Calculs et problèmes : corrigé des exercices de maths en 2de à télécharger en PDF

Exercice 1 :

Soit \(X=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}\).

a. On a \(3-2\sqrt{2} \lt 3+2\sqrt{2}\). De plus \(2\sqrt{2}=\sqrt{8} \lt \sqrt{9}=3\), donc \(0 \lt 3-2\sqrt{2}\).

La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0;+\infty[\), donc \(0 \lt 3-2\sqrt{2} \lt 3+2\sqrt{2}\) entraîne \(\sqrt{3-2\sqrt{2}} \lt \sqrt{3+2\sqrt{2}}\).

Par conséquent \(X \lt 0\).

b. On développe avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\(X^2=(3-2\sqrt{2})-2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+(3+2\sqrt{2})\)

\(X^2=6-2\sqrt{9-(2\sqrt{2})^2}=6-2\sqrt{9-8}=6-2\)

\(X^2=4\)

c. \(X^2=4\) donne \(X=2\) ou \(X=-2\). Or \(X \lt 0\) d’après la question a, donc \(X=-2\).

Exercice 2 :

Méthode : on applique les priorités opératoires. On calcule d’abord les puissances, puis les multiplications, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite. Attention au signe : une puissance impaire d’un nombre négatif est négative, donc \((-2)^3=-8\).

\(A=(-2)^3\times 5+3^2\times 2^4-5\times 2^2=-8\times 5+9\times 16-5\times 4\)

\(A=-40+144-20\), donc \(A=84\).

\(B=9\times (\dfrac{2}{3})^2-(3^2\times 2)^4-5\times 2^2=9\times \dfrac{4}{9}-18^4-20\)

\(B=4-104\,976-20\), donc \(B=-104\,992\).

Exercice 3 :

Méthode : la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. On réduit ensuite au même dénominateur et on vérifie que la fraction obtenue est irréductible.

\(A=1+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}: \dfrac{3}{4}=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{4}{3}=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{9}\)

\(A=\dfrac{18}{18}+\dfrac{9}{18}-\dfrac{4}{18}\), donc \(A=\dfrac{23}{18}\).

\(B=(7-\dfrac{3}{2})\times (\dfrac{25}{7}+\dfrac{3}{5})=\dfrac{11}{2}\times (\dfrac{125}{35}+\dfrac{21}{35})=\dfrac{11}{2}\times \dfrac{146}{35}\)

\(B=\dfrac{11\times 2\times 73}{2\times 35}\), donc \(B=\dfrac{803}{35}\) (fraction irréductible car \(803=11\times 73\) et \(35=5\times 7\)).

Exercice 4 :

Rappel : pour développer \((a+b)(c+d)\), on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\). On regroupe ensuite les termes de même degré. Devant une parenthèse précédée d’un signe moins, on change tous les signes à l’intérieur en la supprimant.

1. On utilise la double distributivité.

• \(a=(5x+1)(2x+3)=10x^2+15x+2x+3\), donc \(a=10x^2+17x+3\).
• \(b=(4x-5)(7x-1)=28x^2-4x-35x+5\), donc \(b=28x^2-39x+5\).
• \(c=(2x+5)(7x-3)=14x^2-6x+35x-15\), donc \(c=14x^2+29x-15\).
• \(d=(-4x-6)(2x-1)=-8x^2+4x-12x+6\), donc \(d=-8x^2-8x+6\).

2.

• \(e=(10x^2+17x+3)+(5x^2+10x+x+2)=(10x^2+17x+3)+(5x^2+11x+2)\), donc \(e=15x^2+28x+5\).
• \(f=(28x^2-39x+5)-(12x^2+8x-15x-10)=28x^2-39x+5-12x^2+7x+10\), donc \(f=16x^2-32x+15\).
• \(g=(-8x^2-8x+6)+(16x^2-22x-24x+33)=-8x^2-8x+6+16x^2-46x+33\), donc \(g=8x^2-54x+39\).
• \(h=(5x+3x^2-40-24x)-(7x-x^2-56+8x)=(3x^2-19x-40)-(-x^2+15x-56)\), donc \(h=4x^2-34x+16\).

Exercice 5 :

On sépare l’intervalle en deux cas, car la fonction carré change de sens de variation en 0.

• Si \(-\sqrt{5}\leq\, x\leq\, 0\) : la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty;0]\), donc \(0\leq\, x^2\leq\, (-\sqrt{5})^2=5\).
• Si \(0\leq\, x \lt 1\) : la fonction carré est croissante sur \([0;+\infty[\), donc \(0\leq\, x^2 \lt 1\).

En réunissant les deux cas : \(0\leq\, x^2\leq\, 5\) (0 est atteint pour \(x=0\), 5 pour \(x=-\sqrt{5}\)).

Exercice 6 :

Méthode : pour factoriser, on cherche un facteur commun à tous les termes, puis on l’écrit devant des crochets qui contiennent ce qui reste de chaque terme. Il faut parfois faire apparaître un facteur 1 caché.

\(A=(3x-5)^2+(3x-5)\times 1=(3x-5)[(3x-5)+1]\), donc \(A=(3x-5)(3x-4)\).

\(B=-7x(x+2)+14(x+2)=(x+2)(-7x+14)\), donc \(B=7(x+2)(2-x)\).

\(C=(4x-8)^2-(1-x)(4x-8)^3=(4x-8)^2[1-(1-x)(4x-8)]\)

\(C=(4x-8)^2[1-(4x-8-4x^2+8x)]=(4x-8)^2(4x^2-12x+9)\)

On reconnaît \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\), donc \(C=(4x-8)^2(2x-3)^2=16(x-2)^2(2x-3)^2\).

Exercice 7 :

Rappel : pour \(a\geq\, 0\) et \(b\geq\, 0\), \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\). Pour supprimer une racine carrée au dénominateur, on multiplie par la quantité conjuguée et on utilise \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

\(A=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{9\times 3}=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}\), donc \(A=\sqrt{3}\).

Pour \(B\), on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée \(4+\sqrt{5}\) :

\(B=\dfrac{(3-\sqrt{6})(4+\sqrt{5})}{(4-\sqrt{5})(4+\sqrt{5})}=\dfrac{12+3\sqrt{5}-4\sqrt{6}-\sqrt{30}}{16-5}\)

\(B=\dfrac{12+3\sqrt{5}-4\sqrt{6}-\sqrt{30}}{11}\)

Exercice 8 :

1. Un nombre pair s’écrit \(2k\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).

2. Un nombre impair s’écrit \(2k+1\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).

3. Soit \(n=2k\) un nombre pair. Alors \(n^2=(2k)^2=4k^2=2\times (2k^2)=2K\) avec \(K=2k^2\in\mathbb{Z}\).

Le carré d’un nombre pair est donc un nombre pair.

