Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : systèmes de deux équations et droites sécantes.
Cette correction détaille chaque résolution ligne par ligne, avec une vérification systématique dans l’équation non utilisée. C’est en effet le meilleur moyen de repérer une erreur de signe. Pour la combinaison, le choix des coefficients multiplicateurs est expliqué avant le calcul.
La partie graphique montre ensuite pourquoi un système dont les droites sont parallèles n’a aucune solution, figure à l’appui. Elle montre aussi comment le déterminant des vecteurs directeurs permet de prévoir le nombre de solutions sans rien résoudre. Le barème accompagne chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : systèmes de deux équations et droites sécantes.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Résoudre par substitution | 4 points |
| Exercice 2 : Résoudre par combinaison | 4 points |
| Exercice 3 : Deux droites dans un repère | 5 points |
| Exercice 4 : Une, aucune ou une infinité de solutions | 3 points |
| Exercice 5 : Des places de cinéma | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Résoudre par substitution (4 points)
- Première équation : \(3 \times 1 + 8 = 11\), elle est vérifiée. Seconde équation : \(1 – 2 \times 8 = -15 \neq -1\), elle n’est donc pas vérifiée.
Le couple \((1\,;8)\) vérifie la première équation, mais il n’est pas solution de \((S_1)\). En effet, une solution doit vérifier les deux équations à la fois. - D’abord, on isole \(y\) dans la première équation : \(y = 11 – 3x\).
Ensuite, on remplace \(y\) dans la seconde équation.
\(x – 2(11 – 3x) = -1\)
\(x – 22 + 6x = -1\)
\(7x = 21\)
\(x = 3\).
Puis \(y = 11 – 3 \times 3 = 2\).
Vérification : \(3 \times 3 + 2 = 11\) et \(3 – 2 \times 2 = -1\).
Le système \((S_1)\) a donc pour unique solution le couple \((3\,;2)\).
Erreur fréquente : oublier de distribuer le signe moins. En effet, \(-2(11 – 3x)\) donne \(-22 + 6x\), et non \(-22 – 6x\).
Barème : a) 0,5 point pour les deux vérifications, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour l’isolement de \(y\), 1 point pour l’équation en \(x\) résolue, 0,5 point pour \(y\), 0,5 point pour la vérification, 0,5 point pour la conclusion sous forme de couple.
Exercice 2 : Résoudre par combinaison (4 points)
- On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3. Ainsi, les coefficients de \(y\) sont opposés.
\(8x + 6y = 10\)
\(9x – 6y = 24\)
En additionnant membre à membre : \(17x = 34\), donc \(x = 2\).
Puis, dans la première équation : \(4 \times 2 + 3y = 5\), soit \(3y = -3\), donc \(y = -1\).
Vérification : \(3 \times 2 – 2 \times (-1) = 6 + 2 = 8\).
La solution de \((S_2)\) est donc le couple \((2\,;-1)\). - On multiplie cette fois la première équation par 3 et la seconde par 2. On obtient alors le même coefficient devant \(x\).
\(6x + 15y = 3\)
\(6x + 8y = -4\)
En soustrayant membre à membre : \(7y = 7\), donc \(y = 1\).
Puis, dans la première équation : \(2x + 5 = 1\), soit \(2x = -4\), donc \(x = -2\).
Vérification : \(3 \times (-2) + 4 \times 1 = -6 + 4 = -2\).
La solution de \((S_3)\) est donc le couple \((-2\,;1)\).
Barème : pour chaque système, 0,5 point pour le choix des coefficients multiplicateurs, 0,5 point pour l’élimination, 0,5 point pour la première inconnue, 0,5 point pour la seconde avec la conclusion.
Exercice 3 : Deux droites dans un repère (5 points)
- \(d_1\) coupe l’axe des ordonnées en 1. De plus, quand \(x\) augmente de 1, \(y\) augmente de 1 : \(d_1 : y = x + 1\).
\(d_2\) coupe l’axe des ordonnées en 7. Ensuite, quand \(x\) augmente de 1, \(y\) diminue de 2 (elle passe par \((1\,;5)\)) : \(d_2 : y = -2x + 7\). - Les droites se coupent au point de coordonnées \((2\,;3)\).
- Les coordonnées \((x\,;y)\) du point d’intersection vérifient donc les deux équations.
