Corrigé du contrôle de maths 1ère : nombre dérivé, tangente, approximation affine

Exercice 1 : Taux de variation d’un trinôme (4 points)

1. \(f(2) = 4 – 6 + 2 = 0\) et \(f(2+h) = (2+h)^2 – 3(2+h) + 2 = 4 + 4h + h^2 – 6 – 3h + 2 = h^2 + h\).

   Pour \(h \neq 0\) : \(\dfrac{f(2+h) – f(2)}{h} = \dfrac{h^2 + h}{h} = \dfrac{h(h + 1)}{h}\), donc \(\dfrac{f(2+h) – f(2)}{h} = 1 + h\).

2. Quand \(h\) tend vers 0, \(1 + h\) tend vers 1 : le taux de variation a une limite finie. \(f\) est dérivable en 2 et \(f^{\prime}(2) = 1\).
3. \(f(a+h) – f(a) = (a+h)^2 – 3(a+h) + 2 – (a^2 – 3a + 2) = a^2 + 2ah + h^2 – 3a – 3h + 2 – a^2 + 3a – 2 = 2ah + h^2 – 3h\).

   Pour \(h \neq 0\) : \(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = \dfrac{h(2a + h – 3)}{h} = 2a – 3 + h\).

   Quand \(h\) tend vers 0, ce taux tend vers \(2a – 3\). Pour tout réel \(a\), \(f^{\prime}(a) = 2a – 3\).

4. Avec \(a = 2\) : \(f^{\prime}(2) = 2 \times 2 – 3 = 1\). On retrouve bien \(f^{\prime}(2) = 1\).

Erreur fréquente : remplacer \(h\) par 0 avant d’avoir simplifié par \(h\), ce qui donne la forme \(\frac{0}{0}\) sans conclusion possible.

Barème : a) 0,5 point pour \(f(2)\), 0,5 point pour \(f(2+h)\) développé, 0,5 point pour la simplification ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la simplification, 0,5 point pour \(f^{\prime}(a)\) ; d) 0,5 point.

Exercice 2 : Lecture graphique de nombres dérivés (5 points)

1. Le nombre dérivé \(g^{\prime}(-3)\) est le coefficient directeur de la tangente en \(A\). Cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses, donc son coefficient directeur est nul. \(g^{\prime}(-3) = 0\).
2. La tangente en \(B\) passe par \(B(0\,;1)\) et par \((3\,;-2)\). Son coefficient directeur vaut \(\dfrac{-2 – 1}{3 – 0} = \dfrac{-3}{3} = -1\). \(g^{\prime}(0) = -1\).
3. La tangente en \(C\) passe par \(C(6\,;3)\) et par \((5\,;0)\). Son coefficient directeur vaut \(\dfrac{3 – 0}{6 – 5} = 3\). \(g^{\prime}(6) = 3\).
4. La tangente en \(B\) a pour équation \(y = g^{\prime}(0)(x – 0) + g(0)\), avec \(g(0) = 1\) et \(g^{\prime}(0) = -1\). Son équation réduite est \(y = -x + 1\).
5. \(g(0) = 1\) et \(g(h) = \dfrac{h^3}{27} – h + 1\), donc \(g(h) – g(0) = \dfrac{h^3}{27} – h\).

   Pour \(h \neq 0\) : \(\dfrac{g(h) – g(0)}{h} = \dfrac{h^2}{27} – 1\).

   Quand \(h\) tend vers 0, \(\dfrac{h^2}{27}\) tend vers 0, donc le taux tend vers \(-1\). On retrouve \(g^{\prime}(0) = -1\), conforme à la lecture graphique.

Erreur fréquente : lire l’ordonnée du point (par exemple \(g(6) = 3\)) au lieu de la pente de la tangente.

Barème : a), b), c) 0,5 point pour la méthode (coefficient directeur de la tangente, deux points lus) et 0,5 point pour la valeur ; d) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour l’équation ; e) 0,5 point pour le taux simplifié, 0,5 point pour la limite.

Exercice 3 : La fonction inverse et ses tangentes (4 points)

1. \(k(a+h) – k(a) = \dfrac{1}{a+h} – \dfrac{1}{a} = \dfrac{a – (a+h)}{a(a+h)} = \dfrac{-h}{a(a+h)}\).

   En divisant par \(h \neq 0\) : \(\dfrac{k(a+h) – k(a)}{h} = \dfrac{-1}{a(a+h)}\).

2. Quand \(h\) tend vers 0, \(a(a+h)\) tend vers \(a^2\), qui est non nul. \(k^{\prime}(a) = -\dfrac{1}{a^2}\).
3. \(k(2) = \dfrac{1}{2}\) et \(k^{\prime}(2) = -\dfrac{1}{4}\). La tangente a pour équation \(y = -\dfrac{1}{4}(x – 2) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\).