Exercice 9 :

1. Quelques essais : \(1+2+3+4+5=15\) ; \(4+5+6+7+8=30\) ; \(10+11+12+13+14=60\). On remarque que la somme est toujours un multiple de 5, égal à 5 fois l’entier du milieu.

2. Soit \(x\) le plus petit des cinq entiers :

\(x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+10=5(x+2)\)

Comme \(x+2\) est un entier, la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5.

Exercice 10 :

1. Essais : \(1\times 2\times 3\times 4+1=25=5^2\) ; \(2\times 3\times 4\times 5+1=121=11^2\) ; \(5\times 6\times 7\times 8+1=1\,681=41^2\) ; \(6\times 7\times 8\times 9+1=3\,025=55^2\).

On remarque que le résultat est toujours un carré parfait.

2. On développe le membre de gauche en regroupant les facteurs extrêmes et les facteurs du milieu :

\(x(x+3)=x^2+3x\) et \((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\).

En posant \(u=x^2+3x\) : \(x(x+1)(x+2)(x+3)+1=u(u+2)+1=u^2+2u+1=(u+1)^2\).

Donc \(x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^2+3x+1)^2\).

Lorsque \(x\) est un entier, \(x^2+3x+1\) est un entier : le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1 est donc le carré d’un entier. Par exemple pour \(x=5\) : \(5^2+3\times 5+1=41\).

Exercice 11 :

Méthode : pour décomposer un entier en produit de facteurs premiers, on le divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… tant que la division tombe juste. \(220=2\times 110=2\times 2\times 55=2\times 2\times 5\times 11\) et \(284=2\times 142=2\times 2\times 71\), où 71 est premier.

a. \(220=2^2\times 5\times 11\) et \(284=2^2\times 71\).

b. Les diviseurs de 220 autres que 220 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 20 ; 22 ; 44 ; 55 ; 110.

\(1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\)

Les diviseurs de 284 autres que 284 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 71 ; 142.

\(1+2+4+71+142=220\)

Conclusion : 220 et 284 sont bien des nombres amicaux.

Exercice 12 :

• a. \(-5 \lt x\leq\, 2\) : \(x\in]-5;2]\)
• b. \(x\geq\, \dfrac{3}{2}\) : \(x\in[\dfrac{3}{2};+\infty[\)
• c. \(x\leq\, -\dfrac{1}{4}\) : \(x\in]-\infty;-\dfrac{1}{4}]\)
• d. \(x \gt -5\) et \(x\leq\, 3{,}5\) : \(x\in]-5;3{,}5]\)

Exercice 13 :

1. Pour \(x=0\), la réponse d’Hervé donne \((2\times 0+5)(3\times 0+1)=5\times 1=5\).

L’expression de départ donne \(A=(2\times 0+5)^2+(2\times 0+5)(0-4)+2\times 0+5=25-20+5=10\).

Comme \(5\neq 10\), la factorisation d’Hervé est fausse : il a oublié le facteur 1 du dernier terme \(2x+5=(2x+5)\times 1\).

2. \(A=(2x+5)^2+(2x+5)(x-4)+(2x+5)\times 1=(2x+5)[(2x+5)+(x-4)+1]\)

\(A=(2x+5)(3x+2)\). Vérification pour \(x=0\) : \(5\times 2=10\).

Exercice 14 :

\(A=9a+15=3\times 3a+3\times 5\), donc \(A=3(3a+5)\).

\(B=3x^2-15x=3x\times x-3x\times 5\), donc \(B=3x(x-5)\).

\(C=8x-x^2(5x-1)=x[8-x(5x-1)]=x(8-5x^2+x)\), donc \(C=x(-5x^2+x+8)\).

\(D=(3x-2)^2-(2x-1)(3x-2)=(3x-2)[(3x-2)-(2x-1)]=(3x-2)(3x-2-2x+1)\), donc \(D=(3x-2)(x-1)\).

Exercice 15 :

On utilise les identités remarquables \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) et \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

• \(A=(7x+1)^2\) : \(A=49x^2+14x+1\)
• \(B=(x-3)^2\) : \(B=x^2-6x+9\)
• \(C=(-3-2x)^2=(3+2x)^2\) : \(C=4x^2+12x+9\)
• \(D=(5x-4)^2\) : \(D=25x^2-40x+16\)
• \(E=(3x+1)(3x-1)\) : \(E=9x^2-1\)

Exercice 16 :

Pour tout réel \(a\), \(\sqrt{a^2}=|a|\), donc \(E=|\sqrt{2}-\sqrt{5}|-|2\sqrt{2}-\sqrt{5}|\).

\(\sqrt{2} \lt \sqrt{5}\), donc \(|\sqrt{2}-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-\sqrt{2}\). \(2\sqrt{2}=\sqrt{8} \gt \sqrt{5}\), donc \(|2\sqrt{2}-\sqrt{5}|=2\sqrt{2}-\sqrt{5}\).

\(E=\sqrt{5}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{5}\), donc \(E=2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\).

Exercice 17 :

Rappel : \(|a|=a\) si \(a\geq\, 0\) et \(|a|=-a\) si \(a \lt 0\). Il faut donc d’abord étudier le signe du nombre situé entre les barres, en comparant les deux termes.

• \(\sqrt{2} \gt 1\), donc \(x=\sqrt{2}-1\).
• \(\sqrt{3} \lt 5\), donc \(y=5-\sqrt{3}\).
• \(\pi \lt 5\), donc \(z=5-\pi\).
• \(2\pi\approx 6{,}28 \lt 7\), donc \(t=7-2\pi\).
• \(\pi \gt 3\), donc \(v=\pi-3\).

Exercice 18 :

• a. \([-6;2[\,\cap\,]-4;1]=]-4;1]\)
• b. \(]-1;3]\,\cap\,[2;4[=[2;3]\)
• c. \(]-\infty;4[\,\cap\,]2;+\infty[=]2;4[\)
• d. \(]-\infty;-3]\,\cap\,[2;+\infty[=\emptyset\) (aucun réel n’est à la fois inférieur à \(-3\) et supérieur à 2)
• e. \([-1;+\infty[\,\cap\,[3;+\infty[=[3;+\infty[\)
• f. \(]-\infty;2]\,\cap\,[2;4[=\{2\}\)

Exercice 19 :

Règles utilisées, pour \(a\neq 0\) et des entiers \(m\), \(n\) : \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) ; \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) ; \((a^m)^n=a^{m\times n}\) ; \((ab)^n=a^nb^n\).

