Volumes et sections : corrigé des exercices de maths en 3ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (volumes 3e corrigé)

1. Le lingot a la forme d’un pavé droit, donc son volume est \(V=L\times l\times h\).

\(V=7{,}5\times 3\times 2{,}3=51{,}75\)

Enfin, le volume du lingot est 51,75 cm³.

2. De plus, la masse volumique de l’or est 19,3 g/cm³ : chaque cm³ d’or pèse 19,3 g.

\(m=51{,}75\times 19{,}3=998{,}775\)

Ainsi, la masse du lingot est 998,775 g, soit presque 1 kg.

3. De même, dans un agrandissement à l’échelle \(k=3\), toutes les longueurs sont multipliées par 3 et les volumes sont multipliés par \(k^3=3^3=27\).

\(V^{\prime}=27\times 51{,}75=1\,397{,}25\)

Également, le volume de la maquette est 1 397,25 cm³.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 2 :

D’après la figure, le diamètre du réservoir est 14 dm, donc le rayon est \(r=7\) dm. Ensuite, la partie cylindrique a pour hauteur 7 dm et la partie conique a pour hauteur \(16-7=9\) dm.

1. \(V_{\text{cylindre}}=\pi\times r^2\times h=\pi\times 7^2\times 7=343\pi\)

Par ailleurs, le volume de la partie cylindrique est \(343\pi\) dm³.

2. \(V_{\text{cône}}=\dfrac{\pi\times r^2\times h}{3}=\dfrac{\pi\times 7^2\times 9}{3}=\dfrac{441\pi}{3}=147\pi\)

Enfin, le volume de la partie conique est \(147\pi\) dm³.

3. \(V=343\pi+147\pi=490\pi\approx 1\,539{,}4\)

De plus, le volume du réservoir est \(490\pi\) dm³, soit environ 1 539 dm³.

4. On sait que 1 L = 1 dm³, donc 1 000 L = 1 000 dm³. Comme 1 539 dm³ est supérieur à 1 000 dm³, le réservoir peut contenir 1 000 litres.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 3 (volumes 3e corrigé)

1) a) ABCD est un trapèze isocèle de bases [AD] et [BC]. Sa hauteur est AI = 15 cm.

Comme le trapèze est isocèle, CJ = IB = 5 cm et IJ = AD = 40 cm, donc \(BC=40-5-5=30\) cm.

\(\mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{(AD+BC)\times AI}{2}=\dfrac{(40+30)\times 15}{2}=525\)

Ainsi, l’aire du trapèze ABCD est 525 cm².

b) Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur, ici AF = 20 cm.

\(V=525\times 20=10\,500\)

De même, le volume du prisme est 10 500 cm³.

2) Le triangle AIB est rectangle en I (face du pavé droit). D’après le théorème de Pythagore :

\(AB^2=AI^2+IB^2=15^2+5^2=225+25=250\)

\(AB=\sqrt{250}=\sqrt{25\times 10}=5\sqrt{10}\)

Donc \(AB=5\sqrt{10}\) cm (environ 15,8 cm).

3) Dans le triangle AIB rectangle en I, [IB] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{BAI}\) et [AI] est le côté adjacent :

\(\tan\widehat{BAI}=\dfrac{IB}{AI}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\)

Également, À la calculatrice, \(\widehat{BAI}\approx 18{,}4^{\circ}\), soit \(\widehat{BAI}\approx 18^{\circ}\) au degré près.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 4 :

1. \(V_1=\dfrac{4}{3}\pi\times R_1^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 12{,}1^3\approx 7\,420{,}7\)

Par ailleurs, le volume du ballon est environ 7 421 cm³.

2. a) Dans une réduction de coefficient \(k=\dfrac{4}{15}\), les longueurs sont multipliées par k :

\(R_2=\dfrac{4}{15}\times 12{,}1\approx 3{,}227\)

Donc \(R_2\approx 3{,}2\) cm au millimètre près.

b) Les volumes sont multipliés par \(k^3=(\dfrac{4}{15})^3=\dfrac{64}{3\,375}\) :

\(V_2=\dfrac{64}{3\,375}\times V_1=\dfrac{64}{3\,375}\times \dfrac{4}{3}\pi\times 12{,}1^3\approx 140{,}7\)

Enfin, le volume de la balle de tennis est environ 141 cm³.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 5 (volumes 3e corrigé)

Un pigeonnier est composé d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH et d’une pyramide SEFGH dont la hauteur [SO] mesure 3,1 m.

On sait que AB = 3 m, BC = 3,5 m et AE = 4 m.

1.Calculer la longueur BD et en déduire celle de BH.

Dans le triangle ABD rectangle en A, d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

\(BD^2=AD^2+AB^2\)

\(BD^2=3{,}5^2+3^2\)

\(BD^2=12{,}25+9\)

\(BD^2=21{,}25\)

\(BD=\sqrt{21{,}25}\)

\({\color{DarkRed} BD\approx 4{,}6\,m}\)

On donnera des valeurs approchées de ces résultats à \(10^{-1}\) près.

Dans le triangle BDH rectangle en D, d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

\(BH^2=BD^2+DH^2\)

\(BH^2=21{,}25+4^2\)

\(BH^2=21{,}25+16\)

\(BH^2=37{,}25\)

\(BH=\sqrt{37{,}25}\)

\({\color{DarkRed} BH\simeq 6{,}1\,m}\)

2. Calculer en \(m^3\) le volume \(V_1\)  de ce pigeonnier.

\(V_1=3\times 3{,}5\times 4+\frac{3\times 3{,}5\times 3{,}1}{3}\)

\(V_1=42+10{,}85\)

\({\color{DarkRed} V_1=52{,}85\,m^3}\)

3. Un modéliste désire construire une maquette de ce pigeonnier à l’échelle \(\frac{1}{24}\).

Calculer en \(dm^3\) le volume \(V_2\) de la maquette.

\(V_2= (\frac{1}{24} )^3\times V_1\)

\(V_2=\frac{1}{13824} \times V_1\)

On donnera une valeur approchée de ce résultat à \(10^{-3}\) près.

