Cette fiche de calcul littéral en seconde réunit quinze exercices progressifs pour consolider les automatismes sur les expressions algébriques. Les cinq premiers portent sur le développement : distributivité simple et double, réduction et rangement des termes, puis utilisation des trois identités remarquables, y compris avec des fractions et des racines carrées.
Les exercices 6 à 9 entraînent à la factorisation : repérer un facteur commun, reconnaître une différence de deux carrés ou un carré parfait, et traiter une longue série de vingt-sept expressions de difficulté croissante. Les six derniers énoncés replacent ces techniques dans des situations concrètes : volume d’une coupe conique, aire de parcelles, demi-cercles, parallélépipèdes et bac à fleurs. On y apprend à modéliser un problème, à écrire une équation produit nul et à interpréter la solution trouvée.
Cherchez chaque exercice au brouillon en justifiant vos étapes, puis comparez votre démarche avec le corrigé détaillé des exercices de calcul littéral. Ces exercices préparent aussi l’étude des équations et des fonctions du second degré.
Exercice 1 :
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.
a) \(3x(x+5)\) b) \(-2x(x+6)\)
c) \(-3x(4-5x)\) d) \((1+x)(1+2x)\)
e) \((x^2+2)(x-1)\) f) \(2x^2(1-3x^2)\)
Exercice 2 :
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.
a) \((x+3)(x+5)-4x\) b) \(x(3-2x)+5x^2+2x\)
c) \((5-t)(1+2t)+2(3t+4)\) d) \(2x^2(x+6)-x^3+4x^2-2x\)
Exercice 3 :
Développer les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
a) \((x+12)^2\) b) \((3x+1)(3x-1)\)
c) \((6-x)^2\) d) \((x+1)^2+(x-2)^2\)
Exercice 4 :
Recopier et compléter les égalités suivantes.
a) \((x+\ldots)^2=x^2+20x+\ldots\)
b) \((x+\ldots)(x-\ldots)=x^2-81\)
c) \(\ldots+16x+64=(x+\ldots)^2\)
Exercice 5 :
En utilisant les identités remarquables, développer les expressions suivantes.
a) \((x+\dfrac{1}{2})^2\) b) \((3x-\dfrac{1}{3})^2\)
c) \((x+\dfrac{2}{5})(x-\dfrac{2}{5})\) d) \((a+\sqrt{5})^2\)
Exercice 6 :
Factoriser les expressions suivantes.
a) \(3x-15\) b) \(4x^2-7x\)
c) \(3x^3-5x^2+8x\) d) \(3a^2-6a\)
e) \(3x^3+9x^2\) f) \(2\sqrt{x}+x\sqrt{x}\)
Exercice 7 :
Recopier l’expression, souligner le facteur commun
puis factoriser les expressions suivantes.
a) \((2x-3)(24x-3)+(2x-3)(-22x+5)\)
b) \((15x+7)(3-x)+(12x+5)(15x+7)\)
c) \((7x-26)(11x+28)+(7x-26)(12x+4)\)
d) \((13t+5)(-5t+2)-(8t-15)(13t+5)\)
Exercice 8 :
Factoriser en utilisant une identité remarquable.
