Médiatrice d’un segment : corrigé des exercices de maths en 6ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (médiatrice 6e corrigé)

Que constates- tu ?

Nous constatons que ces deux médiatrices sont perpendiculaires.

Exercice 2 :

Nous constatons que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.

Exercice 3 (médiatrice 6e corrigé)

Quelle est la nature du triangle ABC ?

Expliquer pourquoi.

Tout point sur une médiatrice d’un segment est équidistant ( à la même distance) des extrémités du segment .

Ainsi CA = CB donc le triangle ABC est isocèle en C.

Exercice 4 :

1) AD=DC de même AB=BC

donc les points B et D sont équidistants des extrémités A et C du segment [AC]

on en déduit que B et D sont sur la médiatrice du segment [AC].

2) La droite (BD) est la médiatrice du segment [AC].

Exercice 5 (médiatrice 6e corrigé)

1) La droite \((\Delta)\) est perpendiculaire à [MN] et passe par son milieu

donc c’est la médiatrice du segment [MN].

2) A est sur la médiatrice du segment [MN], il est donc équidistant des sommets M et N.

AN=AM= 5 cm.

Exercice 6 :

Les droites (d) et (d ‘) sont perpendiculaires à une même droite (AC) donc

elles sont parallèles entre elles.

Exercice 7 (médiatrice 6e corrigé)

a) La droite (d) n’est pas perpendiculaire au segment donc ce n’est pas sa médiatrice.

b) La droite (d) ne passe pas par le milieu du segment donc ce n’est pas sa médiatrice.

c) La droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] et passe par son milieu donc c’est sa médiatrice.

d) La droite (d) n’est pas perpendiculaire au segment donc ce n’est pas sa médiatrice.

e) La droite (d) ne passe pas par le milieu du segment donc ce n’est pas sa médiatrice.

Exercice 8 :

Construction. On trace [AB] avec AB = 10 cm. De même, on prend une ouverture de compas plus grande que la moitié de AB (par exemple 7 cm). On pointe le compas en A et on trace un arc au-dessus et un arc au-dessous du segment ; on recommence en pointant en B avec la même ouverture. Les arcs se coupent en deux points : la droite qui passe par ces deux points est la médiatrice de [AB]. Elle coupe [AB] en son milieu I.

Mesures. La distance d’un point à une droite se mesure sur la perpendiculaire à cette droite. Comme la médiatrice est perpendiculaire à [AB] en I, la distance de A à la médiatrice est AI, et celle de B à la médiatrice est BI.

Comme I est le milieu de [AB] : \(AI = BI = 10 : 2 = 5\) cm.

Remarque : les points A et B sont à la même distance de la médiatrice, 5 cm chacun. La médiatrice est l’axe de symétrie du segment : A et B sont symétriques par rapport à elle.

Exercice 9 (médiatrice 6e corrigé)

On construit la médiatrice de [CD] (CD = 8 cm) comme à l’exercice 8 : deux arcs de même rayon (plus de 4 cm) centrés en C, puis deux arcs de même rayon centrés en D ; on relie les deux points d’intersection des arcs.

La médiatrice coupe le segment [CD] en un point, que l’on peut appeler I. Par définition, la médiatrice passe par le milieu du segment, donc ce point partage [CD] en deux longueurs égales : \(CI = ID = 8 : 2 = 4\) cm.

Le point d’intersection de la médiatrice avec [CD] est le milieu du segment [CD].

Exercice 10 :

On trace d’abord le triangle : on trace [BC] = 10 cm, puis on pointe le compas en B avec une ouverture de 6 cm et en C avec une ouverture de 8 cm ; les deux arcs se coupent en A. On construit ensuite les trois médiatrices au compas.

Ce que l’on remarque :

• En vérifiant avec l’équerre, on constate que l’angle en A est droit : le triangle ABC est rectangle en A.
• Les trois médiatrices se coupent en un même point (on dit qu’elles sont concourantes), que l’on nomme O.
• Ce point O n’est ni à l’intérieur ni à l’extérieur du triangle : il est sur le côté [BC], exactement en son milieu (le côté [BC] est celui opposé à l’angle droit).

Comme O est sur les trois médiatrices, il est à la même distance des trois sommets : \(OA = OB = OC = 10 : 2 = 5\) cm. On peut donc tracer un cercle de centre O et de rayon 5 cm qui passe par A, B et C.

