Contrôle de maths spé : fonctions génératrices et lois de sommes

Exercice 1 : Question de cours : la fonction génératrice caractérise la loi (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

1. Définissez la fonction génératrice \(G_X\) de \(X\). Montrez que la série entière qui la définit a un rayon de convergence au moins égal à \(1\) et qu’elle converge normalement sur \([-1, 1]\). (1 point)
2. Montrez que \(G_X\) caractérise la loi de \(X\) : si \(G_X = G_Y\) sur \([-1, 1]\), alors \(X\) et \(Y\) ont même loi. (1 point)
3. On suppose que le rayon de convergence de \(G_X\) est strictement supérieur à \(1\). Montrez que \(X\) admet une espérance et que \(E(X) = G_X^{\prime}(1)\). Rappelez, sans démonstration, l’énoncé général lorsque le rayon vaut \(1\). (1 point)

Exercice 2 : Fonctions génératrices des lois usuelles (5 points)

Soit \(p \in \,]0, 1[\), \(n, m \in \mathbb{N}^*\) et \(\lambda, \mu > 0\).

1. Calculez la fonction génératrice d’une variable de loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p)\), binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\), géométrique \(\mathcal{G}(p)\) et de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). Précisez à chaque fois le rayon de convergence. (2 points)
2. On admet que si le rayon de \(G_X\) est strictement supérieur à \(1\), alors \(E\big(X(X – 1)\big) = G_X^{\prime\prime}(1)\). Établissez la formule \(V(X) = G_X^{\prime\prime}(1) + G_X^{\prime}(1) – G_X^{\prime}(1)^2\) et appliquez-la à la loi \(\mathcal{G}(p)\). (1,5 point)
3. Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes. À l’aide des fonctions génératrices, déterminez la loi de \(X + Y\) lorsque \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) et \(Y \sim \mathcal{B}(m, p)\), puis lorsque \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\). (1,5 point)

Exercice 3 : Somme d’un nombre aléatoire de variables (4 points)

Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et \((X_k)_{k \geq\, 1}\) une suite de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}\), de même loi que \(X_1\), telles que \(N, X_1, X_2, \ldots\) soient mutuellement indépendantes. On pose \(S = \displaystyle\sum_{k=1}^{N} X_k\), avec la convention \(S = 0\) si \(N = 0\), et \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrez que \(G_S(t) = G_N\big(G_{X_1}(t)\big)\) pour tout \(t \in [-1, 1]\). Citez le théorème d’interversion des sommes utilisé. (1,5 point)
2. On suppose que \(N\) et \(X_1\) admettent une espérance. Montrez que \(S\) admet une espérance et que \(E(S) = E(N)\,E(X_1)\). (1 point)
3. Un pêcheur attrape un nombre \(N\) de poissons de loi \(\mathcal{P}(\lambda)\) ; chaque poisson est, indépendamment, un brochet avec la probabilité \(p\). Déterminez la loi du nombre de brochets pêchés. (1,5 point)

Exercice 4 : Problème : extinction d’une population de Galton-Watson (8 points)

Une population évolue par générations. À la génération \(0\), il y a un seul individu : \(Z_0 = 1\). Chaque individu de la génération \(n\) a, indépendamment des autres, un nombre d’enfants de même loi qu’une variable \(X\) telle que

\[P(X = 0) = \dfrac{1}{4}, \qquad P(X = 1) = \dfrac{1}{4}, \qquad P(X = 2) = \dfrac{1}{2}.\]

On note \(Z_n\) l’effectif de la génération \(n\) et on admet que \(Z_{n+1} = \displaystyle\sum_{i=1}^{Z_n} X_{n,i}\), où les \(X_{n,i}\) (\(i \geq\, 1\)) ont la loi de \(X\) et où \(Z_n, X_{n,1}, X_{n,2}, \ldots\) sont mutuellement indépendantes. On note \(G = G_X\), \(m = E(X)\) et \(u_n = P(Z_n = 0)\).

1. Calculez \(G(t)\) et \(m\). À l’aide de l’exercice 3, montrez que \(G_{Z_{n+1}} = G_{Z_n} \circ G\), puis que \(G_{Z_n}\) est la composée \(G \circ G \circ \cdots \circ G\) de \(n\) fonctions égales à \(G\). (1 point)
2. Montrez que \(E(Z_n) = m^n\). (1 point)
3. Justifiez que \(u_n = G_{Z_n}(0)\) et que \(u_{n+1} = G(u_n)\). Calculez \(u_1\) et \(u_2\). (1,5 point)
4. Déterminez les points fixes de \(G\) sur \([0, 1]\). Montrez que la suite \((u_n)\) est croissante, majorée par \(\frac{1}{2}\), et déterminez sa limite. (2 points)
5. On appelle extinction l’événement « il existe \(n\) tel que \(Z_n = 0\) ». Montrez que la probabilité d’extinction vaut \(\frac{1}{2}\). (1 point)
6. On remplace la loi de \(X\) par \(P(X = 0) = \frac{1}{2}\), \(P(X = 1) = \frac{1}{4}\), \(P(X = 2) = \frac{1}{4}\). Calculez la nouvelle valeur de \(m\) et montrez que l’extinction est presque sûre, de deux façons : par les points fixes de la nouvelle fonction génératrice, puis par l’inégalité de Markov appliquée à \(Z_n\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : fonctions génératrices et lois de sommes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fonctions génératrices » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fonctions génératrices.

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