\(V_2=\frac{52{,}85}{13824}\approx 0{,}003823\,m^3\)

Or \(1\,m^3=1\,000\,dm^3\), donc \({\color{DarkRed} V_2\approx 3{,}823\,dm^3}\) au millième près.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 6 :

1) La base est un carré de 35 m de côté :

\(\mathcal{A}=35^2=1\,225\)

De plus, l’aire de la base est 1 225 m².

2) \(V=\dfrac{\text{aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}=\dfrac{1\,225\times 22}{3}=\dfrac{26\,950}{3}\approx 8\,983{,}3\)

Ainsi, la valeur exacte est \(V=\dfrac{26\,950}{3}\) m³ et sa valeur arrondie est 8 983 m³.

3) a) Le côté de la base passe de 35 m à 7 m :

\(k=\dfrac{7}{35}=\dfrac{1}{5}\)

De même, l’échelle de la réduction est \(\dfrac{1}{5}\) (soit 0,2).

b) Toutes les longueurs sont multipliées par \(\dfrac{1}{5}\) : \(h^{\prime}=\dfrac{1}{5}\times 22=4{,}4\)

Également, la hauteur de la pyramide réduite est 4,4 m.

c) Dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par \(k^3\) :

\(k^3=(\dfrac{1}{5})^3=\dfrac{1}{125}\)

Par ailleurs, il faut multiplier V par \(\dfrac{1}{125}\) (soit 0,008) pour obtenir V’.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 7 (volumes 3e corrigé)

Le cornet est rempli de glace : il faut compter la glace du cône et celle de la demi-boule. Par ailleurs, on considère que le cône a le même rayon que la demi-boule posée dessus, soit 3 cm.

Volume du cône : \(V_1=\dfrac{\pi\times r^2\times h}{3}=\dfrac{\pi\times 3^2\times 10}{3}=30\pi\)

De même, volume de la demi-boule : \(V_2=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\pi\times 3^3=\dfrac{2}{3}\pi\times 27=18\pi\)

Volume total : \(V=30\pi+18\pi=48\pi\approx 150{,}8\)

Enfin, il faut environ 150,8 cm³ de glace. Comme 1 cL = 10 cm³, la quantité de glace nécessaire est environ 15,1 cL.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 8 :

a. \(V_1=\dfrac{\pi\times OA^2\times SO}{3}=\dfrac{\pi\times 5^2\times 9}{3}=75\pi\approx 235{,}6\)

De plus, le volume du cône est \(75\pi\) cm³, soit environ 236 cm³.

b. La section d’un cône par un plan parallèle à la base est un disque de centre M. Puis le petit cône de sommet S est une réduction du grand cône de rapport :

\(k=\dfrac{SM}{SO}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)

Le rayon de la section vaut donc \(r=\dfrac{1}{3}\times 5=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67\).

Ainsi, le rayon de la section est \(\dfrac{5}{3}\) cm, soit environ 1,67 cm.

c. Les volumes sont multipliés par \(k^3=(\dfrac{1}{3})^3=\dfrac{1}{27}\) :

\(V_2=\dfrac{1}{27}\times 75\pi=\dfrac{25\pi}{9}\approx 8{,}7\)

De même, le volume du petit cône est environ 9 cm³.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 9 (volumes 3e corrigé)

1) Le triangle SOA est rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore :

\(SA^2=OS^2+OA^2\)

\(25^2=OS^2+15^2\)

\(OS^2=625-225=400\)

\(OS=\sqrt{400}=20\)

Également, la hauteur du cône est OS = 20 cm.

2) \(V=\dfrac{\pi\times OA^2\times OS}{3}=\dfrac{\pi\times 15^2\times 20}{3}=\dfrac{4\,500\pi}{3}=1\,500\pi\)

Par ailleurs, le volume exact du cône est bien \(1\,500\pi\) cm³.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 10 :

Le volume du prisme droit est donné par :

\(V=Base\times hauteur=\frac{BA\times BC}{2}\times BF=\frac{5\times 5}{2}\times 5=62{,}5\,cm^3\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 11 (volumes 3e corrigé)

Le solide ABCD est une pyramide (un tétraèdre) de base le triangle ABC rectangle en C et de hauteur [AD]. Son volume est donné par :

\(V=\frac{base\times hauteur}{3}=\frac{\frac{CB\times AC}{2}\times AD}{3}\)

\(V=\frac{\frac{4\times 5}{2}\times 7}{3}\)

\(V=\frac{70}{3}\)

\(V\approx 23{,}33\,cm^3\)

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 12 :

Le volume d’une pyramide est donné par :

\(V=\frac{base\times hauteur}{3}\)

\(V=\frac{8^2\times 11}{3}=\frac{64\times 11}{3}=\frac{704}{3}\)

\({\color{DarkRed} V\approx 234{,}67\,cm^3}\)

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 13 (volumes 3e corrigé)

Le volume d’un cylindre est donné par :

\(V=Base\times hauteur=\pi\times R^2\times h=\pi\times 3^2\times 5=45\pi\)

\(V\approx 141{,}37\,cm^3\)

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 14 :

Le volume d’un cône de révolution est donné par :

\(V=\frac{Base\times hauteur}{3}=\frac{\pi\times R^2\times hauteur}{3}\)

\(V=\frac{\pi\times 6^2\times 8}{3}=36\pi\)

\(V\approx 113{,}10\,cm^3\)

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 15 (volumes 3e corrigé)

Le volume est donné par

\(V=L\times l\times h=4\times 2\times 1{,}5=12\,\, cm^3\)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 16 :

1/   a. Exprimer de deux façons différentes, SM en fonction de h.

SM = h-OM ou h -SM = OM et SM/h = EF/AB =3/7 d’après Thalès (dur à schématiser mais pourtant c’est ce qui est).

Preuve: S,E,A alignés, S,F,B alignés et (EF)//(AB) on a l’égalité des rapports  SE/SA = EF/AB = 3/7; De plus S,O,M alignés et S,E et A alignés avec (EM)//(AO). il vient que le rapport SE/SA qui est égal à 3/7 est également égal d’après Thalès à SM/SO or SO=h.

Donc SM = 3/7 h et SM = h-60

b. En déduire une équation dont h est solution.

h-OM=3/7 h <==> 4/7h =OM

c. Résoudre cette équation afin de trouver la valeur de h.

h = 7/4*OM = 7/4*60=7*60/4=7*15=105cm

d. Calculer le volume de ce bac a fleurs.

