Corrigé du contrôle de maths 1ère : variables aléatoires, espérance et variance

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. La somme des probabilités vaut 1 : \(0{,}2 + 0{,}5 + p = 1\), donc \(p = 0{,}3\).
2. \(E(X) = -2 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3 = -0{,}4 + 0{,}5 + 0{,}9\), donc \(E(X) = 1\).
3. \(P(X \geq\, 1) = P(X=1) + P(X=3) = 0{,}5 + 0{,}3\), donc \(P(X \geq\, 1) = 0{,}8\).
4. Par linéarité : \(E(2T-3) = 2E(T) – 3 = 10 – 3\), donc \(E(2T-3) = 7\).
5. \(V(aT+b) = a^2 V(T)\) : \(V(-3T+1) = (-3)^2 \times 4\), donc \(V(-3T+1) = 36\).
6. L’écart type est la racine carrée de la variance : \(\sigma = \sqrt{9} = 3\).
7. König-Huygens : \(V(W) = E(W^2) – E(W)^2 = 13 – 4\), donc \(V(W) = 9\).
8. \(E(Z) = 0 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{3}{4}\), donc \(E(Z) = 3\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte, aucune justification exigée.

Erreur fréquente : écrire \(V(-3T+1) = -3 \times 4 + 1\). La constante ajoutée ne change pas la dispersion et le coefficient est élevé au carré.

Exercice 2 : La roue de la kermesse (4 points)

1. Les probabilités sont proportionnelles aux angles : \(P(\text{bleu}) = \frac{180}{360} = \frac{1}{2}\), \(P(\text{vert}) = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}\), \(P(\text{rouge}) = \frac{60}{360} = \frac{1}{6}\).
   Gains algébriques : \(0 – 4 = -4\) ; \(3 – 4 = -1\) ; \(12 – 4 = 8\). Donc \(X\) prend les valeurs \(-4\), \(-1\) et \(8\).

   \(x_i\)	\(-4\)	\(-1\)	\(8\)
   \(P(X=x_i)\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{6}\)

   Vérification : \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1\).

2. \(E(X) = -4 \times \frac{1}{2} – 1 \times \frac{1}{3} + 8 \times \frac{1}{6} = -2 – \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = -2 + 1 = -1\).
   \(E(X) = -1\) : en moyenne, Inès perd 1 € par partie, le jeu lui est défavorable.
3. \(E(X^2) = 16 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 64 \times \frac{1}{6} = 8 + \frac{1}{3} + \frac{32}{3} = 8 + 11 = 19\).
   \(V(X) = E(X^2) – E(X)^2 = 19 – (-1)^2 = 18\).
   \(\sigma(X) = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\).
   \(V(X) = 18\) et \(\sigma(X) = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) €.
4. La somme reçue (sans compter la participation) a pour espérance \(0 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{3} + 12 \times \frac{1}{6} = 0 + 1 + 2 = 3\) €. Le jeu est équitable quand l’espérance du gain algébrique est nulle, c’est-à-dire quand la participation vaut cette somme moyenne.
   Il faudrait demander une participation de 3 €.

Barème : a) 0,5 point pour les probabilités, 0,5 point pour le tableau des gains ; b) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour \(E(X^2)\), 0,5 point pour \(V(X)\), 0,5 point pour l’écart type ; d) 0,5 point avec justification.

Exercice 3 : Les buts de Lucas au handball (4 points)

1. On lit \(P(Y=0) = 0{,}15\), \(P(Y=1) = 0{,}30\), \(P(Y=2) = 0{,}25\) et \(P(Y=4) = 0{,}10\).
   \(a = 1 – (0{,}15 + 0{,}30 + 0{,}25 + 0{,}10) = 1 – 0{,}80\), donc \(a = 0{,}2\).
2. \(P(Y \geq\, 2) = 0{,}25 + 0{,}2 + 0{,}10\), donc \(P(Y \geq\, 2) = 0{,}55\).
3. \(E(Y) = 0 \times 0{,}15 + 1 \times 0{,}30 + 2 \times 0{,}25 + 3 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}10 = 0 + 0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}6 + 0{,}4 = 1{,}8\).
   \(E(Y) = 1{,}8\) : sur un grand nombre de matchs, Lucas marque en moyenne 1,8 but par match.
4. \(E(Y^2) = 0 \times 0{,}15 + 1 \times 0{,}30 + 4 \times 0{,}25 + 9 \times 0{,}2 + 16 \times 0{,}10 = 0{,}3 + 1 + 1{,}8 + 1{,}6 = 4{,}7\).
   \(V(Y) = 4{,}7 – 1{,}8^2 = 4{,}7 – 3{,}24 = 1{,}46\).
   \(V(Y) = 1{,}46\) et \(\sigma(Y) = \sqrt{1{,}46} \approx 1{,}21\).
5. \(E(Z) = 200E(Y) + 500 = 200 \times 1{,}8 + 500 = 860\).
   \(V(Z) = 200^2 \times V(Y) = 40\,000 \times 1{,}46 = 58\,400\).
   Lucas touche en moyenne 860 € par match, et \(V(Z) = 58\,400\) (soit un écart type d’environ \(242\) €).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’interprétation ; d) 0,5 point pour \(E(Y^2)\), 0,5 point pour \(V(Y)\) et l’écart type ; e) 0,5 point pour \(E(Z)\), 0,5 point pour \(V(Z)\).

