Fonctions vectorielles : QCM de maths spé corrigé

Sommaire

Ce QCM de maths spé porte sur les fonctions vectorielles d’une variable réelle : dérivation par coordonnées, dérivée d’une application bilinéaire ou multilinéaire de fonctions, inégalité des accroissements finis et formules de Taylor. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Fonctions vectorielles d’une variable réelle du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Fonctions vectorielles - QCM de maths spé

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(E\) de dimension finie, muni d’une base, et \(f : I \to E\). La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si :

A \(f\) est continue en \(a\)

B la fonction \(\|f\|\) est dérivable en \(a\)

C l’une de ses fonctions coordonnées est dérivable en \(a\)

D ses fonctions coordonnées dans la base sont dérivables en \(a\)

Question 2

Soit \(f : I \to \mathbb{R}^n\) dérivable telle que \(\|f(t)\|_2\) soit constante. Que peut-on affirmer pour tout \(t\) ?

A \(\langle f(t), f'(t) \rangle = 0\)

B \(f'(t)\) est colinéaire à \(f(t)\)

C \(\|f'(t)\|_2\) est constante

D \(f'(t) = 0\)

Question 3

Pour \(f_1, f_2 : I \to \mathbb{R}^2\) dérivables, quelle est la dérivée de \(t \mapsto \det\big(f_1(t), f_2(t)\big)\) ?

A \(\det(f_1', f_2) + \det(f_1, f_2')\)

B \(\det(f_1', f_2) - \det(f_1, f_2')\)

C \(\det(f_1', f_2')\)

D \(\det(f_1', f_2)\,\det(f_1, f_2')\)

Question 4

Pour \(A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dérivable, quelle est la dérivée de \(t \mapsto A(t)^2\) ?

A \(2A'(t)A(t)\)

B \(2A(t)A'(t)\)

C \(A'(t)^2\)

D \(A'(t)A(t) + A(t)A'(t)\)

Question 5

On pose \(R(t) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}\). Que vaut \(R'(t)\) ?

A \(R(t)^\top\)

B \(R\left(t - \frac{\pi}{2}\right)\)

C \(R\left(t + \frac{\pi}{2}\right)\)

D \(-R(t)\)

Question 6

Que vaut \(\int_0^1 \left(t, t^2, e^t\right)\mathrm{d}t\) dans \(\mathbb{R}^3\) ?

A \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, e - 1\right)\)

B \(\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, e - 1\right)\)

C \(\left(1, \frac{1}{3}, e - 1\right)\)

D \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, e\right)\)

Question 7

Pour \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) sur \([0, 2\pi]\), laquelle des affirmations est vraie ?

A il existe \(c \in ]0, 2\pi[\) tel que \(f'(c) = 0\), par le théorème de Rolle

B l’inégalité des accroissements finis est en défaut pour \(f\)

C \(f(2\pi) = f(0)\) alors que \(f'\) ne s’annule jamais sur \([0, 2\pi]\)

D \(\|f(2\pi) - f(0)\| = 2\pi \sup \|f'\|\)

Question 8

Soit \(f : [a, b] \to E\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Que dit l’inégalité des accroissements finis ?

A \(\|f(b) - f(a)\| = (b - a)\|f'(c)\|\) pour un certain \(c \in ]a, b[\)

B \(\|f(b) - f(a)\| \leqslant (b - a) \sup_{[a,b]} \|f'\|\)

C \(\|f(b) - f(a)\| \leqslant (b - a) \inf_{[a,b]} \|f'\|\)

D \(\|f(b) - f(a)\| \leqslant \sup_{[a,b]} \|f'\|\)

Question 9

Soit \(f : I \to E\) de classe \(\mathcal{C}^n\) avec \(E\) de dimension finie et \(a \in I\). Quelle formule de Taylor est valable ?

A \(f(a + h) = \sum_{k=0}^{n} \frac{h^k}{k!} f^{(k)}(a) + o(h^{n+1})\)

B \(f(a + h) = \sum_{k=0}^{n} \frac{h^k}{k!} f^{(k)}(a) + o(h^n)\)

C \(f(a + h) = \sum_{k=0}^{n} h^k f^{(k)}(a) + o(h^n)\)

D \(f(a + h) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{h^k}{k!} f^{(k)}(a) + \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(c)\) pour un \(c\) entre \(a\) et \(a + h\)

Question 10

Soit \(f : \mathbb{R} \to E\) et \(\varphi : I \to \mathbb{R}\) dérivables. Que vaut \((f \circ \varphi)'(t)\) ?

A \(f'\big(\varphi(t)\big)\)

B \(\varphi'(t)\,f'(t)\)

C \(\varphi'(t)\,f'\big(\varphi(t)\big)\)

D \(f'\big(\varphi'(t)\big)\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de fonctions vectorielles en maths spé

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la dérivabilité par coordonnées en dimension finie ;
la dérivée d’un produit scalaire, d’un déterminant et d’un produit matriciel ;
la dérivée d’une composée \(f \circ \varphi\) ;
l’inégalité des accroissements finis, et l’absence d’égalité en vectoriel ;
les formules de Taylor (reste intégral, Taylor-Young) pour les fonctions vectorielles.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : dériver \(t \mapsto A(t)^2\) en \(2A(t)A'(t)\). Le produit matriciel n’est pas commutatif : la bonne dérivée est \(A'(t)A(t) + A(t)A'(t)\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour dériver \(B(f, g)\) avec \(B\) bilinéaire, dérivez « un facteur à la fois » en respectant l’ordre des facteurs. Pour majorer un écart \(\|f(b) – f(a)\|\), utilisez l’inégalité des accroissements finis : le théorème de Rolle et l’égalité des accroissements finis n’existent pas pour les fonctions vectorielles. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths spé

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Séries de fonctions, Séries entières, Intégrales généralisées, Convergence dominée. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths spé rassemble les 26 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi l’égalité des accroissements finis ne se généralise-t-elle pas ?

Pour \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) sur \([0, 2\pi]\), on a \(f(2\pi) – f(0) = 0\) alors que \(f'(t)\) ne s’annule jamais. Seule l’inégalité reste vraie.

Comment dériver \(t \mapsto \det\big(C_1(t), \dots, C_n(t)\big)\) ?

Le déterminant est multilinéaire : la dérivée est la somme des \(n\) déterminants obtenus en remplaçant une seule colonne \(C_i\) par sa dérivée \(C_i’\).