Exercices de maths 2nde : Calcul littéral et équations

Exercice 1Développer

Développer et réduire :

1. \((3x - 2)^2\)
2. \((x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})\)
3. \((2x + 1)^3\)
4. \((x - 1)(x^2 + x + 1)\)
5. \((a + b + c)^2\)

Exercice 2Factoriser

Factoriser :

1. \(x^2 - 12x + 36\)
2. \(4x^2 - 20x\)
3. \(9x^2 - 1\)
4. \((x + 2)^2 - (3x - 1)^2\)
5. \(x^3 - x\)

Exercice 3Formes d'une expression

Soit \(f(x) = (x - 2)^2 - 9\).

1. Développer \(f(x)\).
2. Factoriser \(f(x)\).
3. Résoudre \(f(x) = 0\), \(f(x) = -9\), \(f(x) = -5\) en choisissant la forme adaptée.

Exercice 4Équations produit

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

1. \((2x - 5)(x + 3) = 0\)
2. \(x^2 - 5x = 0\)
3. \((x - 1)^2 = 16\)
4. \(x^3 = 4x\)
5. \((x + 4)(x - 2) = (x + 4)(3x + 1)\)

Exercice 5Équations quotient

Résoudre en précisant l'ensemble de définition :

1. \(\dfrac{x - 3}{x + 1} = 0\)
2. \(\dfrac{2x + 1}{x - 4} = 1\)
3. \(\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{3}{x - 2}\)
4. \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 1} = 0\)

Exercice 6Équations avec carrés

Résoudre :

1. \(x^2 = 12\)
2. \(2x^2 - 50 = 0\)
3. \((3x + 1)^2 = 7\)
4. \(x^2 + 4 = 0\)
5. \(x^2 - 6x + 9 = 0\)

Exercice 7Modélisation

1. Un rectangle a un périmètre de \(30\) cm et une aire de \(56\) cm². Montrer que sa largeur \(x\) vérifie \(x^2 - 15x + 56 = 0\), puis vérifier que \((x - 7)(x - 8) = x^2 - 15x + 56\) et conclure.
2. La somme d'un nombre et de son inverse vaut \(\dfrac{5}{2}\). Trouver ce nombre.

Exercice 8Identités et calcul mental

1. Calculer \(1\,001^2\), \(999 \times 1\,001\), \(52^2 - 48^2\) sans calculatrice.
2. Montrer que \((n + 1)^2 - (n - 1)^2 = 4n\) et en déduire que tout multiple de \(4\) est différence de deux carrés.

Exercice 9Fonction et équation

Soit \(g(x) = x^2 - 4x - 5\).

1. Vérifier que \(g(x) = (x - 2)^2 - 9\).
2. Factoriser \(g(x)\).
3. Résoudre \(g(x) = 0\) et \(g(x) = -5\).
4. Quel est le minimum de \(g\) ?

Exercice 10Problème

Un carré de côté \(x\) (cm) a la même aire qu'un rectangle de dimensions \((x + 3)\) et \((x - 2)\).

1. Écrire l'équation traduisant cette égalité.
2. La résoudre.
3. Un carré de côté \(x\) a une aire double de celle d'un rectangle \(x \times (x - 4)\). Trouver \(x\).