Contrôle de maths spé : idéaux, congruences et indicatrice d’Euler

Exercice 1 : Question de cours (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

1. Démontrez que tout idéal \(I\) de \(\mathbb{K}[X]\) non réduit à \(\{0\}\) s’écrit \(I = P\,\mathbb{K}[X]\) pour un unique polynôme unitaire \(P\). (2 points)
2. Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous deux nuls. Montrez que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) est un idéal de \(\mathbb{Z}\), puis que \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = d\mathbb{Z}\) où \(d = a \wedge b\). Déduisez-en la relation de Bézout. On admet que les idéaux de \(\mathbb{Z}\) sont les \(n\mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\). (2 points)

Exercice 2 : Inversibles de Z/60Z (4 points)

On note \(\overline{k}\) la classe de l’entier \(k\) dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).

1. Démontrez que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(k \wedge n = 1\). (1 point)
2. Justifiez que \(\overline{17}\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}\), puis déterminez son inverse à l’aide de l’algorithme d’Euclide. (1,5 point)
3. Résolvez dans \(\mathbb{Z}\) la congruence \(17x \equiv 5 \pmod{60}\). (0,5 point)
4. Combien l’anneau \(\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}\) possède-t-il d’éléments inversibles ? Est-ce un corps ? (1 point)

Exercice 3 : Théorème chinois (4 points)

1. Soit \(m\) et \(n\) deux entiers supérieurs ou égaux à 2 et premiers entre eux. Énoncez le théorème chinois sous la forme d’un isomorphisme d’anneaux, puis démontrez que l’application proposée est injective. (1 point)
2. Déterminez tous les entiers \(x\) tels que \(x \equiv 2 \pmod 5\), \(x \equiv 3 \pmod 7\) et \(x \equiv 1 \pmod 9\). (2 points)
3. Déduisez du théorème chinois que \(\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)\) lorsque \(m \wedge n = 1\), où \(\varphi\) désigne l’indicatrice d’Euler. (1 point)

Exercice 4 : Théorème d’Euler (3 points)

1. Calculez \(\varphi(100)\). (0,5 point)
2. Énoncez le théorème d’Euler, puis déterminez les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de \(7^{2026}\). (1,5 point)
3. Déterminez l’ordre de \(\overline{7}\) dans le groupe \(((\mathbb{Z}/100\mathbb{Z})^{\times }, \times )\). Retrouvez ainsi rapidement le résultat de b). (1 point)

Exercice 5 : Le corps Z/pZ et une algèbre de matrices (5 points)

Partie A. Soit \(n \geq\, 2\) et \(p\) un nombre premier.

1. Démontrez que \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier. (1 point)
2. Démontrez le petit théorème de Fermat : pour tout entier \(a\) non divisible par \(p\), \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\). (0,5 point)
3. Montrez que, dans \(\mathbb{F}_p\), l’équation \(x^2 = \overline{1}\) a pour seules solutions \(\overline{1}\) et \(-\overline{1}\). (0,5 point)
4. On suppose \(p \geq\, 3\). En regroupant chaque élément de \(\mathbb{F}_p^{*}\) avec son inverse, démontrez le théorème de Wilson : \((p-1)! \equiv -1 \pmod p\). (1,5 point)

Partie B. On pose \(N = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et \(\mathcal{A} = \{aI_2 + bN : (a, b) \in \mathbb{K}^2\}\).

5. Montrez que \(\mathcal{A}\) est une sous-algèbre commutative de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\), de dimension 2. (1 point)
6. On considère le morphisme d’algèbres \(\Phi : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\), \(P \mapsto P(N)\). Déterminez son image et montrez que son noyau est l’idéal \(X^2\,\mathbb{K}[X]\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : idéaux, congruences et indicatrice d’Euler

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Anneaux, idéaux et Z/nZ » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés anneaux, idéaux et z/nz.

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