Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de

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Trigonométrie : trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème en PDF.

La trigonométrie dans le triangle rectangle dans un cours de maths en 3ème faisant intervenir le cosinus (cos), le sinus (sin) et la tangente (tan) d’un angle aigü ainsi que le calcul de la mesure d’un angle à l’aide de la calculatrice. Dans cette leçon en troisième, nous veillerons à mettre la calculatrice en mode degré (DEG).

0. Introduction :un peu d’histoire (trigonométrie)

Point de vue historique :

Le mot vient du grec « trigone » (triangle) et « metron » (mesure).Dans l‘Encyclopédie (1751), Jean le Rond d‘Alembert (1717 ; 1783) définit la trigonométrie comme :

« l‘art de trouver les parties inconnues d‘un triangle par le moyen de celles qu‘on connaît ».

C‘est bien la démarche qui est demandée aux élèves du collège.

I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :

Théorème :

Dans un triangle rectangle ABC, on peut définir les relations suivantes entre les angles aigus et les différentes longueurs des côtés.

Définition :

– Le cosinus d’un angle aigu est donné par:

$\fbox{ cos(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,adjacent\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,de\,l'hypotenuse} .$

– Le sinus d’un angle aigu est donné par :

$\fbox{ sin(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,oppose\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,de\,l'hypotenuse} – trigonométrie$

– La tangente d’un angle aigu est donnée par :

$\fbox{ tan(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,oppose\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,du\,cote\,adjacent\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}} .$

Moyen mnémotechnique :

SOH-CAH-TOA

Explications (trigonométrie)

CAH: Cos( $\widehat{ABC} – trigonométrie$ )= (longueur du cote Adjacent a l’angle $\widehat{ABC} – trigonométrie$ ) : (longueur de l’Hypotenuse )

SOH: Sin( $\widehat{ABC} – trigonométrie$ )= (longueur du cote Opposé a l’angle $\widehat{ABC} – trigonométrie$ ) : (longueur de l’Hypotenuse )

TOA: Tan( $\widehat{ABC} – trigonométrie$ )= (longueur du cote Opposé a l’angle $\widehat{ABC} – trigonométrie$ ): (longueur du cote Adjacent a l’angle $\widehat{ABC} – trigonométrie$ )

Remarques :

– Le sinus et le cosinus d‘un angle sont toujours compris entre – 1 et 1.

– Par contre, la tangente d‘un angle aigu peut prendre toutes les valeurs.

Exemples :

Si AC=16 cm et BC=20 cm, calculer $sin\,(\widehat{ABC}) – trigonométrie$ .

[ Réponse : $sin\,(\widehat{ABC}) – trigonométrie$ =0,8]

Si AC=16 cm et AB= 12 cm, calculer $tan(\widehat{ABC}) – trigonométrie$

[ Réponse : $tan(\widehat{ABC}) – trigonométrie$ =1,33]

II. Détermination de la mesure d’un angle en degré, connaissant son cox ou sin x ou tan x :

Méthodologie :

La détermination de la mesure d‘un angle connaissant son cos x, sin x ou tan x s‘effectue à l‘aide de la calculatrice en utilisant les touches : $\fbox{cos^{-1}}\,,\,\fbox{sin^{-1}}\,,\,\fbox{tan^{-1}}\,\, .$

En ayant vérifié, préalablement, que la calculatrice est en mode degré $\fbox{DEG} – trigonométrie$

Exemples :

Si cos x = 0,5 alors $x=cos^{-1}(0,5)=60^o .$

Après cela, si sin x = 0,5 alors $x=sin^{-1}(0,5)=30^o – trigonométrie$

Si tan x = 1 alors $x=tan^{-1}(1)=45^o .$

III. Formules Trigonométriques :

Propriété :

Pour tout angle x, les égalités suivantes sont toujours vraies :

$\bullet \fbox{cos^2 x+sin^2 x = 1} \ \ \bullet \fbox{tanx=\frac{sin x}{cos x}}\,\,\,(x\neq 90^o) – trigonométrie$

Preuve :

$cos x=\frac{AB}{BC}\,;\,sin x=\frac{AC}{BC}\,;\,tan x=\frac{AC}{AB} – trigonométrie$

$cos^2 x + sin^2 x =(\frac{AB}{BC})^2+(\frac{AC}{BC})^2=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2} .$

Or ABC est rectangle en A, donc d‘après la partie directe du théorème de Pythagore : AB²+AC²=BC²

D’où :

$cos^2 x + sin^2 x =\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}=1 – trigonométrie$

Puis

$\frac{sin x}{cos x}=\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{AC}{BC}\times \frac{BC}{AB}= \frac{AC}{AB}=tan x .$

Trigonométrie : méthode de travail

D’abord, lis la leçon une première fois sans prendre de notes. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, trigonométrie en troisième demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, pour aller plus loin, l’article Trigonométrie de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

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