k\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n-1\). Elles forment une famille libre : si \(\sum_k c_k (e_{k+1} – \lambda e_k) = 0\), la coordonnée sur \(e_n\) donne \(c_{n-1} = 0\), puis, en remontant, tous les \(c_k\) sont nuls. Donc \(\operatorname{rg}(C_P – \lambda I_n) \geq\, n-1\). Comme \(\lambda\) est valeur propre, cette matrice n’est pas inversible : son rang vaut exactement \(n – 1\). D’après le théorème du rang, le sous-espace propre \(E_\lambda(C_P)\) est une droite.

   Ensuite, la ligne \(k \leq\, n-1\) de \(C_P^{T}\) est \(e_{k+1}^{T}\), donc \((C_P^{T} V_\lambda)_k = \lambda^{k} = \lambda \times \lambda^{k-1}\). La dernière ligne de \(C_P^{T}\) est \((-a_0, \ldots, -a_{n-1})\), d’où :

   \[(C_P^{T} V_\lambda)_n = -\sum_{i=0}^{n-1} a_i \lambda^i = \lambda^n – P(\lambda) = \lambda^n = \lambda \times \lambda^{n-1},\]

   car \(P(\lambda) = \chi_{C_P}(\lambda) = 0\). Ainsi \(C_P^{T} V_\lambda = \lambda V_\lambda\) avec \(V_\lambda \neq 0\) (première coordonnée égale à 1).

3. Une matrice est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut \(n\). D’après b), chaque sous-espace propre est de dimension 1 : cette somme est donc le nombre de valeurs propres distinctes de \(C_P\) dans \(\mathbb{K}\), c’est-à-dire le nombre de racines distinctes de \(P\) dans \(\mathbb{K}\). Or \(P\), de degré \(n\), a \(n\) racines distinctes dans \(\mathbb{K}\) exactement quand il est scindé à racines simples.

   Donc \(C_P\) est diagonalisable si et seulement si \(P\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{K}\).

4. Puisque \(C_P e_k = e_{k+1}\) pour \(k \leq\, n-1\), une récurrence immédiate donne \(C_P^{k} e_1 = e_{k+1}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n-1\).

   Soit \(Q = \sum_{k=0}^{n-1} q_k X^k\) tel que \(Q(C_P) = 0\). Alors \(0 = Q(C_P) e_1 = \sum_{k=0}^{n-1} q_k e_{k+1}\). La base canonique étant libre, tous les \(q_k\) sont nuls. Le polynôme minimal est donc de degré au moins \(n\). D’après le théorème de Cayley-Hamilton, \(\mu_{C_P}\) divise \(\chi_{C_P}\), qui est de degré \(n\). Les deux polynômes sont unitaires et de même degré.

   Conclusion : \(\mu_{C_P} = \chi_{C_P} = P\).

Barème : a) 0,5 point pour l’effet de l’opération sur les colonnes, 0,5 point pour la dernière colonne, 0,5 point pour le développement et le signe ; b) 0,75 point pour le rang, 0,75 point pour le vecteur propre de la transposée ; c) 1 point (critère par les dimensions cité) ; d) 0,25 point pour les puissances, 0,5 point pour la liberté, 0,25 point pour Cayley-Hamilton et la conclusion.

Erreur fréquente : affirmer que \(\mu = \chi\) « car les valeurs propres sont simples » ; ici les racines de \(P\) peuvent être multiples, et c’est le vecteur \(e_1\) qui fait tout le travail.

Exercice 2 : Partie II : trigonalisation d’un exemple (5 points)

1. On développe : \(P = (X^2 – 2X + 1)(X – 2) = X^3 – 4X^2 + 5X – 2\). Donc \(a_0 = -2\), \(a_1 = 5\), \(a_2 = -4\), et :

   \[C = \begin{pmatrix} 0 0 2 \\ 1 0 -5 \\ 0 1 4 \end{pmatrix}.\]

   D’après la partie I, \(\chi_C = P\) et \(1\) est valeur propre de multiplicité 2, alors que \(\dim E_1(C) = 1\) d’après I b). La dimension du sous-espace propre est strictement inférieure à la multiplicité : \(C\) n’est pas diagonalisable. (On peut aussi invoquer I c), puisque \(P\) a une racine double.)

2. L’égalité \(CQ = QT\) équivaut, colonne par colonne, à \(C v_1 = v_1\), \(C v_2 = v_1 + v_2\) et \(C v_3 = 2 v_3\).

   On résout d’abord \((C – I_3) v = 0\), avec \(C – I_3 = \begin{pmatrix} -1 0 2 \\ 1 -1 -5 \\ 0 1 3 \end{pmatrix}\). La première ligne donne \(x = 2z\), la troisième \(y = -3z\), et la deuxième est alors vérifiée : \(2z + 3z – 5z = 0\). On prend \(v_1 = (2, -3, 1)^{T}\).

