Contrôle de maths spé : diagonalisation, trigonalisation et nilpotents

Exercice 1 : Question de cours (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \geq\, 1\) (\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pourra utiliser sans démonstration le fait que les sous-espaces propres sont en somme directe, et l’inégalité \(\dim E_\lambda(u) \leq\, m(\lambda)\), où \(m(\lambda)\) est la multiplicité de \(\lambda\) dans \(\chi_u\).

1. Énoncez le critère de diagonalisabilité de \(u\) faisant intervenir \(\chi_u\) et les dimensions des sous-espaces propres. (1 point)
2. Démontrez ce critère. (2 points)

Exercice 2 : Diagonalisation et puissances (5 points)

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 2 1 -1 \\ 0 2 0 \\ 0 1 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculez le polynôme caractéristique de \(A\) et donnez son spectre. (1 point)
2. Déterminez les sous-espaces propres de \(A\). Justifiez que \(A\) est diagonalisable. Vérifiez qu’avec \(P = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 1 \\ 1 1 1 \end{pmatrix}\), la matrice \(P^{-1}AP\) est diagonale, et précisez-la. (1,5 point)
3. Calculez \(P^{-1}\). (0,5 point)
4. Calculez \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1,5 point)
5. On définit trois suites par \(x_0 = 0\), \(y_0 = 1\), \(z_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(x_{n+1} = 2x_n + y_n – z_n\), \(y_{n+1} = 2y_n\), \(z_{n+1} = y_n + z_n\). Exprimez \(x_n\), \(y_n\) et \(z_n\) en fonction de \(n\). (0,5 point)

Exercice 3 : Trigonalisation d’une matrice (4 points)

On considère la matrice \(B = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ -1 3 0 \\ 1 -1 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculez le polynôme caractéristique de \(B\) et son spectre. (1 point)
2. Déterminez le sous-espace propre de \(B\) et justifiez que \(B\) n’est pas diagonalisable. (1 point)
3. Déterminez une matrice inversible \(P\) et une matrice triangulaire supérieure \(T\) telles que \(B = PTP^{-1}\). (1,5 point)
4. On pose \(N = B – 2I_3\). Calculez \(N^2\), puis déduisez-en \(B^n\) pour tout \(n \geq\, 1\). (0,5 point)

Exercice 4 : Matrices nilpotentes (3 points)

Soit \(N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) une matrice nilpotente non nulle, d’indice \(p\) : \(N^p = 0\) et \(N^{p-1} \neq 0\).

1. Montrez que \(\operatorname{Sp}(N) = \{0\}\), puis que \(\chi_N = X^n\). (1,5 point)
2. Soit \(x \in \mathbb{C}^n\) tel que \(N^{p-1}x \neq 0\). Montrez que la famille \((x, Nx, \ldots, N^{p-1}x)\) est libre. Déduisez-en que \(p \leq\, n\). (1 point)
3. Montrez que \(\operatorname{tr}(N^k) = 0\) pour tout entier \(k \geq\, 1\). (0,5 point)

Exercice 5 : Matrices de rang 1 (5 points)

Soit \(n \geq\, 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) une matrice de rang 1. On note \(V^{\top}\) la transposée d’une colonne \(V\).

1. Montrez qu’il existe deux colonnes non nulles \(U\) et \(V\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) telles que \(A = UV^{\top}\). (1 point)
2. Montrez que \(V^{\top}U = \operatorname{tr}(A)\), puis que \(A^2 = \operatorname{tr}(A)\,A\). (1 point)
3. Montrez que \(0\) est valeur propre de \(A\) avec \(\dim E_0(A) = n – 1\), que \(AU = \operatorname{tr}(A)\,U\), et déduisez-en que \(\chi_A = X^{n-1}(X – \operatorname{tr}(A))\). (1,5 point)
4. Montrez que \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\operatorname{tr}(A) \neq 0\). (1 point)
5. Les matrices \(C = \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 2 4 6 \\ -1 -2 -3 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 1 -1 \\ 1 -1 \end{pmatrix}\) sont-elles diagonalisables ? Donnez leur polynôme caractéristique. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : diagonalisation, trigonalisation et nilpotents

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Diagonalisation et trigonalisation » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés diagonalisation et trigonalisation.

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