Ce QCM vérifie la maîtrise des fonctions génératrices en Maths Spé MP : définition \(G_X(t) = E(t^X)\), rayon de convergence, calcul de l’espérance et de la variance, lois usuelles et sommes de variables indépendantes. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Fonctions génératrices du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Fonctions génératrices - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), que peut-on dire du rayon de convergence \(R\) de la série \(\sum P(X = n)\,t^n\) ?
A\(R = +\infty\)
B\(R = 1\)
C\(R \leqslant 1\)
D\(R \geqslant 1\)
Question 2
Quelle est la fonction génératrice de \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) ?
A\(t \mapsto e^{\lambda t}\)
B\(t \mapsto e^{\lambda(t-1)}\)
C\(t \mapsto e^{-\lambda(t-1)}\)
D\(t \mapsto \lambda\,e^{t-1}\)
Question 3
Quelle est la fonction génératrice de \(X \sim \mathcal{G}(p)\) (loi sur \(\mathbb{N}^*\)), pour \(|t| < \frac{1}{1-p}\) ?
A\(\frac{p}{1 - (1-p)t}\)
B\(\frac{pt}{1 - pt}\)
C\(\frac{(1-p)t}{1 - pt}\)
D\(\frac{pt}{1 - (1-p)t}\)
Question 4
Si \(X\) admet un moment d’ordre \(2\), comment s’exprime \(V(X)\) à l’aide de \(G_X\) ?
A\(G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2\)
B\(G_X''(1) + G_X'(1) + G_X'(1)^2\)
C\(G_X''(1)\)
D\(G_X''(1) - G_X'(1)^2\)
Question 5
Une variable \(X\) a pour fonction génératrice \(G_X(t) = \frac{(1+t)^3}{8}\). Que vaut \(E(X)\) ?
A\(\frac{3}{8}\)
B\(3\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(\frac{3}{2}\)
Question 6
Une variable \(X\) a pour fonction génératrice \(G_X(t) = e^{2(t-1)}\,\frac{1+t}{2}\). Que vaut \(P(X = 0)\) ?
A\(\frac{1}{2}\)
B\(\frac{e^{-2}}{2}\)
C\(e^{-1}\)
D\(e^{-2}\)
Question 7
\(X \sim \mathcal{B}(n,p)\) et \(Y \sim \mathcal{B}(m,p)\) sont indépendantes. Quelle est la loi de \(X + Y\) ?
A\(\mathcal{B}(n+m, p^2)\)
B\(\mathcal{B}(nm, p)\)
C\(\mathcal{B}(n+m, p)\)
D\(\mathcal{B}(n+m, 2p)\)
Question 8
Pour deux variables \(X\) et \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), que dire de l’égalité \(G_{X+Y} = G_X\,G_Y\) ?
AElle est toujours vraie
BElle est vraie si et seulement si \(\mathrm{Cov}(X,Y) = 0\)
CElle est vraie si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, mais pas en général
DElle n’est vraie que si \(X\) et \(Y\) ont même loi
Question 9
Pour une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), que représente \(G_X(-1)\) ?
A\(P(X \text{ pair}) - P(X \text{ impair})\)
B\(0\), pour toute variable \(X\)
C\(-E(X)\)
D\(P(X \text{ pair})\)
Question 10
Deux variables \(X\) et \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) vérifient \(G_X(t) = G_Y(t)\) pour tout \(t \in [0,1[\). Que peut-on en conclure ?
A\(X = Y\) presque sûrement
B\(X\) et \(Y\) ont la même loi
CSeulement \(E(X) = E(Y)\)
DRien : il faut l’égalité sur \([-1,1]\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de fonctions génératrices en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition \(G_X(t) = \sum P(X = n)\,t^n\) et son rayon de convergence au moins \(1\) ;
le fait que la fonction génératrice caractérise la loi ;
les formules \(E(X) = G_X'(1)\) et \(V(X) = G_X »(1) + G_X'(1) – G_X'(1)^2\) ;
les fonctions génératrices des lois de Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson ;
la relation \(G_{X+Y} = G_X\,G_Y\) pour des variables indépendantes.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire \(V(X) = G_X »(1) – G_X'(1)^2\). En réalité \(G_X »(1) = E( X(X-1) )\), pas \(E(X^2)\) : il faut ajouter \(G_X'(1)\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour identifier la loi d’une somme de variables indépendantes, multipliez les fonctions génératrices et reconnaissez une forme connue : \((1-p+pt)^n\), \(e^{\lambda(t-1)}\), \(\frac{pt}{1-(1-p)t}\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi le rayon de convergence est-il au moins \(1\) ?
Parce que \(\sum P(X = n) = 1\) : la série converge normalement sur le disque fermé \(|t| \leq\, 1\), puisque \(|P(X = n)t^n| \leq\, P(X = n)\).
Que faire si \(G_X\) n’est pas dérivable en \(1\) ?
Cela signifie exactement que \(X\) n’a pas d’espérance finie : le programme établit l’équivalence entre espérance finie et dérivabilité (à gauche) de \(G_X\) en \(1\).
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