Angles orientés : angles orientés et repérage polaire : cours de

Sommaire

Angles orientés : angles orientés et repérage polaire : cours de maths en 1ère en PDF.

Les angles orientés et le repérage polaire à travers un cours de maths en 1ère. Nous aborderons dans cette leçon en première, le sinus, le cosinus et la tangente avec les différentes relations trigonométriques.

L’essentiel : Sur le cercle trigonométrique, un réel $x$ correspond à un point $M$ obtenu en enroulant la droite des réels ; $\cos x$ et $\sin x$ sont l’abscisse et l’ordonnée de $M$, avec $\cos^2x+\sin^2x=1$. Un angle orienté possède une infinité de mesures en radians, qui diffèrent d’un multiple de $2\pi$.

I. Repérage sur le cercle trigonométrique.

1.Enroulement sur la droite numérique.

Définition: cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique $\varphi – angles orientés$ est le cercle de centre O et de rayon 1.

Il est muni d’un sens de parcours appelé sens direct, qui est l’inverse de celui des aiguilles d’une montre.

Avec ce choix, on dit que le plan est orienté.

Propriété :

Tout nombre réel a un point-image unique sur le cercle $\varphi – angles orientés$ .S’il existe $k\in\,\mathbb{Z} – angles orientés$ tel que $x'=x+2k\pi$ , alors et ont le même point-image sur le cercle $\varphi – angles orientés$ .

2.Le radian

Définition :

La mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique qu’il intercepte.

Propriété :

Les mesures des angles en radian et en degré sont proportionnelles.

II. Mesures d’un angle orienté.

Définition : angle orienté.

Soient $\vec{u} – angles orientés$ et $\vec{v} – angles orientés$ deux vecteurs non nuls et les points M et N tels que $\vec{OM} – angles orientés$ et $\vec{ON}$ sont leurs représentants respectifs d’origine O. Puis, soient M’ et N’ les points d’intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique.

Soient x et y deux nombres réels qui ont pour points-images M’ et N’, alors y-x est une mesure en radian de l’angle orienté $(\vec{u};\vec{v}) – angles orientés$ .

Propriété : mesure principale.

L’angle orienté $(\vec{u};\vec{v}) – angles orientés$ a une unique mesure $\alpha – angles orientés$ dans l’intervalle $]-\pi:\pi[$ appelée mesure principale de l’angle.

Propriétés :

Relation de Chasles pour les angles : soient $\vec{u} – angles orientés$ , $\vec{v} – angles orientés$ et $\vec{w} – angles orientés$ trois vecteurs non nuls, alors $(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})=(\vec{u},\vec{w})$ .
Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs : deux vecteurs $\vec{u} – angles orientés$ et $\vec{v} – angles orientés$ sont colinéaires si, et seulement si, $(\vec{u},\vec{v})=0[\pi] – angles orientés$ .

Propriétés :

Soient $\vec{u} – angles orientés$ et $\vec{v} – angles orientés$ deux vecteurs non nuls.

$(\vec{v},\vec{u})=-(\vec{u},\vec{v})$ ;
$(-\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v}) – angles orientés$
$(-\vec{u},\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})[\pi]$
$(\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})[\pi] – angles orientés$

III. Cosinus et sinus d’un réel et d’un angle orienté.

1. Repérage à l’aide du cosinus et du sinus.

Théorème : coordonnées d’un point du cercle trigonométrique.

soit x un nombre réel et M son point-image sur le cercle trigonométrique $\varphi – angles orientés$ .Le point M a pour coordonnées .

Propriétés :

Pour tout réel x et pour tout entier relatif k.

(théorème de Pythagore).
$-1\leq\,\,\,\,cosx\leq\,\,\,\,1$
$-1\leq\,\,\,\,sinx\leq\,\,\,\,1 – angles orientés$
$cos(x+2k\pi)=cosx$
$sin(x+2k\pi)=sinx – angles orientés$

Les valeurs particulières :

2. Les angles associés.

Propriétés :

Pour tout nombre réel x :

$cos(\pi-x)=-cosx$
$sin(\pi-x)=sinx – angles orientés$
$cos(\pi+x)=-cosx$
$sin(\pi+x)=-sinx – angles orientés$

Propriétés :

Pour tout nombre réel x :

$cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx – angles orientés$ .
$sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx$ .
$cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx – angles orientés$ .
$sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx$ .

3. Formules de duplication.

Propriétés :

On considère deux nombres réels a et b.

$cos(a+b)=cosa\times \,cosb-sina\times \,sinb$ .
$cos(a-b)=cosa\times \,cosb+sina\times \,sinb – angles orientés$ .
$sin(a+b)=sina\times \,cosb+cosa\times \,sinb$ .
$sin(a-b)=sina\times \,cosb-cosa\times \,sinb – angles orientés$ .

Propriétés :

On considère un nombre réel a.

$cos(2a)=cos^2\,a-sin^2\,a\\=2cos^2\,a-1\\=1-2sin^2\,a$ .
$sin2a=2\times \,cosa\times \,sina – angles orientés$ .

Angles orientés : nos conseils pour progresser

Avant tout, recopie les propriétés importantes dans ton cahier. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Angle orienté sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec dérivée d’une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

5/5 - (21617 votes)

Couverture du livre Mathovore « Cours de mathématiques 1re »

Le livre MathovoreCours de mathématiques 1reVous avez aimé cette leçon ? Retrouvez-la avec toutes les autres de l’année de 1re, rangées dans l’ordre du programme.Ouvrir le livre de cours

Couverture du livre Mathovore « Annales de l’épreuve anticipée de maths 1re »

Le livre MathovoreAnnales de l’épreuve anticipée de maths 1rePréparez l’épreuve anticipée de maths de 1re : automatismes et exercices officiels, rangés par thème et tous corrigés.Ouvrir les annales de 1re

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «angles orientés et repérage polaire : cours de maths en 1ère à télécharger en PDF» au format PDF.