Volume d’une pyramide = 1/3 Base * hauteur

Volume du bac à fleurs  = Volume de la pyramide complète – Volume du haut de la pyramide  dont la base est EFGH

Volume de la pyramide complète = 1/3 * AB²*h = (1/3)x70²x105 = 171 500 \(cm^{3}\)

Volume de la pyramide du haut =1/3 * EF² * SM avec SM=h -OM = 105-60 =45 cm

=(1/3)x30²x45 =13500 \(cm^{3}\)

Volume du bac a fleur = 171 500 -13 500 = 158 000 \(cm^{3}\)

2/Voici comment le mathématicien hindou Bhaskara calculait le volume d’un tronc de pyramide au XII eme siècle:

La somme des aire des base et de l’aire d’un rectangle de largueur la somme des largueur des base et de longueur la somme des longueur des base, étant diviser par six puis multiplier par la profondeur donne le volume.

Appliquer cette méthode pour calculer le volume du bac a fleur ci-dessus :

Reprenons les terms usités :

 » La somme des aires de base  »  (la base elle même au carré) = AB²+EF²

 » un rectangle de largueur la somme des largueur des base  » (AB+EF) puisque c’est un carré la largeur c’est la longueur du côté.

 » et de longueur la somme des longueur des base  » (AB+EF) toujours pour les mêmes raisons.

 » L’aire de ce rectangle « , soit (AB+EF)²

Donc on reprend les Aires de bases + celle du rectangle hypothétique = (AB²+EF² +(AB+EF)²)

Ceci est divisé par 6 puis multiplier par la profondeur : ((AB²+EF² +(AB+EF)²)/6)*60 et on est sensé obtenir le volume.

Ce qui donne (70²+30²+100²)*10 puisque 60/6 = 10

Le volume selon Bhaskara est de : \((4\,900+900+10\,000)\times 10=158\,000\) \(cm^{3}\), exactement le volume trouvé à la question 1 : la méthode de Bhaskara est juste.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 17 (volumes 3e corrigé)

On donne: AB =6 m, AE = 5m, AD = 1.80m, BC = 0.80m .

Sur le schéma ci dessus, les dimensions ne sont pas respectées.

1. Montrer que le volume ce cette piscine est 39 m ^{3 .}

\(A_{ABCD}=\frac{(AD+BC)\times AB}{2}=\frac{(1{,}8+0{,}8)\times 6}{2}=7{,}8\,m^2\)

\(V_{piscine}=A_{ABCD}\times AE=7{,}8\times 5=39\,m^3\)

2. A la fin de l’été, M.Dujardin vide sa piscine à l’aide d’une pompe dont le débit est 5m ³  par heure. Calculer le nombre de m ³  restant dans la piscine au bout de 5 heures.

En 5 heures il aura vidé 25  \(m^3\) , il restera 14 \(m^3\) .

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 18 :

On a représenter ci-contre un réservoir parallélépipédique permettant de mesurer la hauteur d’eau tombée dans un jardin pendant une averse (voir ci-dessous)

1.  On assimile les gouttes d’eau à des boules de diamètre 4mm.

Calculer le volume d’une goutte d’eau. Donner leur valeur exacte.

Le volume d’une boule ou d’une sphère est : 4/3\(\pi\)\(R^{3}\) où R est le rayon de la sphère, soit 2 mm

il devient alors évident que la goutte a un volume de 32\(\pi\)/3 mm cube.

2.  La hauteur d’eau tombée pendant cette averse est égale à 8cm.

Calculer le nombre de gouttes d’eau contenues dans le réservoir. On donnera la valeur approché par défaut.

Pour ce faire nous devons tout d’abord comptabiliser le volume d’eau recueillis dans le récipient.

4cm x 4cm x8cm = 16×8 cm cube= 128 \(cm^{3}\) ce qui équivaut à 128 000 \(mm^{3}\) d’eau dans le récipient

Il nous suffit alors de diviser par le volume d’une goutte pour trouver le nombre de gouttes.

128 000 /( 32\(\pi\)/3) = (3 * 128 000)/ (32\(\pi\))= 384 000/ (32\(\pi\)) \(\approx\)3819 gouttes, par valeur approchée à l’unité par défaut

Après la pluie le récipient contient 3819 gouttes d’eau.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 19 (volumes 3e corrigé)

Une pyramide SABCD à base rectangulaire par un plan parallèle à base à 5 cm du sommet . AB=4,8cm ; BC=4,2cm et SO =8cm.

a. Calculer le coefficient de K de réduction entre les pyramides SABCD et SA’B’C’D’ .

\(k=\frac{5}{8}\)

b. Calculer le volume de la pyramide SABCD .

\(V=\frac{base\times hauteur}{3}\)

\(V=\frac{4{,}8\times 4{,}2 \times 8}{3}\)

\({\color{DarkRed} V=53{,}76\,cm^3}\)

c. En dédui re le volume de la pyramide SA’B’C’D’ .

Le volume va être multiplié par \(k^3\)

\(k^3=(\frac{5}{8})^3=\frac{5^3}{8^3}=\frac{125}{512}\)

\(V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}=\frac{125}{512}V_{SABCD}\)

\(V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}=\frac{125}{512}\times 53{,}76=13{,}125\)

\({\color{DarkRed} V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}\approx 13{,}13\,cm^3}\)

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 20 :

une boule de laiton mesure 10cm de diamètre.

Le laiton est un alliage constitué de 40% de zinc est de 60% de cuivre.

1)Calculer le volume de cette boule.(arrondir a 1/10 cm3 près)

\(V=\frac{4}{3}\pi\times R^3\)

\(V=\frac{4}{3}\pi\times 5^3\)

\(V=\frac{500\pi}{3}\,cm^3\)

\({\color{DarkRed} V=523{,}6\,cm^3}\)

2) On veut recouvrir cette boule de peinture dorée.

a)Calculer l’aire de la surface de la boule. Donner la valeur exacte.

\(A=4\pi\times R^2=4\pi\times 5^2=100\pi\)

b)De quelle quantité de peinture est nécessaire si 1dl recouvre 0.1m²?

