Corrigé du contrôle de maths 1ère : forme canonique et équations du second degré

Exercice 1 : Lire un trinôme (4 points)

1. \(f(x) = 2(x^2 – 6x + 9) + 1 = 2x^2 – 12x + 18 + 1\). Donc \(f(x) = 2x^2 – 12x + 19\).
2. \(g(x) = -(x + 2)^2 + 5\) est de la forme \(a(x – \alpha)^2 + \beta\) avec \(a = -1\), \(\alpha = -2\) et \(\beta = 5\). Le sommet est donc \(S(-2 \,;\, 5)\). Comme \(a = -1 < 0\), la parabole est tournée vers le bas. Ainsi, 5 est le maximum de \(g\), atteint en \(-2\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x – 1 = 0\) ou \(x + 4 = 0\). Les solutions sont donc 1 et \(-4\).
4. \(\Delta = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4 \times 2 \times 5 = 9 – 40 = -31\). Comme \(\Delta < 0\), l’équation n’a aucune solution réelle.

Barème : a) 0,5 point pour le développement de \((x – 3)^2\), 0,5 point pour le résultat. Puis b) 0,5 point pour le sommet, 0,5 point pour « maximum » justifié par le signe de \(a\). Ensuite, c) 0,5 point par solution. Enfin, d) 0,5 point pour \(\Delta\), 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : en b, lire le sommet \((2 \,;\, 5)\). Or \((x + 2)^2 = (x – (-2))^2\), donc \(\alpha = -2\).

Exercice 2 : Vers la forme canonique (4 points)

1. On développe le membre de droite : \((x – 3)^2 – 4 = x^2 – 6x + 9 – 4 = x^2 – 6x + 5\). On a bien \(x^2 – 6x + 5 = (x – 3)^2 – 4\) pour tout réel \(x\).
   (On peut aussi compléter le carré. En effet, \(x^2 – 6x\) est le début de \((x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9\), donc \(x^2 – 6x + 5 = (x – 3)^2 – 9 + 5\).)
2. \((x – 3)^2 – 4 = (x – 3)^2 – 2^2\) est de la forme \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\).
   Alors \((x – 3 – 2)(x – 3 + 2)\). Donc \(x^2 – 6x + 5 = (x – 5)(x – 1)\).
3. On factorise d’abord par 2 les termes en \(x\) : \(k(x) = 2(x^2 + 4x) – 10\).
   Puis \(x^2 + 4x = (x + 2)^2 – 4\). Ainsi, \(k(x) = 2[(x + 2)^2 – 4] – 10 = 2(x + 2)^2 – 8 – 10\). \(k(x) = 2(x + 2)^2 – 18\).
4. \(k(x) = 0\) équivaut à \(2(x + 2)^2 = 18\), soit \((x + 2)^2 = 9\). Alors \(x + 2 = 3\) ou \(x + 2 = -3\). Les solutions sont donc 1 et \(-5\).

Barème : a) 1 point pour la démonstration, 0,5 point pour la rédaction (« pour tout réel \(x\) »). Puis b) 0,5 point pour l’identité reconnue, 0,5 point pour la forme factorisée. Ensuite, c) 0,5 point pour la mise en facteur de 2, 0,5 point pour la forme canonique. Enfin, d) 0,5 point pour les deux solutions (0,25 point si la solution \(-5\) est oubliée).

Erreur fréquente : en c, oublier de multiplier le \(-4\) par 2 et écrire \(k(x) = 2(x + 2)^2 – 14\).

Exercice 3 : Résoudre des équations (5 points)

1. \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -15\). Alors \(\Delta = 2^2 – 4 \times 1 \times (-15) = 4 + 60 = 64 > 0\), et \(\sqrt{64} = 8\).
   Donc \(x_1 = \dfrac{-2 – 8}{2} = -5\) et \(x_2 = \dfrac{-2 + 8}{2} = 3\). \(S = \{-5 \,;\, 3\}\).
2. \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -1\). Alors \(\Delta = (-4)^2 – 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24 > 0\). De plus, \(\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}\).
   Ainsi, \(x_1 = \dfrac{4 – 2\sqrt{6}}{4} = \dfrac{2 – \sqrt{6}}{2}\). De même, \(x_2 = \dfrac{4 + 2\sqrt{6}}{4} = \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}\). \(S = \{\dfrac{2 – \sqrt{6}}{2} \,;\, \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}\}\).
3. \(\Delta = (-12)^2 – 4 \times 9 \times 4 = 144 – 144 = 0\). Il y a donc une seule solution, \(x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\).
   (On pouvait aussi reconnaître \(9x^2 – 12x + 4 = (3x – 2)^2\).) \(S = \{\frac{2}{3}\}\).
4. \(\Delta = 1^2 – 4 \times 1 \times 3 = 1 – 12 = -11 < 0\). L’équation n’a donc pas de solution réelle : \(S = \varnothing\).