\(A=\dfrac{a^{-4}b^5(ac^2)^3}{(ba^{-2})^5}=\dfrac{a^{-4}b^5a^3c^6}{b^5a^{-10}}=\dfrac{a^{-1}c^6}{a^{-10}}=a^{-1+10}c^6\)

\(A=a^9c^6\)

Exercice 20 :

1. \(\phi^2=(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)

\(\phi+1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\), donc \(\phi^2=\phi+1\).

2. \(\phi\neq 0\) : en divisant l’égalité \(\phi^2=\phi+1\) par \(\phi\), on obtient \(\phi=1+\dfrac{1}{\phi}\).

3. En multipliant \(\phi^2=\phi+1\) par \(\phi\) : \(\phi^3=\phi^2+\phi=(\phi+1)+\phi\), donc \(\phi^3=2\phi+1\).

Exercice 21 :

On convertit la distance en mètres : \(d=149\times 10^6\text{ km}=149\times 10^9\text{ m}\).

\(t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{149\times 10^9}{3\times 10^8}=\dfrac{1\,490}{3}\approx 496{,}7\)

Le signal met environ 497 secondes, soit environ 8 min 17 s.

Exercice 22 :

Pour \(x=-\dfrac{1}{2}\) : \(x^2=\dfrac{1}{4}\) et \(x^3=-\dfrac{1}{8}\).

\(A=4\times (-\dfrac{1}{8})-2\times \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+3=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+3\), donc \(A=\dfrac{3}{2}\).

\(B=\dfrac{-\frac{1}{8}-1}{(-\frac{3}{2})(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1)}=\dfrac{-\frac{9}{8}}{-\frac{3}{2}\times \frac{3}{4}}=\dfrac{-\frac{9}{8}}{-\frac{9}{8}}\), donc \(B=1\).

Remarque : \((x-1)(x^2+x+1)=x^3-1\), donc \(B=1\) pour tout \(x\neq 1\).

Exercice 23 :

Soit ABCD un carré de côté \(a\). Le triangle ABC est rectangle en B ; d’après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2\)

Une longueur étant positive : \(AC=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}\times \sqrt{a^2}=\sqrt{2}\times a\).

La diagonale mesure \(a\sqrt{2}\).

Exercice 24 :

Soit \(n\) un entier impair : \(n=2k+1\) avec \(k\in\mathbb{Z}\).

\(n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1\)

\(2k^2+2k\) est un entier, donc \(n^2\) s’écrit \(2K+1\) avec \(K\in\mathbb{Z}\) : le carré d’un entier impair est impair.

Exercice 25 :

Méthode : le PGCD de deux entiers est le produit des facteurs premiers communs, chacun affecté du plus petit exposant avec lequel il apparaît dans les deux décompositions.

1. \(630=2\times 3^2\times 5\times 7\) et \(3\,150=2\times 3^2\times 5^2\times 7\).

2. \(\dfrac{3\,150}{630}=\dfrac{2\times 3^2\times 5^2\times 7}{2\times 3^2\times 5\times 7}\), donc \(\dfrac{3\,150}{630}=5\).

3. Tous les facteurs de 630 figurent dans 3 150 (car \(3\,150=5\times 630\)), donc PGCD(630 ; 3 150) = 630.

Exercice 26 :

1. On décompose : \(45=3^2\times 5\), \(288=2^5\times 3^2\), \(150=2\times 3\times 5^2\), \(40=2^3\times 5\).

\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), \(\sqrt{288}=12\sqrt{2}\), \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\), \(\sqrt{40}=2\sqrt{10}\).

\(A=\dfrac{10\times 3\sqrt{5}\times 12\sqrt{2}}{5\sqrt{6}\times 2\sqrt{10}}=\dfrac{360\sqrt{10}}{10\sqrt{60}}=\dfrac{36}{\sqrt{6}}=\dfrac{36\sqrt{6}}{6}\), donc \(A=6\sqrt{6}\).

\(B=\dfrac{252}{28\times 55\times 44}=\dfrac{2^2\times 3^2\times 7}{2^2\times 7\times 5\times 11\times 2^2\times 11}=\dfrac{3^2}{2^2\times 5\times 11^2}\), donc \(B=\dfrac{9}{2\,420}\).

2. \(A=\dfrac{1-\frac{2}{3}}{4+\frac{1}{9}}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{37}{9}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{9}{37}\), donc \(A=\dfrac{3}{37}\).

\(B=\dfrac{2}{9}-\dfrac{35}{90}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{20}{90}-\dfrac{35}{90}+\dfrac{150}{90}=\dfrac{135}{90}\), donc \(B=\dfrac{3}{2}\).

Exercice 27 :

1. \(15^2=225\) : \(1\times 2=2\) puis 25. \(35^2=1\,225\) : \(3\times 4=12\) puis 25. \(85^2=7\,225\) : \(8\times 9=72\) puis 25.

Méthode : on multiplie le nombre de dizaines \(a\) par son suivant \(a+1\), puis on écrit 25 à droite du résultat. Par exemple \(135^2\) : \(13\times 14=182\), donc \(135^2=18\,225\).

2. \(k=10a+5\), donc \(k^2=(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25\).

Le nombre \(100a(a+1)\) se termine par 00 et son nombre de centaines est \(a(a+1)\) ; on lui ajoute 25 : c’est exactement la méthode trouvée.

Généralisation : soient deux nombres \(10a+b\) et \(10a+c\) de même chiffre des dizaines avec \(b+c=10\).

\((10a+b)(10a+c)=100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc\)

Le procédé fonctionne encore, en écrivant le produit \(bc\) des unités (sur deux chiffres) à la place de 25. Exemple : \(43\times 47\) : \(4\times 5=20\) et \(3\times 7=21\), donc \(43\times 47=2\,021\).

Exercice 28 :

• Si il pleut, alors je prends mon parapluie.
• Si I est le milieu de [AB], alors AI = BI (la réciproque est fausse : un point de la médiatrice de [AB] vérifie aussi AI = BI).
• \(a\geq\, b\) si et seulement si \(a-b\geq\, 0\).
• Si \(a\leq\, 3\), alors \(a\leq\, 5\) (la réciproque est fausse : \(a=4\)).
• Si AB = AC, alors ABC est isocèle (en A). La réciproque est fausse : ABC peut être isocèle en B.

Exercice 29 :

Pour \(n\in\mathbb{N}\) : \(\dfrac{n+1}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+2} \lt 1\) ; \(\dfrac{n+6}{n+3}=1+\dfrac{3}{n+3} \gt 1\) ; \(\dfrac{n+7}{n+3}=1+\dfrac{4}{n+3}\).

