Voici le corrigé du contrôle de maths de 3ème sur le thème : équations du premier degré et produit nul.
Voici la correction rédigée de l’évaluation sur les équations. Chaque résolution est présentée ligne par ligne, avec l’opération faite sur les deux membres, puis une phrase qui donne la ou les solutions.
Pour l’équation produit nul, on cite la propriété « un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul » avant de résoudre chaque petite équation. Tu verras aussi pourquoi \(x^2 = -4\) n’a pas de solution et comment écrire des racines carrées exactes. Le barème détaillé suit chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 3ème : équations du premier degré et produit nul.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes | 4 points |
| Exercice 2 : Équations du premier degré | 5 points |
| Exercice 3 : Équations produit nul | 4 points |
| Exercice 4 : Équations du type x² = a | 3 points |
| Exercice 5 : Même périmètre | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes (4 points)
- On remplace \(x\) par \(-2\) dans chaque membre.
Membre de gauche : \(3 \times (-2) + 7 = -6 + 7 = 1\).
Membre de droite : \(-2 + 3 = 1\).
Les deux membres sont égaux : \(-2\) est solution de l’équation. - \(x = \dfrac{-35}{5}\). La solution est \(-7\).
- \(x = -3 + 8\). La solution est 5.
- \(49 = 7^2\) et \(49 = (-7)^2\). Les solutions sont 7 et \(-7\).
Barème : a) 1 point : 0,5 point pour le calcul des deux membres, 0,5 point pour la conclusion ; b), c), d) 1 point chacune (en d, 0,5 point si la solution \(-7\) est oubliée).
Exercice 2 : Équations du premier degré (5 points)
- \(4x – 9 = 11\)
\(4x = 11 + 9\)
\(4x = 20\)
\(x = 5\)
La solution est 5. - \(7x + 3 = 2x – 12\)
\(7x – 2x = -12 – 3\)
\(5x = -15\)
\(x = -3\)
La solution est \(-3\). Vérification : \(7 \times (-3) + 3 = -18\) et \(2 \times (-3) – 12 = -18\). - On développe en changeant les signes de la parenthèse précédée de moins :
\(6x – 3 – x – 4 = 8\)
\(5x – 7 = 8\)
\(5x = 15\)
\(x = 3\)
La solution est 3. Vérification : \(3 \times 5 – 7 = 8\). - On multiplie les deux membres par 6, multiple commun de 3 et 2 :
\(6 \times \dfrac{x}{3} + 6 \times 2 = 6 \times \dfrac{x}{2}\)
\(2x + 12 = 3x\)
\(12 = 3x – 2x\)
\(x = 12\)
La solution est 12. Vérification : \(\dfrac{12}{3} + 2 = 6\) et \(\dfrac{12}{2} = 6\).
Barème : a) et b) 1 point chacune : 0,5 point pour les étapes, 0,5 point pour la solution ; c) 1,5 point : 0,5 point pour le développement correct, 0,5 point pour la réduction, 0,5 point pour la solution ; d) 1,5 point : 1 point pour l’élimination des fractions, 0,5 point pour la solution.
Erreur fréquente : en c, écrire \(-x + 4\) au lieu de \(-x – 4\) : le signe moins devant la parenthèse change le signe des deux termes.
Exercice 3 : Équations produit nul (4 points)
Propriété : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
- \(x – 4 = 0\) ou \(2x + 6 = 0\)
\(x = 4\) ou \(2x = -6\), soit \(x = -3\).
Les solutions sont 4 et \(-3\). - \(3x + 1 = 0\) ou \(5 – x = 0\)
\(3x = -1\), soit \(x = -\dfrac{1}{3}\), ou \(x = 5\).
Les solutions sont \(-\dfrac{1}{3}\) et 5. - On factorise par \(x\) : \(x(x – 6) = 0\).
\(x = 0\) ou \(x – 6 = 0\), soit \(x = 6\).
Les solutions sont 0 et 6. - \(4x^2 – 25 = (2x)^2 – 5^2 = (2x – 5)(2x + 5)\), donc l’équation s’écrit \((2x – 5)(2x + 5) = 0\).
\(2x – 5 = 0\) ou \(2x + 5 = 0\)
\(x = \dfrac{5}{2}\) ou \(x = -\dfrac{5}{2}\).
Les solutions sont \(\dfrac{5}{2}\) et \(-\dfrac{5}{2}\).
Barème : 1 point par équation : 0,5 point pour la propriété appliquée (et la factorisation en c et d), 0,5 point pour les deux solutions.
Erreur fréquente : en c, diviser les deux membres par \(x\) et obtenir seulement \(x = 6\) : on perd alors la solution \(x = 0\).
Exercice 4 : Équations du type x² = a (3 points)
- 13 est positif, donc l’équation a deux solutions : \(\sqrt{13}\) et \(-\sqrt{13}\).
- Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas être égal à \(-4\). L’équation n’a pas de solution.
- \(2x^2 – 7 = 43\)
\(2x^2 = 50\)
\(x^2 = 25\)
Les solutions sont 5 et \(-5\).
Barème : a) 1 point (0,5 point si \(-\sqrt{13}\) est oubliée) ; b) 1 point : 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour la conclusion ; c) 1 point : 0,5 point pour \(x^2 = 25\), 0,5 point pour les deux solutions.
Exercice 5 : Même périmètre (4 points)
- Périmètre du rectangle : \(2 \times (2x + 1 + 3) = 2 \times (2x + 4)\), soit \(4x + 8\).
Périmètre du triangle équilatéral : \(3 \times (x + 4)\), soit \(3x + 12\). - On résout l’équation \(4x + 8 = 3x + 12\) :
\(4x – 3x = 12 – 8\)
\(x = 4\)
Vérification : le rectangle mesure \(2 \times 4 + 1 = 9\) m sur 3 m, son périmètre est \(2 \times (9 + 3) = 24\) m ; le triangle a pour côté \(4 + 4 = 8\) m, son périmètre est \(3 \times 8 = 24\) m.
Les deux figures ont le même périmètre, 24 m, pour \(x = 4\). - Pour \(x = 4\), l’aire du rectangle est \(9 \times 3 = 27\) m². Si \(c\) est le côté du carré, \(c^2 = 27\) avec \(c\) positif, donc \(c = \sqrt{27}\).
Comme \(5^2 = 25\) et \(6^2 = 36\), on a \(25 < 27 < 36\), donc \(5 < \sqrt{27} < 6\).
Le côté du carré mesure exactement \(\sqrt{27}\) m, c’est-à-dire entre 5 m et 6 m.
Barème : a) 1 point : 0,5 point par périmètre ; b) 1,5 point : 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour sa résolution, 0,5 point pour la vérification ; c) 1,5 point : 0,5 point pour l’aire 27 m², 0,5 point pour \(\sqrt{27}\) (la solution négative est écartée car c’est une longueur), 0,5 point pour l’encadrement.
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Après le corrigé du contrôle : équations du premier degré et produit nul
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Les équations » en 3ème et « Les inéquations » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les équations.
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