Contrôle de maths spé : éléments propres et polynôme caractéristique

Exercice 1 : Question de cours (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \geq\, 1\), et le polynôme caractéristique d’une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est \(\chi_A = \det(XI_n – A)\).

1. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) et \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\) des valeurs propres de \(u\) deux à deux distinctes. Démontrez que la somme \(E_{\lambda_1}(u) + \cdots + E_{\lambda_p}(u)\) est directe. (2 points)
2. Démontrez que \(\chi_A\) est un polynôme unitaire de degré \(n\), dont le coefficient de \(X^{n-1}\) vaut \(-\operatorname{tr}(A)\) et le coefficient constant vaut \((-1)^n\det(A)\). (2 points)

Exercice 2 : Spectre d’une matrice à paramètre (5 points)

Pour \(m \in \mathbb{R}\), on pose \(A_m = \begin{pmatrix} 1 0 m \\ 0 2 0 \\ 1 0 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculez le polynôme caractéristique de \(A_m\) sous forme factorisée. (1 point)
2. Selon la valeur de \(m\), déterminez le spectre réel de \(A_m\) et la multiplicité de chaque valeur propre. (1,5 point)
3. On prend \(m = 1\). Déterminez une base de chaque sous-espace propre de \(A_1\). (1,5 point)
4. On prend \(m = -4\). Déterminez le spectre complexe de \(A_{-4}\) et un vecteur propre associé à la valeur propre de partie imaginaire strictement positive. (1 point)

Exercice 3 : Matrices triangulaires par blocs (4 points)

1. Soit \(M = \begin{pmatrix} A B \\ 0 D \end{pmatrix}\) avec \(A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\) et \(D \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K})\). En admettant que \(\det M = \det A \times \det D\), montrez que \(\chi_M = \chi_A\,\chi_D\). (0,5 point)
2. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) et \(F\) un sous-espace de \(E\) stable par \(u\), non réduit à \(\{0\}\). Montrez que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit \(u_F\) divise \(\chi_u\). (1 point)
3. Déterminez le polynôme caractéristique et le spectre de
   \[M = \begin{pmatrix} 1 2 5 7 \\ 3 2 -1 4 \\ 0 0 2 1 \\ 0 0 1 2 \end{pmatrix}.\]
   (1,5 point)
4. Trouvez un vecteur propre de \(M\) associé à la valeur propre 4. (1 point)

Exercice 4 : Endomorphismes qui commutent (3 points)

Soit \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de \(E\) tels que \(u \circ v = v \circ u\).

1. Montrez que \(\ker u\), \(\operatorname{Im} u\) et chaque sous-espace propre \(E_\lambda(u)\) sont stables par \(v\). (1 point)
2. On suppose que \(u\) possède \(n\) valeurs propres distinctes. Montrez que tout vecteur propre de \(u\) est aussi un vecteur propre de \(v\). (1 point)
3. Déterminez toutes les matrices \(B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) qui commutent avec \(D = \operatorname{diag}(1, 2, 3)\). (1 point)

Exercice 5 : Polynômes caractéristiques de AB et BA (4 points)

Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. On suppose \(A\) inversible. Vérifiez que \(AB = A(BA)A^{-1}\), puis déduisez-en que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\). (1 point)
2. Sans hypothèse sur \(A\), montrez que \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres non nulles. (1 point)
3. Montrez que 0 est valeur propre de \(AB\) si et seulement si 0 est valeur propre de \(BA\). (0,5 point)
4. On prend \(n = 2\), \(A = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\). Calculez \(AB\) et \(BA\), leurs polynômes caractéristiques et la dimension de leurs sous-espaces propres. Les matrices \(AB\) et \(BA\) sont-elles semblables ? (1 point)
5. Déduisez de a) que \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) lorsque \(A\) est inversible. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : éléments propres et polynôme caractéristique

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Éléments propres » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés éléments propres.

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