Comme \(\dfrac{3}{n+3} \lt \dfrac{4}{n+3}\) (même dénominateur positif), on obtient :

\(\dfrac{n+1}{n+2} \lt 1 \lt \dfrac{n+6}{n+3} \lt \dfrac{n+7}{n+3}\)

Exercice 30 :

Les deux nombres \(\sqrt{a+b}\) et \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) sont positifs ; il suffit donc de comparer leurs carrés.

\((\sqrt{a+b})^2=a+b\) et \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{a}\sqrt{b}+b=a+b+2\sqrt{ab}\).

Or \(2\sqrt{ab}\geq\, 0\), donc \((\sqrt{a+b})^2\leq\,(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\).

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : \(\sqrt{a+b}\leq\,\sqrt{a}+\sqrt{b}\), avec égalité seulement si \(a=0\) ou \(b=0\).

Exercice 31 :

1. a. \(1 \lt \sqrt{2}\approx 1{,}41 \lt 3\) : \(\sqrt{2}\in]1;3[\).

b. \(\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\) : \(\dfrac{2}{\sqrt{2}}\in[\sqrt{2};5]\).

2. a. \([2;5]\) est inclus dans \(]-1;7]\) : \([2;5]\cup]-1;7]=]-1;7]\).

b. \(\sqrt{2}\approx 1{,}41 \lt \pi\approx 3{,}14\) : les deux intervalles se chevauchent, donc \([-1;\pi[\cup]\sqrt{2};5]=[-1;5]\).

c. \(]0;3[\cup\{3\}=]0;3]\), puis \([3;+\infty[\cup]0;3[\cup\{3\}=]0;+\infty[\).

Exercice 32 :

1. a. \(\dfrac{3}{8}\times (\dfrac{9}{3}-\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{8}\times \dfrac{8}{3}\) : résultat 1.

b. \(1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\) ; \(2-\dfrac{23}{7}=\dfrac{14-23}{7}=-\dfrac{9}{7}\) ; \(3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}\).

\(\dfrac{3}{2}\times (-\dfrac{7}{9})\times \dfrac{8}{3}=-\dfrac{168}{54}\) : résultat \(-\dfrac{28}{9}\).

2. \(\dfrac{(6\times 10^{-2})^2\times 3^2\times 10^{-4}}{3^3\times 10^{12}}=\dfrac{36\times 9\times 10^{-4}\times 10^{-4}}{27\times 10^{12}}=\dfrac{324}{27}\times 10^{-8-12}=12\times 10^{-20}\)

Écriture scientifique : \(1{,}2\times 10^{-19}\).

3. a. \(\sqrt{343}-10\sqrt{112}+\sqrt{7}=\sqrt{49\times 7}-10\sqrt{16\times 7}+\sqrt{7}=7\sqrt{7}-40\sqrt{7}+\sqrt{7}\) : \(-32\sqrt{7}\).

b. \(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\dfrac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2}\) : \(5-2\sqrt{6}\).

c. \((1-2\sqrt{2})^2=1-4\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=1-4\sqrt{2}+8\) : \(9-4\sqrt{2}\).

4. \(A=34\times 12=2\times 17\times 2^2\times 3\), donc \(A=2^3\times 3\times 17\) (\(=408\)).

Exercice 33 :

a.

• \(A=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\) : rationnel non décimal (\(A\in\mathbb{Q}\)).
• \(B=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{9}{2}=\dfrac{15}{2}=7{,}5\) : décimal (\(B\in\mathbb{D}\)).
• \(C=\sqrt{7^{500}}=\sqrt{(7^{250})^2}=7^{250}\) : entier naturel (\(C\in\mathbb{N}\)).
• \(D=1+\pi\) : irrationnel (\(D\in\mathbb{R}\) mais \(D\notin\mathbb{Q}\)), car \(\pi\) est irrationnel.

b. \(A=8\sqrt{2}(3\sqrt{6}-2\sqrt{2})=24\sqrt{12}-16\times 2=24\times 2\sqrt{3}-32\), donc \(A=48\sqrt{3}-32\).

Exercice 34 :

Méthode : pour une fraction de fractions, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on multiplie le numérateur par l’inverse du dénominateur. Pour les puissances, on décompose chaque nombre en facteurs premiers : \(6^4=2^4\times 3^4\), \((2^{-3})^5=2^{-15}\), \((3^2)^5=3^{10}\), \((2^{-5})^2=2^{-10}\), \(10^4=2^4\times 5^4\), \(15^2=3^2\times 5^2\), \((2^3)^2=2^6\) et \(12^3=2^6\times 3^3\).

\(a=\dfrac{1+\frac{2}{5}}{3-\frac{7}{5}}=\dfrac{\frac{7}{5}}{\frac{8}{5}}=\dfrac{7}{5}\times \dfrac{5}{8}\), donc \(a=\dfrac{7}{8}\).

\(b=\dfrac{3^7\times 2^{-15}\times 2^4\times 3^4}{3^{10}\times 2^{-10}}=3^{7+4-10}\times 2^{-15+4+10}=3^1\times 2^{-1}\), donc \(b=\dfrac{3}{2}\).

\(c=\dfrac{(2\times 5)^4\times (3\times 5)^2}{2^6\times (2^2\times 3)^3}=\dfrac{2^4\times 5^4\times 3^2\times 5^2}{2^6\times 2^6\times 3^3}=\dfrac{5^6}{2^8\times 3}\), donc \(c=\dfrac{15\,625}{768}\).

Exercice 35 :

Rappel : l’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est \(a\times 10^n\), avec \(1\leq\, a \lt 10\) (en valeur absolue) et \(n\) entier relatif. Quand on divise \(a\) par 10, on augmente l’exposant de 1, et inversement.

\(a=\dfrac{13}{25}\times 10^9=0{,}52\times 10^9\), donc \(a=5{,}2\times 10^8\).

\(\dfrac{4{,}195}{0{,}125}=\dfrac{4\,195}{125}=33{,}56\), donc \(b=33{,}56\times 10^{-5}\) et \(b=3{,}356\times 10^{-4}\).

Exercice 36 :

\(\sqrt{81}=9\) ; \(\sqrt{242}=\sqrt{121\times 2}=11\sqrt{2}\) ; \(\sqrt{\dfrac{98}{25}}=\dfrac{\sqrt{49\times 2}}{5}=\dfrac{7\sqrt{2}}{5}\).

\(a=\dfrac{9}{11\sqrt{2}}\times \dfrac{7\sqrt{2}}{5}=\dfrac{63\sqrt{2}}{55\sqrt{2}}\), donc \(a=\dfrac{63}{55}\).

Exercice 37 :

a) \(3(2-5x)+3+x-(1-2x)=6-15x+3+x-1+2x=8-12x\).

L’équation devient \(8-12x=5x+9\), soit \(-17x=1\).