Exercice 11 (médiatrice 6e corrigé)

On construit la médiatrice de [EF] (EF = 12 cm) à la règle et au compas, avec une ouverture de compas supérieure à 6 cm, pointée successivement en E puis en F. Elle coupe [EF] en un point I.

La médiatrice passe par le milieu du segment, donc I est le milieu de [EF] :

• distance entre E et I : \(EI = 12 : 2 = 6\) cm ;
• distance entre F et I : \(FI = 12 : 2 = 6\) cm.

On remarque que EI = FI = 6 cm : le point d’intersection est à égale distance de E et de F, c’est le milieu de [EF].

Exercice 12 :

On construit la médiatrice de [GH] (GH = 14 cm) avec une ouverture de compas supérieure à 7 cm, en traçant deux arcs de centre G et deux arcs de centre H, puis on relie les deux points d’intersection.

La médiatrice coupe [GH] en un point I tel que \(GI = IH = 14 : 2 = 7\) cm.

Ce point d’intersection est le milieu du segment [GH].

Exercice 13 :

a. On trace [AB] de 6 cm à la règle. Le milieu M est à \(6 : 2 = 3\) cm de A : on place M sur le segment à 3 cm de A (et donc à 3 cm de B).

b. Deux méthodes sont possibles pour tracer la médiatrice (d) en rouge :

• avec l’équerre : on place l’angle droit de l’équerre en M, un côté le long de [AB], et on trace la droite perpendiculaire à [AB] passant par M ;
• avec le compas : on trace deux arcs de même rayon (plus de 3 cm) centrés en A et en B, de part et d’autre du segment, puis on relie les deux points d’intersection des arcs ; la droite obtenue passe par M.

La droite (d) est perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu M : c’est la médiatrice de [AB].

Exercice 14 :

Sur le calque, on utilise la méthode du compas, qui ne demande aucune mesure :

1. On prend une ouverture de compas nettement plus grande que la moitié de MP.
2. On pointe en M et on trace un arc au-dessus et un arc au-dessous du segment.
3. Sans changer l’ouverture, on pointe en P et on trace deux arcs qui coupent les premiers.
4. On relie à la règle les deux points d’intersection des arcs : c’est la médiatrice (d).

Justification : chaque point d’intersection des arcs est à la même distance de M et de P (le rayon du compas), donc il est sur la médiatrice de [MP]. Deux points suffisent pour tracer une droite : la droite obtenue est la médiatrice (d) de [MP], perpendiculaire à [MP] en son milieu.

Exercice 15 :

1. On trace le segment [BP] qui joint la bouée au phare, puis sa médiatrice au compas (deux arcs de même rayon centrés en B, deux centrés en P).
2. On trace le segment [CT] qui joint le château d’eau à la tourelle, puis sa médiatrice de la même façon.
3. Le point où les deux médiatrices se coupent est l’emplacement de l’éolienne E.

L’éolienne E se trouve en mer, à l’intersection des deux médiatrices, au milieu de la baie, à droite de la bouée et à peu près à la même hauteur qu’elle sur la carte.

Justification : E est sur la médiatrice de [BP], donc EB = EP ; E est aussi sur la médiatrice de [CT], donc EC = ET. L’éolienne est à la même distance du phare et de la bouée, et à la même distance du château d’eau et de la tourelle.

Exercice 16 :

Pour qu’une droite soit la médiatrice de [AB], il faut deux conditions à la fois : elle doit être perpendiculaire à [AB] et passer par le milieu de [AB].

a. La médiatrice est correctement tracée sur la figure 2 : le codage montre un angle droit entre (d) et [AB], et deux longueurs égales de part et d’autre de (d). La droite (d) est donc perpendiculaire à [AB] en son milieu.

b. Erreurs sur les autres figures :

• Figure 1 : (d) passe bien par le milieu de [AB] (codage des longueurs égales), mais elle n’est pas perpendiculaire à [AB] : il n’y a pas d’angle droit, la droite est verticale alors que le segment est penché.
• Figure 3 : (d) est bien perpendiculaire à [AB] (angle droit), mais elle ne passe pas par le milieu : les deux parties mesurent 0,8 cm et 1,2 cm, qui ne sont pas égales. Le milieu est à \((0{,}8 + 1{,}2) : 2 = 1\) cm de A.