\(A\simeq 314{,}16\,cm^2\)

\(A\simeq 0{,}031416\,m^2\)

\(1\,dL\to 0{,}1\,m^2\)

\(x\to 0{,}031416\,m^2\)

\(x=\frac{1\times 0{,}031416}{0{,}1}\)

\(x=0{,}31\,dL\)

3) la boule est sciée selon un plan situé à 3cm de son centre.

a) calculer le rayon du cercle de section, la longueur de ce cercle et l’aire du disque de section.

Donner les valeurs exactes puis les valeurs arrondies au cm près et cm² près.

La boule a pour diamètre 10 cm, donc son rayon est OB = 5 cm (sur la figure, la cote « 10 cm » correspond en réalité au diamètre). Le centre A du cercle de section vérifie OA = 3 cm et le triangle OAB est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\(OB^2=OA^2+AB^2\)

\(5^2=3^2+AB^2\)

\(AB^2=25-9=16\)

\(AB=4\)

Le rayon du cercle de section est 4 cm.

\(L=2\pi\times r=2\pi\times 4=8\pi\approx 25\,cm\)

La longueur du cercle est \(8\pi\) cm, soit environ 25 cm.

\(A=\pi\times r^2=\pi\times 4^2=16\pi\approx 50\,cm^2\)

L’aire du disque de section est \(16\pi\) cm², soit environ 50 cm².

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 21 (volumes 3e corrigé)

1.

\(V=\frac{base\times hauteur}{3}=\frac{\pi\times R^2\times SO}{3}\)

\(V=\frac{\pi\times 7^2\times 12}{3}\)

\({\color{DarkRed} V=196\pi}\)

2.

Le coefficient de réduction est de \(k=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\) .

Le volume va être multiplier par \(k^3=(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}\) .

\(V^{\prime}=k^3\times V=\frac{1}{64}\times 196\pi=\frac{196}{64}\pi\)

\({\color{DarkRed} V^{\prime}=\frac{49}{16}\pi}\)

\({\color{DarkRed} V^{\prime}\simeq 9{,}6\,cm^3}\)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 22 :

1)

a) le coefficient de réduction est :

\(\frac{SE}{SA}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)

donc \(EF=\frac{1}{4}AB=\frac{9}{4}=2{,}25\,cm\) .

b) Dans le triangle SAB rectangle en A, d’après la partie directe

du théorème de Pythagore, nous avons :

\(SB^2=SA^2+AB^2\)

\(SB^2=12^2+9^2\)

\(SB^2=144+81\)

\(SB^2=225\)

\(SB=\sqrt{225}\)

\({\color{DarkRed} SB=15\,cm}\)

2)

a)

\(V_{SABCD}=\frac{AB^2\times SA}{3}=\frac{81\times 12}{3}=324\,cm^3\)

b) Il est de \(\frac{1}{4}.\)

c)

\(V_{SEFGH}= (\frac{1}{4} )^3\times V_{SABCD}=\frac{324}{64}\simeq 5\,cm^3\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 23 (volumes 3e corrigé)

1. Dans le triangle rectangle DAB, d’après la partie directe

du théorème de Pythagore :

\(DB^2=DA^2+AB^2\)

\(5^2=DA^2+3^2\)

\(25=DA^2+9\)

\(DA^2=25-9\)

\(DA^2=16\)

\(DA=\sqrt{16}\)

\({\color{DarkRed} DA=4\,cm}\)

2. \(V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times base\times hauteur\)

\(V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times AD\times AB\times SO\)

\(V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times 3\times 4\times 6\)

\(V_{SABCD}=24\,cm^3\)

3. a.La section est encore un rectangle.

b. O ‘ est le milieu de [SO]  donc le rapport de la réduction est \(k=\frac{1}{2}\) .

c.

Le volume va être multiplié par \((\frac{1}{2})^3\)

\(V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}=(\frac{1}{2})^3V_{SABCD}\)

\(V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}=\frac{1}{2^3}V_{SABCD}\)

\(V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}=\frac{24}{8}\)

\({\color{DarkRed} V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}=3\,cm^3}\) .

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 24:

1.

\(V_1=\frac{1}{3}\pi\times R^2\times hauteur\)

\(V_1=\frac{1}{3}\pi\times 5^2\times 9\)

\(V_1=75\pi\,cm^3\)

2.

Le coefficient de réduction est :

\(k=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

donc

\(V_2=(\frac{1}{3})^3V_1=\frac{1}{27}V_1=\frac{75\pi}{27}\)

\(V_2=\frac{25\pi}{9}\,cm^3\)

Remarque : les calculs ci-dessus correspondent à l’exercice 8 (cône de rayon 5 cm et de hauteur 9 cm). Pour l’énoncé de l’exercice 24 (rayon 7 cm, hauteur 9 cm) :

\(V=\dfrac{\pi\times 7^2\times 9}{3}=\dfrac{441\pi}{3}=147\pi\approx 461{,}8\)

Le volume du cône est \(147\pi\) cm³, soit environ 462 cm³ au centimètre cube près.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 25 (volumes 3e corrigé)

Une boîte cylindrique contient 3 balles de tennis de rayon 3,4 cm. a) Fais une figure, dans le cas où la boite a des dimensions minimales.

b) Quelles sont les dimensions minimales de cette boîtes(hauteur et rayon) ?

hauteur = 3x2x3,4= 20,4 cm

rayon = 3,4 cm

c) Calcule le volume de la boîte et le volume des trois balles.

\(V_{boite}=\pi\times 3{,}4^2\times 20{,}4\simeq 741\,cm^3\)

\(V_{3\,balles}=3\times \frac{4}{3}\pi\times 3{,}4^3=4\times \pi\times 3{,}4^3\simeq 494\,cm^3\)

d) Calcule le pourcentage de « vide » dans cette boîte contenant les 3 balles .

\(\frac{494}{741}\times 100\simeq66{,}7\,\%\) d’occupation des balles .

\(100-66{,}7=33{,}3\,\%\)

Le vide occupe à peu près 33,3 % soit \(\frac{1}{3}\) de la boîte .

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 26 :

Dans un verre conique de hauteur 8cm et de rayon 6 cm,

je mets 3 boules de glace de rayon 3cm chacune.

Je n’ai pas le temps de les manger!! trop de copies à corriger.

Les 3boules fondent!!

La glace va t-elle déborder ?? si oui, combien de cL de glace ai-je perdu?

Calculons le volume du verre puis le volume des trois boules .