La solution est \(x=-\dfrac{1}{17}\). Vérification : les deux membres valent \(\dfrac{148}{17}\).

b) \(2x(3-5y)+5y=3x-2\) équivaut à \(6x-10xy+5y=3x-2\), soit \(5y-10xy=-3x-2\).

\(y(5-10x)=-(3x+2)\). Si \(x\neq \dfrac{1}{2}\) : \(y=\dfrac{3x+2}{10x-5}\).

La valeur interdite est \(x=\dfrac{1}{2}\) : le dénominateur \(10x-5\) s’annule (et l’équation devient \(0=-3{,}5\), impossible).

Exercice 38 :

1. a) \([-1;5]\) b) \(]3;7]\) c) \([3;+\infty[\) d) \(]-\infty;-5]\)

2. Représentation sur une droite graduée :

a) Les réels de J inférieurs à 4 sont ceux de \([1;4[\) ; tout réel de I ou de J est inférieur ou égal à 7.

\(I\cup J=]-\infty;7]\) et \(I\cap J=[1;4[\).

b) Les réels communs sont ceux strictement supérieurs à \(-4\) et inférieurs ou égaux à \(-3\).

\(I\cup J=]-7;+\infty[\) et \(I\cap J=]-4;-3]\).

Exercice 39 :

Méthode : on effectue d’abord les multiplications et divisions, puis les additions. Pour additionner deux fractions, on les écrit avec un dénominateur commun (de préférence le plus petit multiple commun des dénominateurs).

\(A=-\dfrac{4}{15}+\dfrac{7}{2}=-\dfrac{8}{30}+\dfrac{105}{30}\), donc \(A=\dfrac{97}{30}\).

\(B=\dfrac{13}{7}+\dfrac{8}{7}\times \dfrac{5}{4}=\dfrac{13}{7}+\dfrac{10}{7}\), donc \(B=\dfrac{23}{7}\).

\(C=(\dfrac{15}{10}+\dfrac{6}{10})(\dfrac{15}{12}-\dfrac{16}{12})=\dfrac{21}{10}\times (-\dfrac{1}{12})=-\dfrac{21}{120}\), donc \(C=-\dfrac{7}{40}\).

\(D=-\dfrac{3}{8}-\dfrac{35}{72}=-\dfrac{27}{72}-\dfrac{35}{72}=-\dfrac{62}{72}\), donc \(D=-\dfrac{31}{36}\).

Exercice 40 :

Méthode : dans une fraction dont le numérateur ou le dénominateur est lui-même une fraction, on simplifie séparément chaque étage, puis on utilise \(\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\).

\(A=\dfrac{\frac{9}{6}-\frac{2}{6}}{\frac{9}{12}+\frac{8}{12}}=\dfrac{7}{6}\times \dfrac{12}{17}\), donc \(A=\dfrac{14}{17}\).

\(B=2+\dfrac{2}{7}\times \dfrac{14}{5}=2+\dfrac{4}{5}\), donc \(B=\dfrac{14}{5}\).

\(C=-\dfrac{3}{14}-3\times \dfrac{5}{7}+2=-\dfrac{3}{14}-\dfrac{30}{14}+\dfrac{28}{14}\), donc \(C=-\dfrac{5}{14}\).

\(D=\dfrac{7}{5}+\dfrac{8}{15}\times \dfrac{3}{2}-\dfrac{19}{2}=\dfrac{7}{5}+\dfrac{4}{5}-\dfrac{19}{2}=\dfrac{22}{10}-\dfrac{95}{10}\), donc \(D=-\dfrac{73}{10}\).

\(E=\dfrac{\frac{15}{5}-\frac{7}{5}}{\frac{10}{10}-\frac{9}{10}}=\dfrac{8}{5}\times 10\), donc \(E=16\).

\(F=-\dfrac{7}{8}+\dfrac{12}{8}-\dfrac{8}{8}\), donc \(F=-\dfrac{3}{8}\).

Exercice 41 :

Méthode : dans chaque radicande, on cherche le plus grand carré parfait qui le divise (4, 9, 16, 25, 36, 49, 100…), puis on utilise \(\sqrt{k^2\times b}=k\sqrt{b}\) pour \(k\geq\, 0\). On regroupe ensuite les termes qui ont la même racine, comme des termes semblables en calcul littéral.

\(A=\sqrt{25\times 2}+4\sqrt{9\times 2}-7\sqrt{4\times 2}=5\sqrt{2}+12\sqrt{2}-14\sqrt{2}\), donc \(A=3\sqrt{2}\).

\(B=\sqrt{4\times 5}-8\sqrt{9\times 5}+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}-24\sqrt{5}+2\sqrt{5}\), donc \(B=-20\sqrt{5}\).

\(C=\sqrt{4\times 3}+\sqrt{25\times 3}+4\sqrt{100\times 3}=2\sqrt{3}+5\sqrt{3}+40\sqrt{3}\), donc \(C=47\sqrt{3}\).

\(D=5\sqrt{9\times 7}-\sqrt{4\times 7}+\sqrt{7}=15\sqrt{7}-2\sqrt{7}+\sqrt{7}\), donc \(D=14\sqrt{7}\).

Exercice 42 :

Méthode : on distribue le facteur placé devant la parenthèse, puis on utilise \(\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a\) et \(\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}\) pour \(a\), \(b\) positifs.

\(A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}\), donc \(A=\dfrac{3}{2}\).

\(B=\sqrt{18}\times \sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{18}\times \sqrt{18}}{18}=\sqrt{36}-\dfrac{18}{18}=6-1\), donc \(B=5\).

\(C=2\sqrt{3}-5\times (\sqrt{3})^2=2\sqrt{3}-15\), donc \(C=2\sqrt{3}-15\).

\(D=5\times (\sqrt{2})^2-35\sqrt{36}=10-35\times 6\), donc \(D=-200\).

\(E=\sqrt{12}+2\sqrt{2}=\sqrt{4\times 3}+2\sqrt{2}\), donc \(E=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}\).

\(F=2\times 12-2\sqrt{36}+2\sqrt{72}=24-12+2\times 6\sqrt{2}\), donc \(F=12+12\sqrt{2}\).

Exercice 43 :

1. Le triangle EDF est rectangle en F : son hypoténuse est [ED]. D’après le théorème de Pythagore :

\(ED^2=EF^2+DF^2\), donc \(EF^2=ED^2-DF^2=(5\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2=50-18=32\).

\(EF=\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}\), donc \(EF=4\sqrt{2}\) cm.

2. \(P=ED+DF+EF=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}\), donc \(P=12\sqrt{2}\) cm.

\(12\sqrt{2}\approx 16{,}97\) : le périmètre vaut environ 17,0 cm (arrondi au millimètre).

