Ce contrôle de maths spé porte sur le thème suivant : espaces probabilisés et variables discrètes.
Ce devoir de maths spé couvre deux chapitres : les espaces probabilisés et les variables aléatoires discrètes. La question de cours porte sur la dénombrabilité de N² et de Q, puis sur le théorème de continuité croissante, à démontrer.
Vous étudierez ensuite un jeu de pile ou face infini, où il faudra écrire des événements à l’aide d’unions et d’intersections dénombrables, puis la loi géométrique et sa propriété d’absence de mémoire. Le problème final fait travailler les lois de Poisson, une loi conditionnelle binomiale et les lois marginales d’un couple. L’espérance n’intervient pas. Durée : 2 h 30, sans calculatrice.
- Niveau : maths spé (MP)
- Chapitres : Ensembles dénombrables et espaces probabilisés + Variables aléatoires discrètes et lois usuelles
- Durée conseillée : 2 heures 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 8 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : démontrer la dénombrabilité d’un ensemble et le théorème de continuité croissante
- Modéliser : traduire une expérience infinie par des unions et intersections d’événements
- Calculer : déterminer la loi d’un minimum, d’une somme et les lois marginales d’un couple
- Communiquer : justifier l’indépendance et citer la formule des probabilités totales
Exercice 1 : Question de cours : dénombrabilité et continuité monotone (3 points)
Calculatrice interdite. Documents interdits.
- Rappelez la définition d’un ensemble dénombrable. Montrez que l’application \(\varphi : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}^*\), \((p, q) \mapsto 2^p(2q + 1)\) est bijective et en déduire que \(\mathbb{N}^2\) est dénombrable. (1 point)
- En déduire que \(\mathbb{Q}\) est dénombrable. On pourra utiliser sans démonstration qu’un produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable et que l’image d’un ensemble dénombrable par une application est finie ou dénombrable. (0,5 point)
- Soit \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) un espace probabilisé et \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite croissante d’événements. Énoncez et démontrez le théorème de continuité croissante. (1,5 point)
Exercice 2 : Pile ou face infini (4 points)
On lance indéfiniment une pièce qui donne pile avec la probabilité \(p \in \,]0, 1[\), les lancers étant mutuellement indépendants. Pour \(k \in \mathbb{N}^*\), on note \(P_k\) l’événement « le \(k\)-ième lancer donne pile » et \(F_k\) son contraire. On admet l’existence d’un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\) modélisant cette expérience.
- Montrez que l’événement « on n’obtient jamais pile » est négligeable. (1 point)
- Écrivez l’événement « on obtient pile une infinité de fois » à l’aide des \(P_k\), d’unions et d’intersections, puis montrez qu’il est presque sûr. (1,5 point)
- On note \(T\) le rang du premier pile (défini sur l’événement presque sûr « on obtient au moins un pile »). Déterminez la loi de \(T\) et vérifiez que la somme des probabilités vaut \(1\). (1,5 point)
Exercice 3 : Loi géométrique, absence de mémoire et minimum (5 points)
Soit \(p, q \in \,]0, 1[\), \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes, de lois géométriques respectives \(\mathcal{G}(p)\) et \(\mathcal{G}(q)\) : \(P(X = k) = p(1 – p)^{k-1}\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\).
- Calculez \(P(X > n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (1 point)
- Montrez que \(P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k)\) pour tous \(n, k \in \mathbb{N}\) (absence de mémoire). (1 point)
- Réciproquement, soit \(W\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(W > n) > 0\) et \(P(W > n + k \mid W > n) = P(W > k)\) pour tous \(n, k \in \mathbb{N}\). Montrez que \(W\) suit une loi géométrique dont vous préciserez le paramètre. (1,5 point)
- On pose \(Z = \min(X, Y)\). Calculez \(P(Z > n)\) et en déduire que \(Z\) suit une loi géométrique de paramètre \(p + q – pq\). (1,5 point)
Exercice 4 : Problème : lois de Poisson et clients d’un magasin (8 points)
Partie A. Soit \(\lambda, \mu > 0\) et \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) et \(\mathcal{P}(\mu)\).
- Déterminez la loi de \(X + Y\). (1,5 point)
- Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminez la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((X + Y = n)\) et reconnaissez une loi usuelle. (1,5 point)
Partie B. Le nombre \(N\) de clients qui entrent un jour donné dans un magasin suit la loi \(\mathcal{P}(\lambda)\). Chaque client fait un achat avec la probabilité \(p \in \,]0, 1[\), indépendamment des autres. On note \(S\) le nombre de clients qui achètent et \(R = N – S\) le nombre de ceux qui n’achètent rien. Le modèle se traduit par : pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\), \(P(S = k \mid N = n) = \dbinom{n}{k} p^k (1 – p)^{n-k}\).
- Donnez la loi du couple \((N, S)\). (1 point)
- Déterminez la loi marginale de \(S\). (1,5 point)
- Calculez \(P(S = k, R = j)\) pour \((k, j) \in \mathbb{N}^2\). En déduire la loi de \(R\) et montrez que \(S\) et \(R\) sont indépendantes. (1,5 point)
- Soit \(k \in \mathbb{N}\). Sachant que \(k\) clients ont acheté, déterminez la loi conditionnelle de \(N – k\), c’est-à-dire \(P(N = k + j \mid S = k)\) pour \(j \in \mathbb{N}\). Commentez. (1 point)
Réviser avant le contrôle : espaces probabilisés et variables discrètes
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces probabilisés » en maths spé et « Variables aléatoires discrètes » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces probabilisés, variables aléatoires discrètes.
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