\(y = x + 1\)
\(y = -2x + 7\)
Par substitution : \(x + 1 = -2x + 7\), donc \(3x = 6\) et \(x = 2\). Puis \(y = 2 + 1 = 3\).
La solution du système est \((2\,;3)\) : le calcul confirme ainsi la lecture graphique. - \(2x – 4y = 3\) équivaut à \(-4y = -2x + 3\), soit \(y = 0{,}5x – 0{,}75\).
De même, \(-x + 2y = 5\) équivaut à \(2y = x + 5\), soit \(y = 0{,}5x + 2{,}5\).
Les deux droites ont le même coefficient directeur \(0{,}5\) et des ordonnées à l’origine différentes. Elles sont donc strictement parallèles : elles n’ont aucun point commun et \((S_4)\) n’a aucune solution.
Erreur fréquente : en d), additionner les équations sans remarquer le résultat. Or la combinaison « première équation plus deux fois la seconde » donne \(0 = 13\). C’est impossible, ce qui confirme donc qu’il n’y a pas de solution.
Barème : a) 0,75 point par équation ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour le système, 1 point pour la résolution ; d) 0,5 point pour les deux formes réduites, 0,5 point pour le parallélisme, 0,5 point pour la conclusion sur le nombre de solutions.
Exercice 4 : Une, aucune ou une infinité de solutions (3 points)
À chaque équation \(ax + by = c\) est associée une droite de vecteur directeur \(\vec{u}(-b\,;a)\). Ainsi, le système a une seule solution si et seulement si les deux droites sont sécantes. Autrement dit, leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
- La seconde équation est obtenue en multipliant la première par 2. Les deux équations représentent donc la même droite. Le système \((A)\) a une infinité de solutions : tous les couples \((4 – 3y\,;y)\), avec \(y\) réel.
- Vecteurs directeurs : \(\vec{u}(1\,;5)\) et \(\vec{v}(-2\,;3)\). Déterminant : \(1 \times 3 – 5 \times (-2) = 13 \neq 0\), donc les droites sont sécantes.
Par substitution : \(y = 5x – 2\), puis \(3x + 2(5x – 2) = 9\). Ainsi, \(13x = 13\), donc \(x = 1\) et \(y = 3\).
Le système \((B)\) a une seule solution : \((1\,;3)\). - Vecteurs directeurs : \(\vec{u}(9\,;6)\) et \(\vec{v}(-6\,;-4)\). Déterminant : \(9 \times (-4) – 6 \times (-6) = -36 + 36 = 0\) : les droites sont donc parallèles.
On multiplie ensuite la première équation par 2 et la seconde par 3, puis on additionne. On obtient \(12x – 18y – 12x + 18y = 2 + 9\), soit \(0 = 11\), ce qui est impossible.
Par conséquent, le système \((C)\) n’a aucune solution (droites strictement parallèles).
Barème : 1 point par système : 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour la conclusion (en b), la conclusion comprend la solution \((1\,;3)\)).
Exercice 5 : Des places de cinéma (4 points)
- La famille Martin paie 2 places adultes et 3 places enfants. De son côté, la famille Diallo paie 3 places adultes et 1 place enfant.
\(2a + 3e = 41\)
\(3a + e = 40{,}5\)
Le couple \((a\,;e)\) est donc solution de ce système. - De la seconde équation : \(e = 40{,}5 – 3a\). On remplace alors dans la première.
\(2a + 3(40{,}5 – 3a) = 41\)
\(2a + 121{,}5 – 9a = 41\)
\(-7a = -80{,}5\)
\(a = 11{,}5\).
Puis \(e = 40{,}5 – 3 \times 11{,}5 = 40{,}5 – 34{,}5 = 6\).
Vérification : \(2 \times 11{,}5 + 3 \times 6 = 23 + 18 = 41\).
Une place adulte coûte donc \(11{,}50\) € et une place enfant coûte 6 €. - \(2 \times 11{,}5 + 24 \times 6 = 23 + 144 = 167\). Comme \(167 < 170\), le budget de 170 € est suffisant ; il reste 3 €.
Barème : a) 0,5 point pour le choix des inconnues rappelé, 0,5 point par équation ; b) 1,5 point pour la résolution, 0,5 point pour la vérification et la phrase-réponse ; c) 0,5 point.
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Après le corrigé du contrôle : systèmes de deux équations et droites sécantes
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