Contrôle de maths spé : polynôme minimal, noyaux et Cayley-Hamilton

Exercice 1 : Question de cours (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \geq\, 1\), et \(\mu_u\) désigne le polynôme minimal d’un endomorphisme \(u\) de \(E\).

1. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) et \(P_1\), \(P_2\) deux polynômes premiers entre eux. Démontrez que
   \[\ker((P_1P_2)(u)) = \ker(P_1(u)) \oplus \ker(P_2(u)).\]
   Indiquez comment on étend ce résultat à un produit de \(r\) polynômes deux à deux premiers entre eux. (3 points)
2. Énoncez le théorème de Cayley-Hamilton. Qu’en déduit-on pour le degré de \(\mu_u\) ? (1 point)

Exercice 2 : Polynôme minimal d’une matrice (5 points)

On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix}\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

1. Calculez \(A^2\), puis vérifiez que \((A + I_3)(A – 2I_3) = 0\). (1 point)
2. Déterminez le polynôme minimal de \(A\). (1 point)
3. Justifiez que \(A\) est diagonalisable, déterminez son spectre et, à l’aide de la trace, la multiplicité de chaque valeur propre. Donnez \(\chi_A\). (1 point)
4. Justifiez que \(A\) est inversible et exprimez \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\). (0,5 point)
5. Pour \(n \in \mathbb{N}\), déterminez le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \((X + 1)(X – 2)\). Déduisez-en les coefficients de \(A^n\). (1,5 point)

Exercice 3 : Polynômes annulateurs (4 points)

1. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3 = A\). Montrez que \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) et que \(\operatorname{Sp}(A) \subset \{-1, 0, 1\}\). (1 point)
2. Avec la même matrice \(A\), démontrez que \(\operatorname{rg}(A) = \operatorname{tr}(A^2)\). (1 point)
3. Soit \(p\) un projecteur et \(s\) une symétrie de \(E\). À l’aide du lemme des noyaux, montrez que \(p\) et \(s\) sont diagonalisables, que \(\operatorname{rg}(p) = \operatorname{tr}(p)\) et que \(E = \ker(s – \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})\). (1 point)
4. Soit \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(B^2 = -I_n\). Montrez que \(n\) est pair, que \(B\) n’est pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\), mais qu’elle l’est sur \(\mathbb{C}\). (1 point)

Exercice 4 : L’algèbre K[u] (3 points)

Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) et \(d\) le degré de \(\mu_u\). On note \(\mathbb{K}[u] = \{P(u) : P \in \mathbb{K}[X]\}\).

1. Montrez que \((\mathrm{id}, u, \ldots, u^{d-1})\) est une base de \(\mathbb{K}[u]\). Quelle est la dimension de \(\mathbb{K}[u]\) ? (1,5 point)
2. Montrez que \(u\) est inversible si et seulement si \(\mu_u(0) \neq 0\), et que dans ce cas \(u^{-1} \in \mathbb{K}[u]\). Retrouvez le résultat de l’exercice 2 d). (1,5 point)

Exercice 5 : Codiagonalisation (4 points)

Soit \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de \(E\) tels que \(u \circ v = v \circ u\).

1. Montrez que chaque sous-espace propre \(E_\lambda(u)\) est stable par \(v\). (0,5 point)
2. On note \(v_\lambda\) l’endomorphisme induit par \(v\) sur \(E_\lambda(u)\). Montrez que \(v_\lambda\) est diagonalisable. (1 point)
3. Déduisez-en qu’il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres communs à \(u\) et \(v\). (1 point)
4. Application : on pose \(M = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}\) et \(N = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 1 2 \end{pmatrix}\). Vérifiez que \(MN = NM\), puis trouvez une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{-1}MP\) et \(P^{-1}NP\) soient toutes deux diagonales. (1 point)
5. Montrez la réciproque : si \(u\) et \(v\) sont diagonalisables dans une même base, ils commutent. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : polynôme minimal, noyaux et Cayley-Hamilton

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Polynômes d’endomorphismes » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés polynômes d’endomorphismes.

Retrouvez tous les contrôles de maths spé classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

Autres contrôles de maths spé sur ce thème

• Contrôle de maths spé : DS de réduction des endomorphismes