Polynômes d'endomorphismes : QCM de maths spé corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths spé porte sur les polynômes d’endomorphismes : polynôme minimal, polynômes annulateurs, lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Polynômes d’endomorphismes et Cayley-Hamilton du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Polynômes d'endomorphismes - QCM de maths spé

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Répondues : 0 / 10

Question 1

Que dit le théorème de Cayley-Hamilton pour un endomorphisme \(u\) d’un espace de dimension finie ?

A \(\chi_u\) divise le polynôme minimal de \(u\)

B tout polynôme annulateur de \(u\) est un multiple de \(\chi_u\)

C le polynôme caractéristique annule \(u\) : \(\chi_u(u) = 0\)

D le polynôme minimal de \(u\) est égal à \(\chi_u\)

Question 2

Quel est le polynôme minimal de \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\) ?

A \((X - 2)(X - 3)^2\)

B \((X - 2)^3\)

C \((X - 2)^2 (X - 3)\)

D \((X - 2)(X - 3)\)

Question 3

Un endomorphisme \(u\) d’un espace de dimension finie est diagonalisable si et seulement si :

A \(u\) annule un polynôme scindé à racines simples

B \(\chi_u\) est scindé à racines simples

C \(u\) annule un polynôme scindé

D \(u\) annule un polynôme de degré égal à \(\dim E\)

Question 4

Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) tel que \(P(u) = 0\). Laquelle des affirmations est toujours vraie ?

A toute valeur propre de \(u\) est racine de \(P\)

B \(P\) est le polynôme minimal de \(u\)

C \(P\) est un multiple de \(\chi_u\)

D toute racine de \(P\) est valeur propre de \(u\)

Question 5

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 - A - 2I_n = 0\). Alors \(A\) est inversible et :

A \(A^{-1} = \frac{1}{2}(A + I_n)\)

B \(A^{-1} = \frac{1}{2}(I_n - A)\)

C \(A^{-1} = A - I_n\)

D \(A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I_n)\)

Question 6

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3 = A\). Que peut-on affirmer ?

A \(A\) est une matrice de projecteur

B \(A\) est inversible

C \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)

D \(A\) est diagonalisable et \(\mathrm{Sp}(A) = \{-1, 0, 1\}\)

Question 7

Existe-t-il une matrice \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = -I_3\) ?

A oui, et elle est alors diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{C})\)

B non, car on aurait \((\det A)^2 = -1\)

C oui, et son spectre réel est vide

D oui, à condition que \(A\) soit antisymétrique

Question 8

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \((u - \mathrm{Id}) \circ (u - 2\,\mathrm{Id}) = 0\). Que donne le lemme des noyaux ?

A \(u\) a exactement deux valeurs propres, \(1\) et \(2\)

B \(u = \mathrm{Id}\) ou \(u = 2\,\mathrm{Id}\)

C \(\ker(u - \mathrm{Id}) = \{0\}\) ou \(\ker(u - 2\,\mathrm{Id}) = \{0\}\)

D \(E = \ker(u - \mathrm{Id}) \oplus \ker(u - 2\,\mathrm{Id})\)

Question 9

Soit \(u \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^5)\) tel que \(\chi_u = (X - 1)^2 (X - 3)^3\). Quelle est la dimension du sous-espace caractéristique \(\ker(u - 3\,\mathrm{Id})^3\) ?

A \(2\)

B \(5\)

C \(1\)

D \(3\)

Question 10

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la division de \(X^n\) par \(\chi_A = (X - 1)(X - 2)\) donne :

A \(A^n = 2^n A + (1 - 2^n)\,I_2\)

B \(A^n = (2^n - 1)\,A + (2 - 2^n)\,I_2\)

C \(A^n = (2^n - 1)\,A + (1 - 2^n)\,I_2\)

D \(A^n = (2^n + 1)\,A - 2^n I_2\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de polynômes d’endomorphismes en maths spé

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

le polynôme minimal \(\pi_u\), générateur unitaire de l’idéal annulateur ;
le lien entre valeurs propres et racines d’un polynôme annulateur ;
la diagonalisabilité par un polynôme annulateur scindé à racines simples ;
le lemme de décomposition des noyaux ;
le théorème de Cayley-Hamilton pour calculer puissances et inverses ;
les sous-espaces caractéristiques et leur dimension.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire que toute racine d’un polynôme annulateur est valeur propre. Seule l’inclusion \(\mathrm{Sp}(u) \subset \{\text{racines de } P\}\) est vraie : l’identité annule \(X^2 – X\) sans avoir \(0\) pour valeur propre.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour un polynôme minimal, partez du polynôme caractéristique factorisé et testez les diviseurs unitaires qui contiennent chaque valeur propre, du plus petit degré au plus grand. Pour \(A^n\), écrivez la division euclidienne de \(X^n\) par un polynôme annulateur et évaluez-la en ses racines. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths spé

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Éléments propres, Diagonalisation et trigonalisation, Espaces vectoriels normés, Topologie et continuité. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths spé rassemble les 26 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Quelle différence entre polynôme minimal et polynôme caractéristique ?

Le polynôme minimal est le polynôme annulateur unitaire de plus petit degré ; il divise \(\chi_u\) (Cayley-Hamilton) et a les mêmes racines, mais avec des multiplicités éventuellement plus petites.

Le polynôme minimal d’un endomorphisme induit est-il lié à celui de \(u\) ?

Oui : si \(F\) est stable par \(u\), \(\pi_{u_F}\) divise \(\pi_u\). En particulier l’endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable.