Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : fonctions carré, inverse et valeur absolue.
Cette correction s’appuie sur les propriétés du cours plutôt que sur des calculs. La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\) ; la fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie. Ces résultats suffisent pour comparer deux carrés ou deux inverses, à condition de bien vérifier dans quel intervalle se trouvent les nombres.
Pour les inéquations, la lecture graphique donne l’idée, puis la factorisation ou le signe de \(x\) permettent de conclure. La valeur absolue \(|x – a|\) est lue comme la distance entre \(x\) et \(a\). Le barème accompagne chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : fonctions carré, inverse et valeur absolue.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Trois courbes de référence | 4 points |
| Exercice 2 : Variations et comparaisons | 4 points |
| Exercice 3 : Inéquations avec le carré et l’inverse | 5 points |
| Exercice 4 : Valeur absolue et distance | 4 points |
| Exercice 5 : Une tolérance de fabrication | 3 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Trois courbes de référence (4 points)
- La fonction inverse n’est pas définie en 0 : sa courbe est en deux morceaux et ne coupe pas l’axe des ordonnées. De plus \(g(2) = 0{,}5\). Seule \(\mathcal{C}_1\) convient.
\(\mathcal{C}_3\) passe par le point \((2\,;4)\) et \(f(2) = 2^2 = 4\), alors que \(\mathcal{C}_2\) passe par le point \((2\,;2)\) et \(h(2) = |2| = 2\). \(\mathcal{C}_2\) est formée de deux demi-droites, comme la courbe de la valeur absolue.
\(\mathcal{C}_1\) représente la fonction inverse \(g\), \(\mathcal{C}_2\) la fonction valeur absolue \(h\) et \(\mathcal{C}_3\) la fonction carré \(f\).
- \(\mathcal{C}_2\) et \(\mathcal{C}_3\) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées : les fonctions valeur absolue et carré sont paires. \(\mathcal{C}_1\) est symétrique par rapport à l’origine : la fonction inverse est impaire.
- La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à 0, et pour tout réel \(x\) : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\). Donc \(f\) est paire.
La fonction inverse est définie sur \(\mathbb{R}\) privé de 0, symétrique par rapport à 0, et pour tout \(x \neq 0\) : \(g(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -g(x)\). Donc \(g\) est impaire.
Barème : a) 1,5 point : 0,5 par courbe correctement associée et justifiée ; b) 1,5 point : 0,5 pour les deux courbes symétriques par rapport à l’axe, 0,5 pour la courbe symétrique par rapport à l’origine, 0,5 pour les mots paire et impaire ; c) 1 point : 0,5 par démonstration.
Exercice 2 : Variations et comparaisons (4 points)
- Fonction carré sur \(\mathbb{R}\) :
\(x\) \(-\infty\) 0 \(+\infty\) \(x^2\) décroissante ↘ 0 croissante ↗ Fonction inverse :
\(x\) \(-\infty\) 0 \(+\infty\) \(\frac{1}{x}\) décroissante ↘ (valeur interdite) décroissante ↘ La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec un minimum égal à 0 en 0 ; la fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et décroissante sur \(]0\,;+\infty[\).
- On a \(-3{,}7 < -2{,}9 \leq\, 0\). Les deux nombres sont dans \(]-\infty\,;0]\), où la fonction carré est décroissante : elle renverse l’ordre.
Donc \((-3{,}7)^2 > (-2{,}9)^2\).
- On a \(0 < 0{,}7 < 0{,}71\). Les deux nombres sont dans \(]0\,;+\infty[\), où la fonction inverse est décroissante.
Donc \(\dfrac{1}{0{,}7} > \dfrac{1}{0{,}71}\).
- Sur \([-5\,;-2]\), la fonction carré est décroissante, donc \(-5 \leq\, x \leq\, -2\) entraîne \((-2)^2 \leq\, x^2 \leq\, (-5)^2\).
\(4 \leq\, x^2 \leq\, 25\).
Erreur fréquente : en d), écrire \(25 \leq\, x^2 \leq\, 4\) en gardant l’ordre, ou oublier que la fonction carré renverse l’ordre sur les négatifs.
Barème : a) 1,5 point : 0,75 par tableau ; b) 1 point : 0,5 pour l’intervalle et le sens de variation, 0,5 pour la conclusion ; c) 0,75 point : 0,5 pour la justification, 0,25 pour la conclusion ; d) 0,75 point.
Exercice 3 : Inéquations avec le carré et l’inverse (5 points)
- Graphiquement, la parabole est strictement sous la droite d’équation \(y = 9\) entre les abscisses \(-3\) et 3.
Par le calcul : \(x^2 < 9\) équivaut à \(x^2 – 9 < 0\), c’est-à-dire \((x – 3)(x + 3) < 0\).
\(x + 3\) s’annule en \(-3\) et \(x – 3\) en 3 ; le produit est négatif entre ces deux valeurs (signes contraires des deux facteurs) et positif à l’extérieur.