Exercice 44 :

1. \(5\sqrt{12}-\sqrt{75}=5\sqrt{4\times 3}-\sqrt{25\times 3}=10\sqrt{3}-5\sqrt{3}\), donc \(5\sqrt{12}-\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).

2. ABCD a quatre angles droits : c’est un rectangle. Ses deux dimensions sont égales à \(5\sqrt{3}\) cm : ABCD est un carré (rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur).

3. \(P=4\times 5\sqrt{3}\), donc \(P=20\sqrt{3}\) cm, soit environ 34,6 cm au millimètre près (\(20\sqrt{3}\approx 34{,}64\)).

4. \(\mathcal{A}=(5\sqrt{3})^2=25\times 3\), donc l’aire vaut exactement 75 cm².

Exercice 45 :

Le nombre de marches est un multiple de 3 compris entre 130 et 150 : 132 ; 135 ; 138 ; 141 ; 144 ; 147 ; 150.

En les montant 4 par 4, il reste 1 marche : le nombre divisé par 4 a pour reste 1.

• \(132=4\times 33\) (reste 0) ; \(135=4\times 33+3\) ; \(138=4\times 34+2\) ;
• \(141=4\times 35+1\) (reste 1) ;
• \(144=4\times 36\) ; \(147=4\times 36+3\) ; \(150=4\times 37+2\).

L’escalier compte 141 marches.

Exercice 46 :

1. Les droites (AB) et (A’B’) sont toutes deux perpendiculaires à (AA’), donc parallèles. Les points A, C, A’ et B, C, B’ sont alignés : d’après le théorème de Thalès,

\(\dfrac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac{CA}{CA^{\prime}}=\dfrac{CB}{CB^{\prime}}=\dfrac{2}{3}\), donc \(\dfrac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac{2}{3}\).

2. \(\dfrac{2}{3}\) est positif et \((\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}\), donc \(\dfrac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}\).

3. Dans ABC rectangle en A : \(AB^2=BC^2-AC^2=36-4=32\), donc \(AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).

Dans A’B’C rectangle en A’ : \(A^{\prime}B^{\prime 2}=81-9=72\), donc \(A^{\prime}B^{\prime}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\).

4. On a donc \(\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{72}}=\dfrac{2}{3}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}\) et \(\dfrac{32}{72}=\dfrac{4}{9}\).

Pour simplifier, on regroupe sous une seule racine : \(\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{72}}=\sqrt{\dfrac{32}{72}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}\).

Exercice 47 :

On peut aussi utiliser la propriété \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pour \(a\geq\, 0\) et \(b \gt 0\) : ainsi \(\sqrt{\dfrac{4}{25}}=\dfrac{2}{5}\), \(\sqrt{\dfrac{36}{25}}=\dfrac{6}{5}\), \(\sqrt{\dfrac{49}{25}}=\dfrac{7}{5}\). Pour F, on simplifie d’abord les fractions étagées : \(\dfrac{\frac{9}{8}}{2}=\dfrac{9}{16}\) et \(\dfrac{1}{\frac{1}{81}}=81\).

On utilise \((\sqrt{x})^2=x\) pour \(x\geq\, 0\).

• \(A=((\sqrt{3\sqrt{3}})^2)^2=(3\sqrt{3})^2=9\times 3\), donc \(A=27\).
• \(B=(\dfrac{2}{\sqrt{7}})^2=\dfrac{4}{7}\), donc \(B=\dfrac{4}{7}\).
• \(C=\sqrt{5}\times \dfrac{8}{5\sqrt{5}}\) (car \(\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) et \((\sqrt{5})^3=5\sqrt{5}\)), donc \(C=\dfrac{8}{5}\).
• \(D=\dfrac{2}{5}+\dfrac{6}{5}\), donc \(D=\dfrac{8}{5}\).
• \(E=\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{5}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{14}{10}=\dfrac{15}{10}\), donc \(E=\dfrac{3}{2}\).
• \(F=\sqrt{\dfrac{9}{16}}+\sqrt{81}=\dfrac{3}{4}+9\), donc \(F=\dfrac{39}{4}\).

Exercice 48 :

a. Pour \(n\) entier naturel non nul, on réduit au même dénominateur \(n(n+1)\) :

\(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{n(n+1)}=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}\), donc \(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}\).

b. On applique cette égalité à chaque terme de la somme, de \(n=1\) à \(n=2\,020\) :

\(S=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+\dots+(\dfrac{1}{2\,020}-\dfrac{1}{2\,021})\)

Les termes intermédiaires s’annulent deux à deux ; il reste \(S=1-\dfrac{1}{2\,021}\), donc \(S=\dfrac{2\,020}{2\,021}\).

Exercice 49 :

On simplifie d’abord chaque nombre :

• \(\dfrac{(-2)^8}{32}=\dfrac{256}{32}=8\) ;
• \(0{,}25-\dfrac{45}{4}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{45}{4}=-\dfrac{44}{4}=-11\) ;
• \(\dfrac{54}{15}=\dfrac{18}{5}=3{,}6\) ;
• \(\sqrt{68}-\sqrt{17}=2\sqrt{17}-\sqrt{17}=\sqrt{17}\), irrationnel car 17 n’est pas un carré parfait ;
• \(\dfrac{\pi}{5}\) est irrationnel car \(\pi\) l’est ;
• \(-\dfrac{5}{7}\) est rationnel mais pas décimal (7 n’est pas de la forme \(2^m\times 5^n\)).

	\(8\)	\(-11\)	\(3{,}6\)	\(\sqrt{17}\)	\(\dfrac{\pi}{5}\)	\(-\dfrac{5}{7}\)
\(\mathbb{N}\)	X
\(\mathbb{Z}\)	X	X
\(\mathbb{D}\)	X	X	X
\(\mathbb{Q}\)	X	X	X			X
\(\mathbb{R}\)	X	X	X	X	X	X

Rappel : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\), donc une croix dans un ensemble entraîne une croix dans tous les ensembles suivants.

Exercice 50 :

Rappel : pour \(a\neq 0\), \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\), donc \(\dfrac{a^{-n}}{b^{-m}}=\dfrac{b^m}{a^n}\). Pour rendre une fraction irréductible, on décompose numérateur et dénominateur en facteurs premiers et on simplifie les facteurs communs.

a) \(2+\dfrac{1}{5}=\dfrac{11}{5}\) et \(7-\dfrac{3}{5}=\dfrac{32}{5}\), donc \(a=\dfrac{11}{5}\times \dfrac{5}{32}\) et \(a=\dfrac{11}{32}\).

b) \(b=\dfrac{8^{-3}}{6^{-4}}=\dfrac{6^4}{8^3}=\dfrac{2^4\times 3^4}{2^9}=\dfrac{3^4}{2^5}\), donc \(b=\dfrac{81}{32}\).

c) \(c=\dfrac{2^4\times 5^9}{2^6\times 2^3\times 5^3}=\dfrac{5^{9-3}}{2^{6+3-4}}=\dfrac{5^6}{2^5}\), donc \(c=\dfrac{15\,625}{32}\).