a) \(x^2-12\) b) \(9y^2+12y+4\)
c) \(x^2+169-26x\) d) \(144x+144x^2+36\)
e) \((3x+1)^2-(2x)^2\) f) \(9t^2-24t+16\)
g) \(-22x+121x^2+1\) h) \((x+1)^2-9\)
Exercice 9 :
Factoriser les expressions littérales suivantes :
\(A=x^2-3x+2\) ; \(B=-9x^2-6x-1\) ; \(C=-10+(x+5)^2-2x\) ; \(D=-2x^2+x+1\)
\(E=x^2+2x+2\) ; \(F=x^2-2\) ; \(G=4x^2-12x+8\) ; \(H=x-(3x-1)^3+2x-1\)
\(I=(x^4-1)(x^2+2x+1)\) ; \(J=x^2-9-(2x-6)x+(x-3)^2\) ; \(K=(x-11)^2+(33-3x)(x+2)\)
\(L=(2x-1)x+(1-2x)^2+(x-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{3}{2})\) ; \(M=x^2(1+\dfrac{1}{x})+2(x+1)^2\)
\(N=-0{,}3(2x-3)^2+0{,}7x(1{,}5-x)\) ; \(O=0{,}25x^2-x+1\) ; \(P=x^2-(x+1)^2\)
\(Q=5(1-x)^2-45x^2\) ; \(R=(x+1)^2-2(x+1)+1\) ; \(T=(5x-1)(x+3)+3(25x^2-1)\)
\(U=49-28x+4x^2+(7-2x)(5-3x)\) ; \(V=x^2(x-4)+2x(x-4)+x-4\) ; \(W=x^2+6x+5\)
\(X=3x^2+7x+2\) ; \(Y=-2x^2-x+1\) ; \(Z=2x^2-3x+1\) ; \(A^{\prime}=x^3+3x^2+2x\)
Exercice 10 :
Estelle a acheté pour la fête des mères la coupe conique ci-dessous :
Déterminer l’encadrement de x pour lequel la coupe contiendra entre 13 cL et 16 cL de liquide.
Indication :
Le volume d’un cône de hauteur h et de rayon r est :
\(V=\dfrac{1}{3}\pi\times r^2\times h\)
Un volume de 100 cL correspond à 1 dm³.
Exercice 11 :
Sur un terrain rectangulaire, on doit découper deux parcelles (en rouge) comme indiqué ci-dessous :
x est exprimé en mètres.
a. Déterminer en fonction de x l’aire \(A(x)\) formée par ces deux parcelles.
b. L’aire de ces deux parcelles doit être de 500 m².
Montrer que l’équation \(A(x)=500\) équivaut à :
\((x+1)(2x+2)=500\)
c. Résoudre l’équation précédente et en déduire la valeur de x recherchée.
d. Quelle est alors l’aire de la surface verte ?
Exercice 12 :
On considère un grand demi-cercle de diamètre 20 cm.
Déterminer la valeur de x pour que l’aire des 3 demi-cercles bleus soit égale à la moitié de l’aire du
grand demi-cercle.
Exercice 13 :
Soit x un réel positif.
On considère les deux parallélépipèdes rectangles suivants (toutes les longueurs sont
exprimées en mètres) :
a. Soit a(x) le volume en m³ du premier solide et b(x) le volume du second.
Exprimer a(x) et b(x) en fonction de x.
b. Factoriser \(a(x)-b(x)\).
c. Résoudre l’équation \(a(x)-b(x)=0\).
d. Pour quelle valeur de x les deux solides ont-ils le même volume ?
Exercice 14 :
Soit x un réel positif.
On considère les deux figures suivantes :
Pour quelle valeur de x le carré et le triangle ont-ils la même aire ?
Exercice 15 :
Stéphane a acheté le bac à fleurs ci-dessous :
On note x l’épaisseur du bac, x étant un réel positif.
1. À quel intervalle doit appartenir x pour que la figure ait un sens ?
2. Soit V(x) le volume de ce bac exprimé en cm³.
Donner l’expression de V(x) en fonction de x.
3. Démontrer que pour tout x réel :
\(V(x)=120x^2-8\,760x+93\,600\)
4. On cherche à déterminer la valeur de x pour laquelle le
volume du bac est de 60,48 litres.
a. Démontrer que cela revient à chercher x tel que :
\(x^2-73x+276=0\)
b. Développer \((x-69)(x-4)\).
c. En déduire la valeur de x recherchée.
Exercices calcul littéral : nos conseils pour progresser
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur exercices calcul littéral vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Calcul littéral sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec aires et périmètres : corrigé des exercices en 6ème en PDF.