Barème : a) 0,5 point pour \(\Delta\), 1 point pour les deux racines. Puis b) 0,5 point pour \(\Delta\), 0,5 point pour la simplification de \(\sqrt{24}\), 0,5 point pour les racines simplifiées. Ensuite, c) 0,5 point pour \(\Delta = 0\), 0,5 point pour la racine double. Enfin, d) 0,5 point pour \(\Delta\), 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : en b, simplifier \(\dfrac{4 + 2\sqrt{6}}{4}\) en \(1 + 2\sqrt{6}\). Or il faut diviser les deux termes du numérateur par 4.

Exercice 4 : Une parabole à identifier (3 points)

1. Par lecture graphique, le sommet de \(\mathcal{P}\) est \(S(2 \,;\, 9)\). De plus, \(\mathcal{P}\) coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses \(-1\) et 5. Donc les solutions de \(p(x) = 0\) sont \(-1\) et 5.
2. Les coordonnées du sommet donnent \(\alpha = 2\) et \(\beta = 9\), donc \(p(x) = a(x – 2)^2 + 9\).
   Or \(\mathcal{P}\) passe par le point \((0 \,;\, 5)\), donc \(p(0) = 5\). Ainsi, \(a \times (0 – 2)^2 + 9 = 5\), soit \(4a = -4\), donc \(a = -1\).
   Forme canonique : \(p(x) = -(x – 2)^2 + 9\). Les racines étant \(-1\) et 5 : forme factorisée : \(p(x) = -(x + 1)(x – 5)\).
3. \(-(x – 2)^2 + 9 = -(x^2 – 4x + 4) + 9 = -x^2 + 4x + 5\).
   \(-(x + 1)(x – 5) = -(x^2 – 5x + x – 5) = -(x^2 – 4x – 5) = -x^2 + 4x + 5\).
   Les deux formes donnent donc \(p(x) = -x^2 + 4x + 5\). On retrouve ainsi \(p(0) = 5\).

Barème : a) 0,5 point pour le sommet, 0,5 point pour les racines. Puis b) 0,5 point pour le calcul de \(a\), 0,5 point pour les deux formes. Enfin, c) 0,5 point par développement.

Erreur fréquente : oublier le coefficient \(a\) et écrire \(p(x) = (x + 1)(x – 5)\). Or cette expression représente une parabole tournée vers le haut.

Exercice 5 : Somme et produit des racines (4 points)

1. • \(3 \times 1^2 + 5 \times 1 – 8 = 3 + 5 – 8 = 0\). 1 est bien une racine.
   • Le produit des racines vaut \(\frac{c}{a} = -\frac{8}{3}\). Avec \(x_1 = 1\) : \(1 \times x_2 = -\frac{8}{3}\). L’autre solution est donc \(-\frac{8}{3}\).
   • \(1 + (-\frac{8}{3}) = \frac{3}{3} – \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}\), et \(-\frac{b}{a} = -\frac{5}{3}\). La somme est bien vérifiée.
2. • Le périmètre vaut \(2(L + \ell) = 14\), donc \(L + \ell = 7\). De plus, l’aire vaut \(L \times \ell = 10\).
     Pour tout réel \(x\), \((x – L)(x – \ell) = x^2 – (L + \ell)x + L\ell = x^2 – 7x + 10\). Ce trinôme s’annule en \(L\) et en \(\ell\). Ainsi, \(L\) et \(\ell\) sont les solutions de \(x^2 – 7x + 10 = 0\).
   • \(\Delta = (-7)^2 – 4 \times 1 \times 10 = 49 – 40 = 9\), \(\sqrt{9} = 3\).
     Donc \(x_1 = \dfrac{7 – 3}{2} = 2\) et \(x_2 = \dfrac{7 + 3}{2} = 5\).
     Vérification : \(2 + 5 = 7\) et \(2 \times 5 = 10\). Le rectangle mesure 5 cm de long et 2 cm de large.

Barème : a) 0,5 point pour la vérification, 1 point pour l’autre racine (0,5 point pour le produit \(\frac{c}{a}\), 0,5 point pour le résultat). Puis 0,5 point pour la vérification par la somme. Ensuite, b) 0,5 point pour les deux relations, 0,5 point pour le lien avec l’équation. Enfin, 0,5 point pour la résolution et 0,5 point pour la phrase-réponse avec unités.

Erreur fréquente : écrire \(L + \ell = 14\) en confondant le périmètre avec la somme de la longueur et de la largeur.

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