\(V_{verre}=\frac{1}{3}\pi\times 6^2\times 8=\frac{1}{3}\pi\times 36\times 8=96\pi\approx 301{,}6\,cm^3\)

\(V_{3\text{ boules}}=3\times \frac{4}{3}\pi\times 3^3=4\pi\times 3^3=108\pi\approx 339{,}3\,cm^3\)

Conclusion :

Le volume des trois boules est plus grand que celui du verre, donc la glace fondue va déborder.

Volume perdu : \(108\pi-96\pi=12\pi\approx 37{,}7\,cm^3\). Comme 1 cL = 10 cm³, environ 3,8 cL de glace débordent.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 27 (volumes 3e corrigé)

Pour son spectacle, un magicien veut enfoncer des épées dans une boîte dans laquelle serait enfermé un spectateur.

La boîte est un cube de 1m de côté.

Pour son projet, le magicien doit faire fabriquer des épées.

Il lui faut des épées toutes de même taille telles que, quel que soit l’endroit où il  enfonce l’épée, elle puisse dépasser d’au moins 10 cm.

Quelle longueur minimum de lame d’épée doit-il commander au forgeron ?

La longueur maximale d’un cube est sa diagonale.

En utilisant deux fois le théorème de Pythagore :

la longueur de la diagonale d’une face est :

\(a=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)

la longueur de la diagonale du cube est :

\(c=\sqrt{a^2+1^2}=\sqrt{\sqrt{2}^2+1^2}=\sqrt{3}\)

La diagonale mesure \(\sqrt{3}\) m, soit environ 1,732 m. L’épée doit dépasser d’au moins 10 cm = 0,1 m, donc la longueur minimale de la lame est \({\color{DarkRed} \sqrt{3}+0{,}1\approx 1{,}832\text{ m}}\), soit 1,84 m en arrondissant au centimètre supérieur.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 28 :

1. Le triangle AOB est rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore :

\(AB^2=AO^2+BO^2=2^2+3^2=4+9=13\)

\(AB=\sqrt{13}\approx 3{,}6\)

Enfin, la génératrice mesure \(\sqrt{13}\) cm, soit environ 4 cm à l’unité près.

2. De plus, le rayon de la base est BO = 3 cm et la hauteur est AO = 2 cm.

\(V=\dfrac{\pi\times BO^2\times AO}{3}=\dfrac{\pi\times 3^2\times 2}{3}=6\pi\approx 18{,}8\)

Ainsi, le volume du cône est \(6\pi\) cm³, soit environ 19 cm³.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 29 (volumes 3e corrigé)

1) a) ABFE est une face du parallélépipède rectangle : c’est un rectangle. Donc les droites (AE) et (AB) sont perpendiculaires en A.

b) La droite (EH) est contenue dans la face ADHE. Ensuite, la droite (AB) est perpendiculaire à cette face et ne la rencontre qu’au point A, qui n’appartient pas à (EH). Puis les deux droites n’ont donc aucun point commun : (EH) et (AB) ne sont pas sécantes (elles ne sont pas non plus parallèles, car elles ne sont pas dans un même plan).

2) a) La face EFGH est un rectangle avec EF = AB = 6 m et FG = AD = 4 m. De plus, le triangle EFG est rectangle en F ; d’après le théorème de Pythagore :

\(EG^2=EF^2+FG^2=6^2+4^2=36+16=52\)

\(EG=\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=2\sqrt{13}\)

Donc \(EG=2\sqrt{13}\) m.

b) Le triangle EGC est rectangle en G et GC = AE = 3 m. D’après le théorème de Pythagore :

\(EC^2=EG^2+GC^2=52+3^2=52+9=61\)

De même, la diagonale mesure \(EC=\sqrt{61}\) m (environ 7,8 m).

3) \(V=AB\times AD\times AE=6\times 4\times 3=72\)

Également, le volume est bien 72 m³.

4) Le parallélépipède a six faces, égales deux à deux :

\(\mathcal{A}=2\times (6\times 4)+2\times (6\times 3)+2\times (4\times 3)=48+36+24=108\)

Par ailleurs, l’aire totale est bien 108 m².

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 30 :

Cet énoncé est le même que celui de l’exercice 23 ; on retrouve donc les mêmes résultats.

1) Le triangle ABD est rectangle en A (ABCD est un rectangle). D’après le théorème de Pythagore :

\(BD^2=AB^2+AD^2\)

\(5^2=3^2+AD^2\)

\(AD^2=25-9=16\)

\(AD=\sqrt{16}=4\)

Donc AD = 4 cm.

2) \(V=\dfrac{AB\times AD\times SO}{3}=\dfrac{3\times 4\times 6}{3}=24\)

Enfin, le volume de la pyramide SABCD est 24 cm³.

3) a) La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base : A’B’C’D’ est un rectangle.

b) O’ est le milieu de [SO], donc le rapport de réduction est \(k=\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{1}{2}\).

c) Les volumes sont multipliés par \(k^3=(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}\) :

\(V^{\prime}=\dfrac{1}{8}\times 24=3\)

De plus, le volume de la pyramide SA’B’C’D’ est 3 cm³.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 31 (volumes 3e corrigé)

1. Les points S, O’, O sont alignés, les points S, A’, A sont alignés et les droites (OA) et (O’A’) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{SA^{\prime}}{SA}=\dfrac{O^{\prime}A^{\prime}}{OA}=\dfrac{10}{20}\)

Donc \(\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{1}{2}\) : O’ est le milieu de [SO].

On a alors \(SO=SO^{\prime}+O^{\prime}O\) avec \(SO^{\prime}=\dfrac{SO}{2}\), donc \(\dfrac{SO}{2}=O^{\prime}O=30\) et SO = 60 cm.

2. \(V_1=\dfrac{\pi\times OA^2\times SO}{3}=\dfrac{\pi\times 20^2\times 60}{3}=8\,000\pi\approx 25\,132{,}7\)

Ainsi, le volume du grand cône est \(8\,000\pi\) cm³, soit environ 25 133 cm³.