   Équation réduite : \(y = -\dfrac{1}{4}x + 1\).

4. On cherche \(a\) tel que \(k^{\prime}(a) = -4\), soit \(-\dfrac{1}{a^2} = -4\), c’est-à-dire \(a^2 = \dfrac{1}{4}\) : \(a = \dfrac{1}{2}\) ou \(a = -\dfrac{1}{2}\).

   \(k(\dfrac{1}{2}) = 2\) et \(k(-\dfrac{1}{2}) = -2\). Les points cherchés sont \((\dfrac{1}{2}\,;2)\) et \((-\dfrac{1}{2}\,;-2)\).

Erreur fréquente : en d), oublier la solution négative de \(a^2 = \frac{1}{4}\).

Barème : a) 1 point pour la mise au même dénominateur, 0,5 point pour la division par \(h\) ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour \(k(2)\) et \(k^{\prime}(2)\), 0,5 point pour l’équation réduite ; d) 0,5 point pour les deux valeurs de \(a\), 0,5 point pour les deux points.

Exercice 4 : Approximation affine d’une racine carrée (4 points)

1. \(r(4) = \sqrt{4} = 2\) et \(r^{\prime}(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}\).

   \(T : y = \dfrac{1}{4}(x – 4) + 2 = \dfrac{1}{4}x – 1 + 2\). \(T : y = \dfrac{1}{4}x + 1\).

2. Pour \(h\) proche de 0, \(r(4 + h) \approx r(4) + r^{\prime}(4) \times h\). \(\sqrt{4 + h} \approx 2 + \dfrac{h}{4}\).
3. Pour \(\sqrt{4{,}2}\), \(h = 0{,}2\) : \(\sqrt{4{,}2} \approx 2 + \dfrac{0{,}2}{4} = 2 + 0{,}05\). \(\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05\).

   Pour \(\sqrt{3{,}96}\), \(h = -0{,}04\) : \(\sqrt{3{,}96} \approx 2 – \dfrac{0{,}04}{4} = 2 – 0{,}01\). \(\sqrt{3{,}96} \approx 1{,}99\).

4. La calculatrice donne \(\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}049\,39\) et \(\sqrt{3{,}96} \approx 1{,}989\,97\).

   Les erreurs sont environ \(2{,}05 – 2{,}049\,39 \approx 0{,}000\,61\) et \(1{,}99 – 1{,}989\,97 \approx 0{,}000\,03\).

   L’approximation de \(\sqrt{3{,}96}\) est la plus précise, car \(h = -0{,}04\) est plus proche de 0 que \(h = 0{,}2\) : près du point de contact, la tangente est très proche de la courbe. Les deux valeurs approchées sont un peu trop grandes, car la tangente est au-dessus de la courbe, comme le montre la figure.

   

Barème : a) 0,5 point pour \(r(4)\) et \(r^{\prime}(4)\), 0,5 point pour l’équation ; b) 1 point ; c) 0,5 point par valeur ; d) 0,5 point pour les valeurs et les écarts, 0,5 point pour l’explication.

Exercice 5 : La vitesse d’une bille qui tombe (3 points)

1. \(d(2) = 5 \times 4 = 20\) et \(d(2{,}5) = 5 \times 6{,}25 = 31{,}25\).

   Vitesse moyenne : \(\dfrac{31{,}25 – 20}{2{,}5 – 2} = \dfrac{11{,}25}{0{,}5} = 22{,}5\). Entre 2 s et 2,5 s, la vitesse moyenne de la bille est \(22{,}5\) m/s.

2. \(d(2 + h) = 5(4 + 4h + h^2) = 20 + 20h + 5h^2\), donc \(d(2+h) – d(2) = 20h + 5h^2\).

   Vitesse moyenne : \(\dfrac{d(2+h) – d(2)}{h} = 20 + 5h\) (en m/s). Avec \(h = 0{,}5\), on retrouve bien \(22{,}5\).

3. Quand \(h\) tend vers 0, \(20 + 5h\) tend vers 20, donc \(d^{\prime}(2) = 20\).

   \(20\) m/s \(= 20 \times 3{,}6\) km/h \(= 72\) km/h. À \(t = 2\) s, la bille tombe à 20 m/s, soit 72 km/h.

Barème : a) 0,5 point pour les distances, 0,5 point pour la vitesse moyenne ; b) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour l’expression ; c) 0,5 point pour la limite, 0,5 point pour la conversion.

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Après le corrigé du contrôle : nombre dérivé, tangente, approximation affine

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