   Ensuite, \((C – 2I_3) v = 0\) donne \(-2x + 2z = 0\) et \(y + 2z = 0\), soit \(x = z\) et \(y = -2z\) ; la ligne \(x – 2y – 5z = z + 4z – 5z = 0\) est vérifiée. On prend \(v_3 = (1, -2, 1)^{T}\).

   Enfin, on cherche \(v_2\) tel que \((C – I_3) v_2 = v_1\). Avec \(z = 0\), la première ligne donne \(-x = 2\), donc \(x = -2\), et la troisième \(y = 1\). La deuxième ligne vaut alors \(-2 – 1 = -3\) : elle est vérifiée. Ainsi \(v_2 = (-2, 1, 0)^{T}\). Vérification : \(C v_2 = (0, -2, 1)^{T} = v_1 + v_2\).

   La matrice \(Q = \begin{pmatrix} 2 -2 1 \\ -3 1 -2 \\ 1 0 1 \end{pmatrix}\) a pour déterminant \(2 \times 1 + 2 \times (-3 + 2) + 1 \times (-1) = -1 \neq 0\).

   Donc \(Q\) est inversible et \(Q^{-1} C Q = T\).

3. Le polynôme \(P\) est de degré 3, donc \(X^k = P S_k + R_k\) avec \(\deg R_k \leq\, 2\). On écrit \(R_k = \alpha (X – 1)^2 + \beta (X – 1) + \gamma\).

   En évaluant en \(1\) : \(R_k(1) = 1\), donc \(\gamma = 1\). En dérivant, \(k X^{k-1} = P^{\prime} S_k + P S_k^{\prime} + R_k^{\prime}\) ; or \(1\) est racine double de \(P\), donc \(P(1) = P^{\prime}(1) = 0\), d’où \(R_k^{\prime}(1) = k\), c’est-à-dire \(\beta = k\). En évaluant en \(2\) : \(2^k = \alpha + k + 1\), donc \(\alpha = 2^k – k – 1\).

   \[R_k = (2^k – k – 1)(X – 1)^2 + k (X – 1) + 1.\]

   L’application \(Q \mapsto Q(C)\) est un morphisme d’algèbres, donc \(C^k = P(C) S_k(C) + R_k(C)\). Par le théorème de Cayley-Hamilton, \(P(C) = \chi_C(C) = 0\).

   Ainsi, pour tout \(k \in \mathbb{N}\) : \(C^k = (2^k – k – 1)(C – I_3)^2 + k (C – I_3) + I_3\).

   Contrôle : pour \(k = 0\) et \(k = 1\), on retrouve \(I_3\) et \(C\) ; pour \(k = 2\), on obtient \((C – I_3)^2 + 2(C – I_3) + I_3 = C^2\).

Barème : a) 0,5 point pour la matrice, 0,5 point pour la justification ; b) 0,5 point par vecteur, 0,5 point pour l’inversibilité de \(Q\) ; c) 1 point pour le reste (dérivation justifiée), 0,5 point pour Cayley-Hamilton, 0,5 point pour l’expression de \(C^k\).

Exercice 3 : Partie III : l’endomorphisme de multiplication à gauche (5 points)

1. Par récurrence, \(\varphi_A^{k}(M) = A^{k} M\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\) : c’est vrai pour \(k = 0\), et \(\varphi_A^{k+1}(M) = A (A^k M) = A^{k+1} M\). Pour \(Q = \sum_k q_k X^k\), on a par linéarité \(Q(\varphi_A)(M) = \sum_k q_k A^k M = Q(A) M\).

   Si \(Q(A) = 0\), alors \(Q(\varphi_A)(M) = 0\) pour tout \(M\), donc \(Q(\varphi_A) = 0\). Réciproquement, si \(Q(\varphi_A) = 0\), alors \(Q(A) = Q(A) I_n = Q(\varphi_A)(I_n) = 0\). Les idéaux annulateurs de \(A\) et de \(\varphi_A\) sont donc égaux. Leur générateur unitaire est le même : \(\mu_{\varphi_A} = \mu_A\).

2. Un endomorphisme en dimension finie est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Comme \(\mu_{\varphi_A} = \mu_A\), \(\varphi_A\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) l’est.

3. Les valeurs propres sont les racines du polynôme minimal, donc \(\operatorname{Sp}(\varphi_A) = \operatorname{Sp}(A)\). Soit \(\lambda\) une valeur propre et \(M\) de colonnes \(M_1, \ldots, M_n\). La \(j\)-ième colonne de \(AM\) est \(A M_j\), donc \(AM = \lambda M\) si et seulement si \(A M_j = \lambda M_j\) pour tout \(j\).

   Le sous-espace propre de \(\varphi_A\) pour \(\lambda\) est l’ensemble des matrices dont toutes les colonnes sont dans \(\ker(A – \lambda I_n)\). L’application \(M \mapsto (M_1, \ldots, M_n)\) en est un isomorphisme sur \(\ker(A – \lambda I_n)^n\), d’où la dimension \(n \dim \ker(A – \lambda I_n)\).