3. De même, le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O’ est une réduction du grand cône de rapport \(\dfrac{1}{2}\) ; son volume est :

\(V_2=(\dfrac{1}{2})^3\times 8\,000\pi=\dfrac{8\,000\pi}{8}=1\,000\pi\)

Également, le pot est le grand cône privé du petit cône :

\(V_{\text{pot}}=8\,000\pi-1\,000\pi=7\,000\pi\approx 21\,991\)

Par ailleurs, le volume du pot est \(7\,000\pi\) cm³, soit environ 21 991 cm³ (environ 22 litres).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 32 :

ABCDEFGH est un pavé droit à base carrée. On donne AD = 3 cm et DC =2cm et CG = 4 cm.

1.Calculer le volume en cm³ de la pyramide de sommet G et de base ABCD.

\(V=\frac{1}{3}\times 3\times 2\times 4=8\,cm^3\)

2.Calculer DG.

Dans le triangle DCG rectangle en C, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(DG^2=DC^2+CG^2\)

\(DG^2=2^2+4^2\)

\(DG^2=4+16\)

\(DG^2=20\)

\(DG=\sqrt{20}\)

\(DG=\sqrt{4\times 5}\)

\(DG=2\sqrt{5}\)

3. Dans le triangle ADG rectangle en D, [AD] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{AGD}\) et [DG] est le côté adjacent :

\(\tan\widehat{AGD}=\dfrac{AD}{DG}=\dfrac{3}{2\sqrt{5}}\)

À la calculatrice, \(\widehat{AGD}\approx 34^{\circ}\) au degré près.

D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ADG rectangle en D :

\(AG^2=AD^2+DG^2=3^2+20=29\)

\(AG=\sqrt{29}\) cm, soit environ 5,4 cm au millimètre près.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 33 (volumes 3e corrigé)

Un pigeonnier est composé d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH et d’une pyramide SEFGH dont la hauteur [SO] mesure 3,1 m.

On sait que AB = 3 m, BC = 3,5 m et AE = 4 m.

1.Calculer la longueur BD et en déduire celle de BH. On donnera des valeurs approchées de ces résultats à 10^-1 près.

Dans le triangle ABD rectangle en A, d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons :

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}\)

\(BD=\sqrt{3^2+3{,}5^2}\)

\(BD=\sqrt{9+12{,}25}\)

\(BD=\sqrt{21{,}25}\)

\({\color{DarkRed} BD\approx 4{,}6\,m}\)

Dans le triangle BDH rectangle en D , d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons :

\(BH=\sqrt{BD^2+DH^2}\)

\(BH=\sqrt{21{,}25+4^2}\)

\(BH=\sqrt{21{,}25+16}\)

\(BH=\sqrt{37{,}25}\)

\({\color{DarkRed} BH\approx 6{,}1\,m}\)

2. Calculer en m³ le volume V₁  de ce pigeonnier.

\(V_1=3\times 3{,}5\times 4+\frac{1}{3}\times 3\times 3{,}5\times 3{,}1\)

\(V_1=42+\frac{1}{3}\times 3\times 3{,}5\times 3{,}1\)

\(V_1=42+10{,}85\)

\({\color{DarkRed}\,V_1=52{,}85\,\,m^3}\)

3. Un modéliste désire construire une maquette de ce pigeonnier à l’échelle \(\frac{1}{24}\).

Calculer en dm³ le volume V₂ de la maquette.

Dans une réduction à l’échelle \(\frac{1}{24}\), les volumes sont multipliés par \((\frac{1}{24})^3=\frac{1}{13824}\).

\(V_2=\frac{52{,}85}{13824}\approx 0{,}003823\,m^3\)

\({\color{DarkRed}V_2\approx 3{,}823\,dm^3}\)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 34 :

On réalise la section d’une pyramide SABCD à base rectangulaire par un plan parallèle

à sa base à 5 cm du sommet.

Nous avons AB=4,8 cm; BC = 4,2 cm et SH = 8 cm.

1. Également, calculer le volume de la pyramide SABCD.

\(V_{SABCD}=\frac{1}{3}\times B\times h=\frac{1}{3}\times 4{,}8\times 4{,}2\times 8=53{,}76\,cm^3\).

2.La pyramide SA’B’C’D’ est une réduction de la pyramide SABCD.

Donner le rapport de cette réduction.

Le rapport de réduction est \(k=\frac{SH^{\prime}}{SH}=\frac{5}{8}\).

3.En déduire le volume de la pyramide SA’B’C’D’.

\(V_{SA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}}=k^3V_{SABCD}= ( \frac{5}{8} )^3\times 53{,}76=13{,}125\,cm^3\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 35 (volumes 3e corrigé)

Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules

supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm.

Le pot de glace au chocolat ayant la forme d’un parallélépipède rectangle est plein,

ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille.

Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

1. Par ailleurs, montrer que le volume d’un pot de glace au chocolat est de 3 600 \(cm^3\).

\(V_{chocolat}=20\times 12\times 15=3600\,cm^3\)

2.Calculer la valeur arrondie au \(cm^3\) du volume d’un pot de glace à la vanille.

\(V_{vanille}=\pi\times R^2\times h=\pi\times 7^2\times 15=2\,309\,cm^3\)

3.Calculer la valeur arrondie au \(cm^3\) du volume d’une boule contenue dans la coupe.

\(V_{boule}=\frac{4}{3}\times \pi\times R^3=\frac{4}{3}\times \pi\times 2{,}1^3=39\,cm^3\)

4.Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter

de pots au chocolat et de pots à la vanille ?

Dans 100 coupes de glace, il y aura 100 boules à la vanille donc \(39\times 100=3\,900\,cm^3\).

Il faudra acheter deux pots à la vanille.

Dans 100 coupes de glace, il y aura 200 boules au chocolat donc \(39\times 200=7\,800\,cm^3\).

Il faudra acheter trois pots au chocolat.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 36 :

a. La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de cette base. Ensuite, la base ABCD est un carré, donc la section A’B’C’D’ est un carré.

Le rapport de réduction est \(k=\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\), donc le côté du carré A’B’C’D’ mesure \(\dfrac{2}{3}\times 4{,}5=3\) cm.

b. \(V^{\prime}=\dfrac{A^{\prime}B^{\prime 2}\times SO^{\prime}}{3}=\dfrac{3^2\times 6}{3}=18\)

On peut aussi calculer \(V=\dfrac{4{,}5^2\times 9}{3}=60{,}75\) puis \(V^{\prime}=(\dfrac{2}{3})^3\times 60{,}75=\dfrac{8}{27}\times 60{,}75=18\).