Exercice 4 : Une urne simulée en Python (4 points)

1. La liste jetons représente une urne de 8 jetons indiscernables : un jeton qui rapporte 10 €, trois jetons qui rapportent 2 € et quatre jetons qui ne rapportent rien. randint(0, 7) choisit un jeton au hasard, et on retire 3 de la somme lue.
   On tire au hasard un jeton parmi 8, on reçoit la somme inscrite et la participation est de 3 €.
2. \(G\) prend les valeurs \(10 – 3 = 7\), \(2 – 3 = -1\) et \(0 – 3 = -3\).
   

   \(g_i\)	\(-3\)	\(-1\)	\(7\)
   \(P(G=g_i)\)	\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{1}{8}\)

3. \(E(G) = -3 \times \frac{4}{8} – 1 \times \frac{3}{8} + 7 \times \frac{1}{8} = \frac{-12 – 3 + 7}{8} = \frac{-8}{8}\), donc \(E(G) = -1\).
4. moyenne(10000) calcule la moyenne des gains de 10 000 parties simulées. D’après la loi des grands nombres, cette moyenne est proche de l’espérance lorsque le nombre de parties est grand.
   Le résultat affiché sera probablement proche de \(-1\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour l’urne, 0,5 pour les gains et la participation) ; b) 1 point (0,5 pour les valeurs, 0,5 pour les probabilités) ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour la valeur, 0,5 point pour la justification.

Erreur fréquente : oublier de retirer la participation et donner les valeurs 10, 2 et 0.

Exercice 5 : Deux jeux, un même gain moyen (4 points)

1. \(E(X) = -10 \times 0{,}4 + 5 \times 0{,}4 + 20 \times 0{,}2 = -4 + 2 + 4 = 2\).
   \(E(Y) = 0 \times 0{,}6 + 5 \times 0{,}4 = 2\).
   \(E(X) = E(Y) = 2\) : les deux jeux rapportent en moyenne 2 € par partie.
2. \(E(X^2) = 100 \times 0{,}4 + 25 \times 0{,}4 + 400 \times 0{,}2 = 40 + 10 + 80 = 130\), donc \(V(X) = 130 – 2^2 = 126\) et \(\sigma(X) = \sqrt{126} \approx 11{,}22\).
   \(E(Y^2) = 0 \times 0{,}6 + 25 \times 0{,}4 = 10\), donc \(V(Y) = 10 – 2^2 = 6\) et \(\sigma(Y) = \sqrt{6} \approx 2{,}45\).
   \(V(X) = 126\), \(\sigma(X) \approx 11{,}22\) ; \(V(Y) = 6\), \(\sigma(Y) \approx 2{,}45\).
3. Les deux jeux ont la même espérance, mais l’écart type de \(Y\) est beaucoup plus petit : les gains du jeu B sont moins dispersés autour de la moyenne, et on n’y perd jamais d’argent.
   On conseille le jeu B à Sarah.
4. \(E(C) = 3E(Y) – 4 = 6 – 4 = 2\) et \(V(C) = 3^2 \times V(Y) = 9 \times 6 = 54\).
   \(E(C) = 2\) et \(V(C) = 54\) : le gain moyen est le même, mais la variance est 9 fois plus grande, donc le jeu C est plus risqué que le jeu B.

Barème : a) 0,5 point par espérance ; b) 0,5 point par variance, 0,5 point pour les deux écarts types ; c) 0,5 point avec justification par la dispersion ; d) 0,5 point pour \(E(C)\) et \(V(C)\), 0,5 point pour la comparaison.

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Après le corrigé du contrôle : variables aléatoires, espérance et variance

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