Troisième — chapitre 9 sur 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Trois rapports pour relier un angle aigu aux côtés d'un triangle rectangle : CAH SOH TOA.
Dans $ABC$ rectangle en $A$, pour l'angle $\widehat B$ : $$\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC}\quad(\text{adjacent/hypoténuse}),\qquad \sin\widehat B = \dfrac{AC}{BC}\quad(\text{opposé/hypoténuse}),\qquad \tan\widehat B = \dfrac{AC}{AB}\quad(\text{opposé/adjacent}).$$
Pour tout angle aigu $\alpha$ : $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ et $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ; $0<\cos\alpha<1$, $0<\sin\alpha<1$.
| $\alpha$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\cos$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ |
| $\sin$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ |
| $\tan$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
On repère les deux côtés connus ou cherchés par rapport à l'angle (hypoténuse, adjacent, opposé), puis on choisit le rapport qui les contient.
$BC = 7$, $\widehat B = 35^\circ$ : $AC = 7\sin 35^\circ\approx 4{,}0$. $AB = 4$, $AC = 3$ : $\tan\widehat B = 0{,}75$ donc $\widehat B = \arctan(0{,}75)\approx 36{,}9^\circ$.