Contrôle de maths spé : espérance, variance, loi des grands nombres

Exercice 1 : Question de cours : inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Toutes les variables aléatoires sont discrètes, réelles, définies sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

1. Énoncez et démontrez l’inégalité de Markov. (1,5 point)
2. En déduire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que vous énoncerez précisément. (1,5 point)
3. Énoncez la loi faible des grands nombres. (1 point)

Exercice 2 : Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson (4 points)

Soit \(p \in \,]0, 1[\), \(\lambda > 0\), \(X\) une variable aléatoire de loi \(\mathcal{G}(p)\) et \(Y\) une variable aléatoire de loi \(\mathcal{P}(\lambda)\).

1. À l’aide de la série entière \(\displaystyle\sum_{k \geq\, 0} x^k\) et de ses dérivées, montrez que \(X\) admet une espérance et une variance, et calculez \(E(X)\) et \(V(X)\). (2 points)
2. Montrez que \(Y\) admet une espérance et une variance, et calculez-les en passant par \(E\big(Y(Y – 1)\big)\). (1 point)
3. Justifiez l’existence de \(E(\dfrac{1}{1 + Y})\) et calculez-la. (1 point)

Exercice 3 : L’espérance par les probabilités de queue (4 points)

1. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\). Montrez que, dans \([0, +\infty]\), \(E(X) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} P(X \geq\, n)\), en citant le théorème d’interversion utilisé. En déduire que \(X\) admet une espérance si et seulement si cette série converge. (1,5 point)
2. On lance deux fois un dé équilibré à six faces et on note \(M\) le plus grand des deux résultats. Calculez \(P(M \leq\, k)\) pour \(k \in \{1, \ldots, 6\}\), puis \(E(M)\) à l’aide de a). (1,5 point)
3. Retrouvez l’espérance d’une variable de loi \(\mathcal{G}(p)\) à l’aide de a). (1 point)

Exercice 4 : Problème : covariance, points fixes et sondage (8 points)

Partie A : points fixes d’une permutation aléatoire. Soit \(n \geq\, 2\). On choisit une permutation \(\sigma\) de \(\{1, \ldots, n\}\) selon la loi uniforme sur le groupe symétrique \(\mathcal{S}_n\). Pour \(i \in \{1, \ldots, n\}\), on note \(X_i\) la variable qui vaut \(1\) si \(\sigma(i) = i\) et \(0\) sinon, et \(S = X_1 + \cdots + X_n\) le nombre de points fixes de \(\sigma\).

1. Déterminez la loi de \(X_i\) et son espérance. (1 point)
2. Pour \(i \neq j\), calculez \(E(X_i X_j)\) puis \(\operatorname{Cov}(X_i, X_j)\). Les variables \(X_i\) et \(X_j\) sont-elles indépendantes ? (1,5 point)
3. Calculez \(E(S)\) et \(V(S)\). (1,5 point)

Partie B : taille d’un sondage. Dans une grande population, une proportion inconnue \(p \in \,]0, 1[\) de personnes est favorable à un projet. On interroge \(n\) personnes et on modélise leurs réponses par des variables \(Y_1, \ldots, Y_n\) indépendantes de loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\). On pose \(F_n = \dfrac{Y_1 + \cdots + Y_n}{n}\).

4. Calculez \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\). (1 point)
5. Montrez que \(p(1 – p) \leq\, \dfrac{1}{4}\), puis que \(P\big(|F_n – p| \geq\, \varepsilon\big) \leq\, \dfrac{1}{4n\varepsilon^2}\) pour tout \(\varepsilon > 0\). Quel résultat du cours retrouve-t-on quand \(n \to +\infty\) ? (1,5 point)
6. Déterminez le plus petit entier \(n\) pour lequel cette majoration garantit \(P\big(|F_n – p| \geq\, 0{,}02\big) \leq\, 0{,}05\). Que devient-il si l’on se contente d’une précision de \(0{,}04\) ? (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : espérance, variance, loi des grands nombres

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espérance et variance » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espérance et variance.

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