Exercice 17 :

1) Le point P est sur la médiatrice (d) du segment [AB]. Or tout point de la médiatrice d’un segment est à la même distance des deux extrémités du segment. Donc \(PB = PA\) : \(PB = 4{,}5\) cm.

2) Le triangle PAB a deux côtés de même longueur, \(PA = PB = 4{,}5\) cm : il est isocèle en P.

3) La médiatrice (d) passe par le milieu I de [AB], donc \(AI = AB : 2 = 6 : 2 = 3\) cm. La médiatrice est perpendiculaire à [AB], donc \(AI = 3\) cm et l’angle \(\widehat{AIP}\) est un angle droit : il mesure \(90^{\circ}\).

4) Le périmètre est la somme des trois côtés : \(PA + PB + AB = 4{,}5 + 4{,}5 + 6 = 15\). Le périmètre du triangle PAB est de 15 cm.

Exercice 18 :

1) Léo se trompe. Le milieu de [AB] convient bien (il est à 4 km de A et à 4 km de B), mais ce n’est pas le seul point. Tout point de la médiatrice de [AB] est à la même distance de A et de B. Le puits peut donc être creusé en n’importe quel point de la médiatrice (d) de [AB], par exemple à 3 km du milieu I, sur la perpendiculaire à [AB].

2) Sur le dessin, [AB] mesure 8 cm. On construit la médiatrice (d) de [AB] au compas. Un point cherché est sur (d) et à 5 km de A, donc à 5 cm de A sur le dessin : on trace un arc de cercle de centre A et de rayon 5 cm. Cet arc coupe la médiatrice (d) en deux points P et P’ situés de part et d’autre de [AB].

Ces deux points sont à la fois sur la médiatrice, donc à égale distance de A et de B, et à 5 km de A (donc aussi à 5 km de B). Il y a deux emplacements possibles pour le puits : P et P’. En mesurant, on trouve \(IP = IP’ = 3\) cm, soit 3 km de part et d’autre du milieu I du segment [AB].

Exercice 19 :

1) Le triangle ABC est isocèle en A, donc \(AB = AC\) : le point A est à la même distance des extrémités B et C du segment [BC]. Un point équidistant des extrémités d’un segment est sur la médiatrice de ce segment, donc A appartient à la médiatrice de [BC].

2) Le point I est le milieu de [BC]. Par définition, la médiatrice de [BC] passe par le milieu de [BC] : I appartient à la médiatrice de [BC]. Les points A et I sont deux points distincts de cette médiatrice. Par deux points distincts il ne passe qu’une seule droite : la droite (AI) est la médiatrice du segment [BC].

3) La médiatrice est perpendiculaire au segment : (AI) est perpendiculaire à (BC), donc l’angle \(\widehat{AIB}\) est droit et mesure \(90^{\circ}\). Comme I est le milieu de [BC], \(BI = 6 : 2 = 3\) cm : \(BI = 3\) cm.

Exercice 20 :

1) à 3) On trace d’abord [BC] de 7 cm, puis A à l’intersection d’un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm et d’un arc de centre C et de rayon 6 cm. On construit ensuite les médiatrices de [AB] et de [AC] au compas, avec une ouverture supérieure à la moitié du segment. Elles se coupent en O. On construit enfin la médiatrice de [BC] : on constate qu’elle passe elle aussi par O. Les trois médiatrices du triangle sont concourantes en O.

4) On trace le cercle de centre O qui passe par A, de rayon OA (environ 3,6 cm sur la figure). On constate qu’il passe aussi par B et par C. C’est le cercle circonscrit au triangle ABC.

5) O est sur la médiatrice de [AB], donc \(OA = OB\) (tout point de la médiatrice est à égale distance des extrémités du segment).

O est aussi sur la médiatrice de [AC], donc \(OA = OC\).

On en déduit que \(OA = OB = OC\) : le point O est à la même distance des trois sommets A, B et C. Le cercle de centre O et de rayon OA passe donc par B et par C. Par ailleurs, comme \(OB = OC\), le point O appartient aussi à la médiatrice de [BC], ce qui explique pourquoi les trois médiatrices se coupent en un même point.

Médiatrice 6e corrigé : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, médiatrice 6e corrigé en sixième demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Médiatrice sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec aires et périmètres : corrigé des exercices en 6ème en PDF.