Enfin, le volume de la pyramide réduite est 18 cm³.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 37 (volumes 3e corrigé)

Le cône de sommet S et de base le disque de centre A est une réduction du grand cône, de rapport :

\(k=\dfrac{SA}{SO}=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}\)

De plus, le rayon de sa base est \(AN=\dfrac{5}{9}\times 15=\dfrac{25}{3}\) cm.

\(V=\dfrac{\pi\times AN^2\times SA}{3}=\dfrac{\pi\times (\dfrac{25}{3})^2\times 10}{3}=\dfrac{6\,250\pi}{27}\approx 727{,}2\)

Ainsi, le volume du cône réduit est environ 727 cm³.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 38 :

Le plan de coupe est parallèle à la face BCFE : la section est un rectangle dont un côté est vertical et mesure AD = 4 cm, et dont l’autre côté [MM’] (M’ sur [AC]) est parallèle à [BC]. D’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC, \(\dfrac{MM^{\prime}}{BC}=\dfrac{AM}{AB}\).

a. Lorsque M est en A, le plan ne touche le prisme que le long de l’arête [AD] : la section se réduit au segment [AD], de longueur 4 cm.

b. Lorsque M est en B, la section est la face BCFE elle-même : un rectangle de 3 cm sur 4 cm.

c. Lorsque M est le milieu de [AB], \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\), donc \(MM^{\prime}=\dfrac{1}{2}\times 3=1{,}5\) cm : la section est un rectangle de 1,5 cm sur 4 cm.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 39 (volumes 3e corrigé)

a. L’arête [AE] est parallèle à [DH] et perpendiculaire à la face ABCD, donc elle est perpendiculaire à la droite (AC). Par ailleurs, le quadrilatère AEGC a ses côtés opposés parallèles et de même longueur, et un angle droit en A : la section AEGC est un rectangle.

c. (calculé avant le dessin) Le triangle ADC est rectangle en D. D’après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AD^2+DC^2=5^2+12^2=25+144=169\)

\(AC=\sqrt{169}=13\)

Donc AC = 13 cm.

b. On a AE = DH = CG = 7 cm. Puis on dessine en vraie grandeur un rectangle de longueur 13 cm et de largeur 7 cm : on trace [AC] de 13 cm, puis les perpendiculaires à (AC) en A et en C, sur lesquelles on place E et G à 7 cm de A et de C.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 40 :

a. ABCD est un rectangle, donc le triangle ABC est rectangle en B avec BC = AD = 5 cm. D’après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169\)

Donc AC = 13 cm.

b. Le plan de section est parallèle à la face ABCD, donc les droites (MN) et (AC) sont parallèles. Ensuite, dans le triangle EAC, M appartient à [EA] et N à [EC], avec \(EM=8-6=2\) cm. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EN}{EC}=\dfrac{MN}{AC}\), soit \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{MN}{13}\)

\(MN=\dfrac{2\times 13}{8}=3{,}25\)

Donc MN = 3,25 cm.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 41 (volumes 3e corrigé)

On se place dans le plan qui contient l’axe du cylindre et les points M, A, B et N. Soit P le point de la génératrice [MA] tel que (NP) soit perpendiculaire à (MA). Alors NP = AB = 6 cm (le diamètre).

Le triangle MPN est rectangle en P et \(\widehat{PMN}=45^{\circ}\), donc \(\widehat{MNP}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\) : le triangle est rectangle isocèle et MP = NP = 6 cm.

D’après le théorème de Pythagore :

\(MN^2=MP^2+NP^2=6^2+6^2=72\)

\(MN=\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}\)

De même, la valeur exacte est \(MN=6\sqrt{2}\) cm (environ 8,5 cm).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 42 :

a. \(V=\dfrac{AB^2\times SO}{3}=\dfrac{6^2\times 7{,}5}{3}=\dfrac{270}{3}=90\)

Également, le volume de SABCD est V = 90 cm³.

b. La pyramide SMNPQ est une réduction de SABCD de rapport \(k=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2{,}5}{7{,}5}=\dfrac{1}{3}\).

Les volumes sont multipliés par \(k^3=\dfrac{1}{27}\), donc \(V^{\prime}=\dfrac{1}{27}V\).

\(V^{\prime}=\dfrac{90}{27}=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33\)

Par ailleurs, on obtient \(V^{\prime}\approx 3{,}33\) cm³ au centième près.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 43 :

a. Le cône \(\varphi^{\prime}\) est une réduction du cône \(\varphi\). Puis le rapport de réduction k s’écrit :

\(k=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{IB}{OA}=\dfrac{SB}{SA}\)

b. \(k=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{6}{10}=0{,}6\), donc \(IB=0{,}6\times 7{,}5=4{,}5\) cm.

Enfin, la section est un cercle de centre I et de rayon 4,5 cm : on le trace au compas avec un écartement de 4,5 cm.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 44 :

1. a) D’après la figure, les droites (AO) et (CI) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (SO). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (AO) et (CI) sont parallèles.

b) On a OA = 30 ÷ 2 = 15 cm et IC = 20 ÷ 2 = 10 cm. De plus, les points S, I, O sont alignés, les points S, C, A sont alignés et (CI) // (AO). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{SC}{SA}=\dfrac{IC}{OA}=\dfrac{10}{15}\)

Donc \(\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{2}{3}\).

2. a) Le petit cône est une réduction du grand cône de rapport \(k=\dfrac{2}{3}\), donc les volumes sont multipliés par \(k^3=\dfrac{8}{27}\) :

\(V_2=\dfrac{8}{27}V_1\)

b) Le tronc de cône est le grand cône privé du petit cône :

\(V=V_1-V_2=V_1-\dfrac{8}{27}V_1=\dfrac{27}{27}V_1-\dfrac{8}{27}V_1=\dfrac{19}{27}V_1\)

De plus, on a bien \(V=\dfrac{19}{27}V_1\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 45 :

1) \(V_1=\dfrac{AB\times BC\times SH}{3}=\dfrac{6\times 18\times 24}{3}=864\)

Ainsi, le volume de la pyramide SABCD est 864 cm³.