4. Pour tous \(i, j\), \(A E_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ki} E_{kj}\) : l’image de \(E_{ij}\) reste dans \(\operatorname{Vect}(E_{1j}, \ldots, E_{nj})\), et ses coordonnées sont celles de la \(i\)-ième colonne de \(A\). Dans la base proposée, la matrice de \(\varphi_A\) est donc diagonale par blocs :

   \[\operatorname{Mat}(\varphi_A) = \begin{pmatrix} A 0 \cdots 0 \\ 0 A \cdots 0 \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ 0 0 \cdots A \end{pmatrix}.\]

   Le déterminant d’une matrice diagonale par blocs est le produit des déterminants des blocs. Ainsi \(\chi_{\varphi_A} = \det(X I_n – A)^n = (\chi_A)^n\).

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 1 point pour l’égalité des idéaux et du polynôme minimal ; b) 1 point (critère cité) ; c) 0,5 point pour le spectre, 0,5 point pour la description, 0,5 point pour la dimension ; d) 0,5 point pour la matrice par blocs, 0,5 point pour le polynôme caractéristique.

Exercice 4 : Partie IV : lemme des noyaux et commutant (5 points)

1. D’après III a) et I d), \(\mu_\varphi = \mu_C = P\). D’après III d) et I a), \(\chi_\varphi = P^3\).

   Donc \(\mu_\varphi = (X – 1)^2 (X – 2)\) et \(\chi_\varphi = (X – 1)^6 (X – 2)^3\).

2. Le polynôme minimal de \(\varphi\) a une racine double : il n’est pas à racines simples, donc \(\varphi\) n’est pas diagonalisable (c’est aussi III b) avec II a)). D’après III c) et I b), \(\dim E_1(\varphi) = 3 \times 1 = 3\) et \(\dim E_2(\varphi) = 3 \times 1 = 3\). Les deux sous-espaces propres sont de dimension 3, et \(3 + 3 = 6 < 9\) confirme la non-diagonalisabilité.

3. Le polynôme \(P = (X – 1)^2 (X – 2)\) annule \(\varphi\), et \((X – 1)^2\) et \(X – 2\) sont premiers entre eux. Le lemme de décomposition des noyaux donne donc \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) = \ker P(\varphi) = \ker(\varphi – \mathrm{id})^2 \oplus \ker(\varphi – 2\,\mathrm{id})\).

   On calcule :

   \[(C – I_3)^2 = \begin{pmatrix} 1 2 4 \\ -2 -4 -8 \\ 1 2 4 \end{pmatrix}.\]

   Cette matrice est de rang 1, et son noyau est le plan \(\Pi : x + 2y + 4z = 0\), qui contient \(v_1\) et \(v_2\). D’après III a), \((\varphi – \mathrm{id})^2(M) = (C – I_3)^2 M\).

   Donc \(\ker(\varphi – \mathrm{id})^2\) est l’ensemble des matrices dont les trois colonnes sont dans \(\Pi\) : il est de dimension \(3 \times 2 = 6\). De même, \(\ker(\varphi – 2\,\mathrm{id})\) est l’ensemble des matrices dont chaque colonne est colinéaire à \(v_3 = (1, -2, 1)^{T}\) : il est de dimension 3. On vérifie que \(6 + 3 = 9 = \dim \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

4. Toute matrice de \(\mathbb{R}[C]\) commute avec \(C\), donc \(\mathbb{R}[C] \subset \mathcal{C}(C)\).

   Réciproquement, soit \(M\) telle que \(CM = MC\). La famille \((e_1, C e_1, C^2 e_1) = (e_1, e_2, e_3)\) est une base (I d)). Il existe donc des réels \(c_0, c_1, c_2\) tels que \(M e_1 = c_0 e_1 + c_1 C e_1 + c_2 C^2 e_1\). Posons \(R = c_0 I_3 + c_1 C + c_2 C^2\), de sorte que \(M e_1 = R e_1\).

   Pour \(j \in \{0, 1, 2\}\), comme \(M\) et \(R\) commutent avec \(C\), \(M C^j e_1 = C^j M e_1 = C^j R e_1 = R C^j e_1\). Les endomorphismes associés à \(M\) et \(R\) coïncident sur une base, donc \(M = R \in \mathbb{R}[C]\).

   Enfin, \(\dim \mathbb{R}[C] = \deg \mu_C = 3\), une base étant \((I_3, C, C^2)\). Le commutant de \(C\) est \(\mathbb{R}[C]\), de dimension 3.

Barème : a) 0,5 point par polynôme ; b) 0,5 point pour la non-diagonalisabilité, 0,5 point pour les dimensions ; c) 0,5 point pour le lemme des noyaux (hypothèse de coprimalité citée), 0,5 point pour \((C – I_3)^2\), 0,5 point pour la description des deux sous-espaces ; d) 0,25 point pour l’inclusion directe, 1 point pour la réciproque, 0,25 point pour la dimension.

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Après le corrigé du contrôle : DS de réduction des endomorphismes

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