\(S = \,]-3\,;3[\).
- \(x^2 \geq\, 5\) équivaut à \((x – \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \geq\, 0\), produit positif ou nul à l’extérieur des racines \(-\sqrt{5}\) et \(\sqrt{5}\).
\(S = \,]-\infty\,;-\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}\,;+\infty[\).
- Si \(x < 0\), alors \(\frac{1}{x} < 0 < 2\) : aucune solution.
Si \(x > 0\), on multiplie les deux membres par \(x\) positif, sans changer le sens : \(1 \geq\, 2x\), soit \(x \leq\, \frac{1}{2}\).
\(S = \,]0\,;\frac{1}{2}]\), ce que confirme le graphique : la branche d’hyperbole est au-dessus de la droite \(y = 2\) pour \(0 < x \leq\, \frac{1}{2}\).
- Si \(x > 0\), alors \(\frac{1}{x} > 0 > -1\) : tous les réels strictement positifs sont solutions.
Si \(x < 0\), on multiplie par \(x\) négatif, ce qui change le sens : \(1 < -x\), soit \(x < -1\).
\(S = \,]-\infty\,;-1[ \cup \,]0\,;+\infty[\).
Erreur fréquente : écrire \(x < 3\) pour \(x^2 < 9\) en oubliant les solutions négatives, ou multiplier par \(x\) sans se demander si \(x\) est négatif.
Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour la lecture graphique, 0,5 pour la factorisation et le signe, 0,5 pour l’intervalle ; b) 1 point ; c) 1,5 point : 0,5 pour le cas \(x < 0\), 0,5 pour le cas \(x > 0\), 0,5 pour l’intervalle avec 0 exclu ; d) 1 point : 0,5 par cas.
Exercice 4 : Valeur absolue et distance (4 points)
- \(|-7| = 7\).
\(\pi \approx 3{,}14 > 3\), donc \(3 – \pi < 0\) et \(|3 – \pi| = \pi – 3\).
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414 < 1{,}5\), donc \(\sqrt{2} – 1{,}5 < 0\) et \(|\sqrt{2} – 1{,}5| = 1{,}5 – \sqrt{2}\).
\(|-7| = 7\) ; \(|3 – \pi| = \pi – 3\) ; \(|\sqrt{2} – 1{,}5| = 1{,}5 – \sqrt{2}\).
- \(|x – 3|\) est la distance entre \(x\) et 3. Les réels à une distance inférieure ou égale à 1 de 3 sont ceux compris entre \(3 – 1 = 2\) et \(3 + 1 = 4\).
\(S = [2\,;4]\).
- \(|x + 2| = |x – (-2)|\) est la distance entre \(x\) et \(-2\). Elle dépasse strictement 3 lorsque \(x < -2 – 3 = -5\) ou \(x > -2 + 3 = 1\).
\(S = \,]-\infty\,;-5[ \cup \,]1\,;+\infty[\).
- \(|x – 1| = |x – (-3)|\) signifie que \(x\) est à la même distance de 1 et de \(-3\) : c’est le milieu, \(\dfrac{1 + (-3)}{2} = -1\).
\(S = \{-1\}\).
Barème : a) 1,5 point : 0,5 par valeur absolue justifiée ; b) 1 point : 0,5 pour l’interprétation, 0,5 pour l’intervalle ; c) 1 point : 0,5 pour l’interprétation, 0,5 pour la réunion d’intervalles ; d) 0,5 point.
Exercice 5 : Une tolérance de fabrication (3 points)
- \(|c – 25| \leq\, 0{,}2\) signifie que la distance entre \(c\) et 25 est au plus 0,2, donc \(25 – 0{,}2 \leq\, c \leq\, 25 + 0{,}2\).
La plaque est conforme lorsque \(c \in [24{,}8\,;25{,}2]\).
- 24,85 et 25,2 appartiennent à \([24{,}8\,;25{,}2]\) ; en revanche \(25{,}21 > 25{,}2\) et \(24{,}79 < 24{,}8\).
Seules les plaques de 24,85 mm et de 25,2 mm sont conformes.
- L’aire est \(A = c^2\). La fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\) et \(0 \leq\, 24{,}8 \leq\, c \leq\, 25{,}2\), donc \(24{,}8^2 \leq\, c^2 \leq\, 25{,}2^2\).
\(24{,}8^2 = 615{,}04\) et \(25{,}2^2 = 635{,}04\).
L’aire d’une plaque conforme est comprise entre 615,04 mm² et 635,04 mm².
Barème : a) 1 point ; b) 1 point : 0,25 par plaque ; c) 1 point : 0,5 pour l’argument de croissance, 0,5 pour les deux valeurs.
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Après le corrigé du contrôle : fonctions carré, inverse et valeur absolue
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles » en 2de et « Fonctions polynômes du second degré » en 2de.
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