2) \(SH^{\prime}=SH-HH^{\prime}=24-8=16\) cm, donc :

\(k=\dfrac{SH^{\prime}}{SH}=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\)

De même, le coefficient de réduction est \(k=\dfrac{2}{3}\).

3) \(V_2=k^3\times V_1=\dfrac{8}{27}\times 864=256\)

\(V_3=V_1-V_2=864-256=608\)

Également, on obtient \(V_2=256\) cm³ et \(V_3=608\) cm³ pour la boîte de chocolats.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 46 :

Le côté [MN] correspond au côté [AB] :

\(k=\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{3}\)

Par ailleurs, le triangle MNP est une réduction de ABC dans le rapport \(\dfrac{1}{3}\).

Une réduction conserve les mesures des angles, donc \(\widehat{NMP}=\widehat{BAC}=60^{\circ}\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 47 :

Le petit récipient est une réduction du grand de rapport \(k=\dfrac{1}{5}\). Son volume est donc multiplié par \(k^3=(\dfrac{1}{5})^3=\dfrac{1}{125}\) : le grand récipient contient 125 fois plus que le petit.

Enfin, il faudra verser 125 fois le contenu du petit récipient.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 48 :

Les cinq triangles sont isocèles. Deux triangles isocèles sont un agrandissement ou une réduction l’un de l’autre lorsque le quotient « côté égal ÷ base » est le même.

Triangle	1	2	3	4	5
Côté égal ÷ base	\(\dfrac{4}{1}=4\)	\(\dfrac{2{,}2}{0{,}6}=\dfrac{11}{3}\)	\(\dfrac{1{,}6}{0{,}7}=\dfrac{16}{7}\)	\(\dfrac{3}{0{,}75}=4\)	\(\dfrac{3{,}3}{0{,}9}=\dfrac{11}{3}\)

• Les triangles 1 et 4 sont associés : \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{0{,}75}{1}=0{,}75\), le triangle 4 est une réduction de rapport 0,75 du triangle 1.
• Les triangles 2 et 5 sont associés : \(\dfrac{3{,}3}{2{,}2}=\dfrac{0{,}9}{0{,}6}=1{,}5\), le triangle 5 est un agrandissement de rapport 1,5 du triangle 2.
• Le triangle 3 n’est associé à aucun autre.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 49 :

À l’échelle \(\dfrac{1}{200}\), 1 cm sur le dessin représente 200 cm, soit 2 m en réalité. Ensuite, on divise donc chaque longueur réelle, exprimée en cm, par 200 :

\(DE=\dfrac{1\,200}{200}=6\) ; \(EF=\dfrac{900}{200}=4{,}5\) ; \(DF=\dfrac{1\,500}{200}=7{,}5\)

	DE	EF	DF
Dimensions réelles	12 m	9 m	15 m
Dimensions du dessin	6 cm	4,5 cm	7,5 cm

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 50 :

a. Le côté [DE] (en vert) correspond au côté [AB] :

\(k=\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{2{,}1}{2{,}8}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\)

De plus, le rapport de réduction est k = 0,75.

b. Le côté [EF] (en rouge) correspond au côté [AC] :

\(EF=0{,}75\times 1{,}2=0{,}9\)

Donc EF = 0,9 cm.

c. Le sommet E, commun à [DE] et [EF], correspond au sommet A, commun à [AB] et [AC]. Par ailleurs, une réduction conserve les angles : \(\widehat{DEF}=\widehat{BAC}=100^{\circ}\).

2. Ainsi, pour passer de DEF à ABC, on multiplie les longueurs par :

\(k^{\prime}=\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{2{,}8}{2{,}1}=\dfrac{4}{3}\)

De même, la valeur exacte est \(k^{\prime}=\dfrac{4}{3}\) (c’est l’inverse de k).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 51 :

1. La section rose est obtenue avec un plan perpendiculaire à l’axe (AB) du cylindre, passant par I : ce plan est parallèle aux deux bases.

La section verte est obtenue avec un plan parallèle à l’axe (AB), qui coupe la base de centre A selon la corde [EF] ; ce plan est à 3 cm de l’axe (AH = 3 cm).

2. a. La section rose est un disque de même rayon que les bases : on trace un cercle de rayon AE = 5 cm.

b. Le triangle AEF est isocèle en A (AE = AF = 5 cm, rayons). H est le milieu de [EF], donc (AH) est aussi la hauteur issue de A. Puis on trace [AH] de 3 cm, puis la perpendiculaire à (AH) en H ; on place E et F sur cette droite à 5 cm de A, au compas.

Également, la section verte est un rectangle EFSR dont un côté est [EF] et l’autre est une génératrice du cylindre, de longueur AB = 8 cm. Comme EF = 8 cm (question 3), la section verte est un carré de 8 cm de côté.

Exercice 51 (suite)

3. a. Le triangle AHE est rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore :

\(AE^2=AH^2+HE^2\)

\(5^2=3^2+HE^2\)

\(HE^2=25-9=16\), donc \(HE=4\) cm.

H est le milieu de [EF], donc \(EF=2\times 4=8\) : EF = 8 cm.

b. Sur le dessin en vraie grandeur du triangle AEF, on mesure bien EF = 8 cm à la règle.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 52 :

Question 1 : réponse b. Le plan de coupe est parallèle à l’arête [CG], qui est verticale : la section AMNE est un rectangle de hauteur AE = 6 cm. Sa largeur AM est l’hypoténuse du triangle ADM rectangle en D : \(AM^2=5^2+5^2=50\), donc \(AM=\sqrt{50}\) cm. AMNE est un rectangle de dimensions \(\sqrt{50}\) cm et 6 cm.

Question 2 : réponse a. Le rapport de réduction est \(k=\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB}=\dfrac{3}{5}\) (il est inférieur à 1 car c’est une réduction).

Question 3 : réponse a. Les volumes sont multipliés par \(k^3=(\dfrac{3}{5})^3=\dfrac{27}{125}\) :

\(V^{\prime}=\dfrac{27}{125}\times 12{,}5\pi=2{,}7\pi\approx 8{,}48\)

Par ailleurs, le cône bleu a pour volume environ 8,48 cm³.

Volumes 3e corrigé : nos conseils pour progresser

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Par ailleurs, volumes 3e corrigé en troisième demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, pour aller plus loin, l’article Prisme droit de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec statistiques : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.