Volumes et sections : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

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Le corrigé des exercices de maths en 3ème sur le calcul de volumes et l’étude des sections de solide de l’espace. Connaître par coeur ses formules de volumes ( pavé droit, cube, prisme, cône de révolution, boule, cylindre et pyramide et étudier des sections de solides en troisième.

Exercice 10 :
Le volume du prisme droit est donné par :

V=Base\times   hauteur=\frac{BA\times   BC}{2}\times   BF=\frac{5\times   5}{2}\times   5=62,5\,cm^3

Exercice 11 :

Le volume d’un prisme droit est donné par :

V=\frac{base\times   hauteur}{3}=\frac{\frac{CB\times   AC}{2}\times   AD}{3}

V=\frac{\frac{4\times   5}{2}\times   7}{3}

V=\frac{70}{3}

V=23,33\,\,mm^2

Exercice 12 :

Le volume d’une pyramide est donné par :

V=\frac{base\times   hauteur}{3}

V=\frac{8^2\times   11}{3}=\frac{64\times   11}{3}=\frac{704}{3}

{\color{DarkRed} V=234,67\,\,cm^2}

Exercice 13 :

Le volume d’un cylindre est donné par :

V=Base\times   hauteur=\pi\times   R^2\times   h=\pi\times   3^2\times   5=45\pi

V=141,37mm^2

Exercice 14 :

Le volume d’un cône de révolution est donné par :

V=\frac{Base\times   hauteur}{3}=\frac{\pi\times   R^2\times   hauteur}{3}

V=\frac{\pi\times   6^2\times   8}{3}=36\pi

V=113,1\,\,mm^2

Exercice 15 :

Le volume est donné par

V=L\times   l\times   h=4\times   2\times   1,5=12\,\, cm^3

Exercice 16 :

1/   a. Exprimer de deux façons différentes, SM en fonction de h.

SM = h-OM ou h -SM = OM et SM/h = EF/AB =3/7 d’après Thalès (dur à schématiser mais pourtant c’est ce qui est).

Preuve: S,E,A alignés, S,F,B alignés et (EF)//(AB) on a l’égalité des rapports  SE/SA = EF/AB = 3/7; De plus S,O,M alignés et S,E et A alignés avec (EM)//(AO). il vient que le rapport SE/SA qui est égal à 3/7 est également égal d’après Thalès à SM/SO or SO=h.

Donc SM = 3/7 h et SM = h-60

b. En déduire une équation dont h est solution.

h-OM=3/7 h <==> 4/7h =OM

c. Résoudre cette équation afin de trouver la valeur de h.

h = 7/4*OM = 7/4*60=7*60/4=7*15=105cm

d. Calculer le volume de ce bac a fleurs.

Volume d’une pyramide = 1/3 Base * hauteur

Volume du bac à fleurs  = Volume de la pyramide complète – Volume du haut de la pyramide  dont la base est EFGH

Volume de la pyramide complète = 1/3 * AB²*h = (1/3)x70²x105 = 171 500 cm^{3}

Volume de la pyramide du haut =1/3 * EF² * SM avec SM=h -OM = 105-60 =45 cm

=(1/3)x30²x45 =13500 cm^{3}

Volume du bac a fleur = 171 500 -13 500 = 158 000 cm^{3}

2/Voici comment le mathématicien hindou Bhaskara calculait le volume d’un tronc de pyramide au XII eme siècle:

La somme des aire des base et de l’aire d’un rectangle de largueur la somme des largueur des base et de longueur la somme des longueur des base, étant diviser par six puis multiplier par la profondeur donne le volume.

Appliquer cette méthode pour calculer le volume du bac a fleur ci-dessus :

Reprenons les terms usités :

 » La somme des aires de base  »  (la base elle même au carré) = AB²+EF²

 » un rectangle de largueur la somme des largueur des base  » (AB+EF) puisque c’est un carré la largeur c’est la longueur du côté.

 » et de longueur la somme des longueur des base  » (AB+EF) toujours pour les mêmes raisons.

 » L’aire de ce rectangle « , soit (AB+EF)²

Donc on reprend les Aires de bases + celle du rectangle hypothétique = (AB²+EF² +(AB+EF)²)

Ceci est divisé par 6 puis multiplier par la profondeur : ((AB²+EF² +(AB+EF)²)/6)*60 et on est sensé obtenir le volume.

Ce qui donne (70²+30²+100²)*10 puisque 60/6 = 10

Le volume selon Bhaskara serait de : 105 800cm^{3}

Exercice 17 :

On donne: AB =6 m, AE = 5m, AD = 1.80m, BC = 0.80m .

Sur le schéma ci dessus, les dimensions ne sont pas respectées.