Exercice 51 :

Méthode : on transforme d’abord le quotient en nombre décimal (en multipliant numérateur et dénominateur par une même puissance de 10 pour obtenir des entiers), puis on déplace la virgule en ajustant l’exposant de 10 pour obtenir un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu).

a) \(\dfrac{3}{25}=0{,}12\), donc \(a=0{,}12\times 10^4=1\,200\) et \(a=1{,}2\times 10^3\).

b) \(\dfrac{1{,}495}{0{,}125}=\dfrac{1\,495}{125}=11{,}96\), donc \(b=11{,}96\times 10^{-3}=1{,}196\times 10\times 10^{-3}\) et \(b=1{,}196\times 10^{-2}\).

Exercice 52 :

Numérateur : \(3\sqrt{5}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).

Dénominateur : \(2-\dfrac{5}{6}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{12}{6}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{8}{6}=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}\) et \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), donc le dénominateur vaut \(3\sqrt{5}\times \dfrac{5}{2}=\dfrac{15\sqrt{5}}{2}\).

\(a=5\sqrt{5}\times \dfrac{2}{15\sqrt{5}}=\dfrac{10}{15}\), donc \(a=\dfrac{2}{3}\).

Exercice 53 :

a) \(3(2-5x)+3+x-(1+2x)=6-15x+3+x-1-2x=8-16x\).

\(8-16x=5x+7\) équivaut à \(8-7=5x+16x\), soit \(21x=1\).

La solution est \(x=\dfrac{1}{21}\).

b) On factorise : \(6x-6=6(x-1)\), donc \(5(x-1)^2+6(x-1)=(x-1)[5(x-1)+6]=(x-1)(5x+1)\).

L’équation \((x-1)(5x+1)=0\) est une équation produit : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

\(x-1=0\) ou \(5x+1=0\), donc les solutions sont \(x=1\) et \(x=-\dfrac{1}{5}\).

Exercice 54 :

Méthode : on teste la divisibilité par les nombres premiers dans l’ordre croissant. 204 est pair ; 51 a pour somme des chiffres 6, il est divisible par 3 ; 595 se termine par 5, il est divisible par 5 ; \(119=7\times 17\).

1. \(204=2\times 102=2\times 2\times 51=2\times 2\times 3\times 17\), donc \(204=2^2\times 3\times 17\).

\(595=5\times 119=5\times 7\times 17\), donc \(595=5\times 7\times 17\).

2. Le seul facteur commun est 17 : \(\dfrac{204}{595}=\dfrac{2^2\times 3\times 17}{5\times 7\times 17}=\dfrac{2^2\times 3}{5\times 7}\), donc \(\dfrac{204}{595}=\dfrac{12}{35}\).

Exercice 55 :

On utilise \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) pour \(a\neq 0\).

a) \(12^{-5}=\dfrac{1}{12^{5}}\) b) \(7^{-5}=\dfrac{1}{7^5}\) c) \(8^{-6}=\dfrac{1}{8^{6}}\) d) \(\dfrac{1}{9^{23}}=9^{-23}\)

Exercice 56 :

Règles utilisées, pour \(a\neq 0\), \(b\neq 0\) et des entiers relatifs \(m\), \(n\) : \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) et \(\dfrac{a^n}{b^n}=(\dfrac{a}{b})^n\).

a) \(\dfrac{3^8}{3^{-4}}=3^{8-(-4)}\), donc \(3^{12}\).

b) \(\dfrac{6^5}{3^5}=(\dfrac{6}{3})^5\), donc \(2^5\).

c) \(\dfrac{4^6}{4^2}=4^{6-2}\), donc \(4^4\).

d) \(\dfrac{(-4{,}5)^4}{3^4}=(\dfrac{-4{,}5}{3})^4\), donc \((-1{,}5)^4\) (égal à \(1{,}5^4\)).

e) \(\dfrac{9^{-3}}{(-2{,}5)^{-3}}=(\dfrac{9}{-2{,}5})^{-3}\), donc \((-3{,}6)^{-3}\).

f) \(\dfrac{3{,}2^{-5}}{3{,}2^{-2}}=3{,}2^{-5-(-2)}\), donc \(3{,}2^{-3}\).

Exercice 57 :

Méthode : on simplifie d’abord chaque fraction si c’est possible, on transforme les soustractions de nombres négatifs en additions, puis on réduit au même dénominateur. On termine en vérifiant que le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1.

a) Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé ; de plus \(\dfrac{42}{75}=\dfrac{14}{25}\) et \(\dfrac{22}{30}=\dfrac{11}{15}\).

\(\dfrac{14}{25}+\dfrac{11}{15}=\dfrac{42}{75}+\dfrac{55}{75}=\dfrac{97}{75}\), donc \(\dfrac{97}{75}\).

b) \(\dfrac{85}{4}+\dfrac{25}{-4}=\dfrac{85}{4}-\dfrac{25}{4}=\dfrac{60}{4}\), donc \(15\).

c) \(\dfrac{-1}{25}-8=-\dfrac{1}{25}-\dfrac{200}{25}\), donc \(-\dfrac{201}{25}\).

d) \(-\dfrac{14}{27}+\dfrac{-5}{108}=-\dfrac{56}{108}-\dfrac{5}{108}\), donc \(-\dfrac{61}{108}\) (irréductible car \(61\) est premier et ne divise pas 108).

Exercice 58 :

On utilise \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) et \(\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}\) pour \(a\geq\, 0\), \(b \gt 0\).

a) \(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\sqrt{\dfrac{12}{9}}\), donc \(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\).

b) \(\dfrac{\sqrt{147}}{\sqrt{75}}=\sqrt{\dfrac{147}{75}}=\sqrt{\dfrac{3\times 49}{3\times 25}}\), donc \(\sqrt{\dfrac{49}{25}}\) (c’est-à-dire \(\dfrac{7}{5}\)).

c) \(\dfrac{8\sqrt{5}}{3\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{64\times 5}}{\sqrt{9\times 20}}=\sqrt{\dfrac{320}{180}}\), donc \(\sqrt{\dfrac{16}{9}}\) (c’est-à-dire \(\dfrac{4}{3}\)).

d) \(\sqrt{\dfrac{28}{42}}\times \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{45}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}}\), donc \(\sqrt{\dfrac{4}{9}}\) (c’est-à-dire \(\dfrac{2}{3}\)).

