Ce QCM de maths spé porte sur la compacité, la connexité par arcs et les propriétés propres à la dimension finie : bornes atteintes, théorème de Heine, équivalence des normes. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Compacité, connexité par arcs et dimension finie du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Compacité et connexité par arcs - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Par définition, une partie \(K\) d’un espace normé \(E\) est compacte si :
Atoute suite d’éléments de \(K\) admet une valeur d’adhérence dans \(K\)
Btoute suite d’éléments de \(K\) converge dans \(K\)
C\(K\) est fermée et bornée dans \(E\)
Dtoute suite d’éléments de \(K\) admet une valeur d’adhérence dans \(E\)
Question 2
Laquelle des parties suivantes de \(\mathbb{R}^2\) est compacte ?
Ale disque ouvert \(\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1\}\)
Bla droite \(\{(x, y) : y = x\}\)
Cle cercle unité \(\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1\}\)
Dl’ensemble \(\{(x, y) : x > 0,\ xy = 1\}\)
Question 3
Soit \(K\) un compact non vide et \(f : K \to \mathbb{R}\) continue. Alors :
A\(f(K)\) est un intervalle
B\(f\) est bornée et atteint ses bornes
C\(f\) est bornée mais n’atteint pas forcément ses bornes
D\(f\) est lipschitzienne
Question 4
Que dit le théorème de Heine ?
Atoute application continue sur un intervalle borné de \(\mathbb{R}\) y est uniformément continue
Btoute application uniformément continue est bornée
Ctoute application continue sur un compact y est lipschitzienne
Dtoute application continue sur un compact y est uniformément continue
Question 5
Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
Adeux normes équivalentes sur \(\mathbb{R}^n\) ont la même boule unité
Bsur \(\mathbb{R}[X]\), toutes les normes sont équivalentes
Csur \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\), \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sont équivalentes
Dsur \(\mathbb{R}_n[X]\), toutes les normes sont équivalentes
Question 6
Laquelle des parties suivantes est connexe par arcs ?
A\(O_n(\mathbb{R})\)
B\(GL_n(\mathbb{R})\)
C\(GL_n(\mathbb{C})\)
D\(\mathbb{R}^*\)
Question 7
Pourquoi \(GL_n(\mathbb{R})\) est-il une partie ouverte de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) ?
Ac’est l’image réciproque de \(\mathbb{R}^*\) par le déterminant, qui est continu
Bc’est une partie dense de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)
Cc’est l’image réciproque de \(\{0\}\) par le déterminant, qui est continu
Dc’est l’image réciproque de \(\mathbb{R}^*\) par la trace, qui est continue
Question 8
La fonction \((x, y) \mapsto x + 2y\) atteint un maximum sur le cercle unité (compact). Que vaut-il ?
A\(\sqrt{5}\)
B\(\sqrt{3}\)
C\(2\)
D\(3\)
Question 9
Soit \(f : GL_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{R}\) continue, ne prenant que les valeurs \(0\) et \(1\). Que peut-on affirmer ?
A\(f\) prend forcément les deux valeurs
B\(f\) est constante
C\(f\) est constante seulement si \(n = 1\)
D\(f\) peut valoir \(1\) exactement sur les matrices de déterminant réel positif
Question 10
Pourquoi le groupe orthogonal \(O_n(\mathbb{R})\) est-il compact ?
Ail est fini
Bc’est un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb{R})\), qui est compact
Cil est fermé et borné dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), de dimension finie
Dil est connexe par arcs et borné
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de compacité et connexité par arcs en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition de la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass ;
le théorème des bornes atteintes et le théorème de Heine ;
les compacts de la dimension finie : les fermés bornés ;
la connexité par arcs et le théorème des valeurs intermédiaires généralisé ;
l’équivalence des normes en dimension finie et la continuité du déterminant.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : affirmer qu’un fermé borné est compact dans n’importe quel espace normé. Ce n’est vrai qu’en dimension finie ; en dimension infinie, la boule unité fermée n’est jamais compacte.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour prouver l’existence d’un extremum, cherchez un compact sur lequel la fonction est continue, quitte à restreindre le domaine. Pour une partie de matrices, pensez à l’écrire comme image réciproque par le déterminant ou par \(M \mapsto M^\top M\), continues. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est-il pas connexe par arcs alors que \(GL_n(\mathbb{C})\) l’est ?
Le déterminant est continu et prend sur \(GL_n(\mathbb{R})\) des valeurs positives et négatives, mais jamais \(0\) : un chemin entre les deux contredirait les valeurs intermédiaires. Dans \(\mathbb{C}^*\), on peut contourner \(0\).
Une image continue de compact est-elle compacte ?
Oui, c’est un résultat central : il donne le théorème des bornes atteintes, puisque \(f(K)\) est alors une partie compacte de \(\mathbb{R}\), donc fermée et bornée.
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «compacité et connexité par arcs : QCM de maths spé» au format PDF.