1. Montrer que le volume ce cette piscine est 39 m 3 .

V_{ABCD}=\frac{(AD+BC)\times   AB}{2}=\frac{(1,8+0,8)\times   6}{2}=7,8m^2

V_{piscine}=V_{ABCD}\times   AE=7,8\times   5=39\,m^3

2. A la fin de l’été, M.Dujardin vide sa piscine à l’aide d’une pompe dont le débit est 5m 3  par heure. Calculer le nombre de m 3  restant dans la piscine au bout de 5 heures.

En 5 heures il aura vidé 25  m^3 , il restera 14 m^3 .

Exercice 18 :

On a représenter ci-contre un réservoir parallélépipédique permettant de mesurer la hauteur d’eau tombée dans un jardin pendant une averse (voir ci-dessous)

1.  On assimile les gouttes d’eau à des boules de diamètre 4mm.

Calculer le volume d’une goutte d’eau. Donner leur valeur exacte.

Le volume d’une boule ou d’une sphère est : 4/3\piR^{3} où R est le rayon de la sphère, soit 2 mm

il devient alors évident que la goutte a un volume de 32\pi/3 mm cube.

2.  La hauteur d’eau tombée pendant cette averse est égale à 8cm.

Calculer le nombre de gouttes d’eau contenues dans le réservoir. On donnera la valeur approché par défaut.

Pour ce faire nous devons tout d’abord comptabiliser le volume d’eau recueillis dans le récipient.

4cm x 4cm x8cm = 16×8 cm cube= 128 cm^{3} ce qui équivaut à 128 000 mm^{3} d’eau dans le récipient

Il nous suffit alors de diviser par le volume d’une goutte pour trouver le nombre de gouttes.

128 000 /( 32\pi/3) = (3 * 128 000)/ (32\pi)= 384 000/ (32\pi) \approx3819 gouttes, par valeur approchée à l’unité par défaut

Après la pluie le récipient contient 3819 gouttes d’eau.

Exercice 19 :

Une pyramide SABCD à base rectangulaire par un plan parallèle à base à 5 cm du sommet . AB=4,8cm ; BC=4,2cm et SO =8cm.

a. Calculer le coefficient de K de réduction entre les pyramides SABCD et SA’B’C’D’ .

k=\frac{5}{8}

b. Calculer le volume de la pyramide SABCD .

V=\frac{base\times   hauteur}{3}

V=\frac{4,8\times   4,2 \times   8}{3}

{\color{DarkRed} V\simeq 53,75\,cm^3}

c. En dédui re le volume de la pyramide SA’B’C’D’ .

Le volume va être multiplié par k^3

k^3=(\frac{5}{8})^3=\frac{5^3}{8^3}=\frac{125}{512}

V_{SA'B'C'D'}=\frac{125}{512}V_{SABCD}

V_{SA'B'C'D'}=\frac{125}{512}\times   53,75

V_{SA'B'C'D'}\simeq 13,12\,cm^3

Exercice 20 :

une boule de laiton mesure 10cm de diamètre.

Le laiton est un alliage constitué de 40% de zinc est de 60% de cuivre.

1)Calculer le volume de cette boule.(arrondir a 1/10 cm3 près)

V=\frac{4}{3}\pi\times   R^3

V=\frac{4}{3}\pi\times   5^3

V=\frac{500\pi}{3}\,cm^3

{\color{DarkRed} V=523,6\,cm^3}

2) On veut recouvrir cette boule de peinture dorée.

a)Calculer l’aire de la surface de la boule. Donner la valeur exacte.

A=4\pi\times   R^2=4\pi\times  5^2=100\pi

b)De quelle quantité de peinture est nécessaire si 1dl recouvre 0.1m²?

A\simeq 314,16\,cm^2

A\simeq 0,031416\,m^2

1dLrightarrow 0,1\,m^2

xrightarrow 0,031416\,m^2

x=\frac{1\times   0,031416}{0,1}

x=0,31\,dL

3) la boule est sciée selon un plan situé à 3cm de son centre.

a) calculer le rayon du cercle de section, la longueur de ce cercle et l’aire du disque de section.

Donner les valeurs exactes puis les valeurs arrondies au cm près et cm² près.

Dans le triangle ABC rectangle en A , d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

OB^2=OA^2+AB^2

10^2=3^2+AB^2

100=9+AB^2

AB^2=81

AB=9

L=2\pi\,R=2\pi\times   5=10\pi\simeq 32\,cm

La longueur du cercle est de 32 cm .

A=\pi\times   R^2=\pi\times   5^2=25\pi\simeq 79\,cm

L’aire du disque de section est de 79 cm .

Voir Corrigés 21 à 33...
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