Exercice 59 :

1. Toutes les fleurs sont utilisées et chaque bouquet contient le même nombre de tulipes : le nombre de bouquets multiplié par le nombre de tulipes par bouquet vaut 30, donc le nombre de bouquets divise 30. De même avec les muscaris, il divise 24 : c’est un diviseur commun à 30 et 24.

2. Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.

Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.

3. Les diviseurs communs sont 1 ; 2 ; 3 ; 6. Le plus grand est 6 (c’est le PGCD de 30 et 24).

Le fleuriste peut réaliser au maximum 6 bouquets, chacun composé de \(30: 6=5\) tulipes et \(24: 6=4\) muscaris.

Exercice 60 :

Rappel : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\). Pour montrer qu’une inclusion est fausse, il suffit d’un contre-exemple.

1.

• a. Vrai : tout entier naturel \(n\) s’écrit \(\dfrac{n}{1}\).
• b. Faux : \(\dfrac{1}{3}\in\mathbb{Q}\) mais \(\dfrac{1}{3}\notin\mathbb{D}\).
• c. Faux : \(-1\in\mathbb{Z}\) mais \(-1\notin\mathbb{N}\).
• d. Faux : \(0{,}5\in\mathbb{D}\) mais \(0{,}5\notin\mathbb{Z}\).

2.

• a. Faux : 26 est positif, il n’appartient pas à \(\mathbb{Z}^{-}\).
• b. Faux : \(\mathbb{N}^{*}\) est l’ensemble des entiers naturels non nuls.
• c. Faux : \(\dfrac{1}{3}=0{,}333\dots\) n’a pas d’écriture décimale finie.
• d. Vrai : \(-\sqrt{4}=-2\in\mathbb{Z}\).

3.

• a. Faux : \(0{,}5\in\mathbb{R}^{+}\) mais \(0{,}5\notin\mathbb{N}\).
• b. Faux : \(\dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}^{+}\) mais \(\dfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\).
• c. Vrai : un entier naturel est un décimal positif.
• d. Faux : \(-1\in\mathbb{Z}\) mais \(-1\) n’est pas un entier positif.

Exercice 61 :

• a. Vrai : \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) ; un quotient \(\dfrac{p}{q}\) d’entiers (\(q\neq 0\)) est un point de la droite des réels.
• b. Faux : \(\dfrac{1}{3}\) est rationnel mais n’est pas décimal (son écriture décimale \(0{,}333\dots\) est illimitée).
• c. Faux : 3 est décimal mais son inverse \(\dfrac{1}{3}\) ne l’est pas.
• d. Vrai : un entier \(n\) s’écrit \(\dfrac{n}{10^0}\), c’est un décimal (\(\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\)).
• e. Vrai : un entier \(n\) s’écrit \(\dfrac{n}{1}\), quotient de deux entiers (\(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\)).

Exercice 62 :

Méthode : pour une somme ou une différence, on revient à l’écriture décimale. Pour un produit ou un quotient, on regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre, en utilisant \(10^m\times 10^n=10^{m+n}\) et \(\dfrac{10^m}{10^n}=10^{m-n}\).

\(A=-5\times 10^3=-5\,000\) et \(B=5\times 10^{-3}=0{,}005\).

a. \(A+B=-5\,000+0{,}005\), donc \(A+B=-4\,999{,}995\).

\(A-B=-5\,000-0{,}005\), donc \(A-B=-5\,000{,}005\).

b. \(A\times B=(-5)\times 5\times 10^{3+(-3)}=-25\times 10^0\), donc \(A\times B=-25\).

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{-5}{5}\times 10^{3-(-3)}\), donc \(\dfrac{A}{B}=-10^6\) (soit \(-1\,000\,000\)).

Exercice 63 :

Méthode : on regroupe les puissances de même base et on applique les règles \(a^m\times a^n=a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^nb^n\) et \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).

\(E=(\dfrac{2^4\times 3^5\times 5^3}{2\times 3})^3=(2^3\times 3^4\times 5^3)^3=2^9\times 3^{12}\times 5^9\), donc \(E=3^{12}\times 10^9\) (soit \(531\,441\times 10^9\)).

\(F=2^{7-5}\times 3^{10-7}\times 10^{-5-(-9)}=2^2\times 3^3\times 10^4=4\times 27\times 10^4\), donc \(F=108\times 10^4=1{,}08\times 10^6\).

\(G=\dfrac{8a^3b^3\times b^{-5}}{8a^2\times b^{-8}}=a^{3-2}\times b^{3-5+8}\), donc \(G=ab^6\) (pour \(a\neq 0\), \(b\neq 0\)).

\(H=(-\dfrac{a^2}{b^2})^{-3}\times a^6=(-\dfrac{b^2}{a^2})^3\times a^6=-\dfrac{b^6}{a^6}\times a^6\), donc \(H=-b^6\) (pour \(a\neq 0\), \(b\neq 0\)).

Exercice 64 :

Méthode : on cherche dans chaque radicande le facteur 7 (ou 3) et le carré parfait qui l’accompagne : \(63=9\times 7\), \(175=25\times 7\), \(112=16\times 7\), \(28=4\times 7\), \(147=49\times 3\), \(75=25\times 3\).

a. \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\), \(\sqrt{112}=4\sqrt{7}\), \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\).

\(A=12\sqrt{7}-10\sqrt{7}+12\sqrt{7}-14\sqrt{7}=(12-10+12-14)\sqrt{7}\), donc \(A=0\times \sqrt{7}=0\).

b. \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) et \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).

\(B=-14\sqrt{3}+15\sqrt{3}\), donc \(B=1\times \sqrt{3}=\sqrt{3}\).

Exercice 65 :

Méthode : \(24=4\times 6\), \(150=25\times 6\), \(96=16\times 6\), \(52=4\times 13\) et \(208=16\times 13\). Le plus petit radicande possible s’obtient en extrayant le plus grand carré parfait.

\(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\), \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\), \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\).

\(C=14\sqrt{6}+10\sqrt{6}-12\sqrt{6}\), donc \(C=12\sqrt{6}\).

\(\sqrt{52}=2\sqrt{13}\), \(\sqrt{26}\times \sqrt{2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\), \(\sqrt{208}=\sqrt{16\times 13}=4\sqrt{13}\).

\(D=-4\sqrt{13}+10\sqrt{13}-12\sqrt{13}\), donc \(D=-6\sqrt{13}\).

Remarque : le coefficient obtenu pour D est négatif ; D ne peut donc pas s’écrire avec un entier naturel devant la racine, contrairement à ce que laisse supposer l’énoncé.