Voici le corrigé complet des aires et des périmètres pour la classe de 6e : les 27 exercices de la fiche sont résolus un par un, avec la formule choisie, le calcul posé et le résultat accompagné de son unité. Lorsque le nombre \(\pi\) intervient, la réponse est donnée sous forme de valeur approchée avec la précision demandée.
Tu y retrouveras les formules du carré, du rectangle, du triangle et du cercle, les conversions de longueurs et d’aires, la longueur du cercle, l’aire du disque et celle du triangle grâce à une hauteur. Les figures complexes sont décomposées étape par étape, et les questions de comparaison reçoivent une justification sans mesure.
Avant de lire une solution, essaie d’abord de résoudre le problème sur la fiche d’énoncés. Compare ensuite ta rédaction avec celle proposée ici : repère l’étape où tu t’es trompé, puis refais le calcul seul pour bien mémoriser la méthode.
Exercice 1 (périmètres 6e corrigé)
| Carré de côté c | Rectangle de longueur L et de largeur l | Triangle rectangle de côtés de l’angle droit L et l |
| \(A = c \times c\) | \(A = L \times l\) | \(A = L \times l : 2\) |
Le triangle rectangle est la moitié d’un rectangle de dimensions L et l : c’est pourquoi on divise par 2.
Exercice 2 :
| Carré de côté c | Rectangle de longueur L et de largeur l | Cercle de rayon R | Cercle de diamètre D |
| \(P = 4 \times c\) | \(P = 2 \times (L + l) = 2 \times L + 2 \times l\) | \(P = 2 \times \pi \times R\) | \(P = \pi \times D\) |
Exercice 3 (périmètres 6e corrigé)
8 km=8 000 m .
7,5 m =7 500 mm
98,2 hm=98 200dm
2 m= 0,002 km
3 000 cm =0,03 km
650 000 cm = 65 hm
0,05 km = 50 m
7,25 km = 725 000 cm
7 mm = 0,000 07 hm
20 m = 2 dam
Exercice 4 :
Cette figure est formée de deux demi-cercles
et de deux segments.
Le grand demi-cercle a pour diamètre 10,4 cm, le petit a pour diamètre \(10{,}4 – 2 \times 2{,}6 = 5{,}2\) cm.
\(5{,}2 \times 3{,}14 + 2{,}6 \times 3{,}14 + 2 \times 2{,}6 = 16{,}328 + 8{,}164 + 5{,}2 = 29{,}692\) cm.
Le périmètre de cette figure est à peu près de 29,692 cm.
Le cours sur les aires et périmètres en 6ème est à suivre sérieusement. En effet, l’élève devra être en mesure de calculer les aires et les périmètres des figures en 6ème.
Exercice 5 (périmètres 6e corrigé)
La longueur d’un cercle se calcule avec la formule \(P = \pi \times D\) (D est le diamètre) ou \(P = 2 \times \pi \times R\) (R est le rayon).
a. Le diamètre mesure 2,8 cm.
\(P = \pi \times 2{,}8 \approx 8{,}796\)
La longueur du cercle a vaut environ 8,8 cm (valeur approchée au dixième).
b. Le rayon mesure 18 mm, c’est-à-dire 1,8 cm (on convertit car le résultat est demandé en cm).
\(P = 2 \times \pi \times 1{,}8 = 3{,}6 \times \pi \approx 11{,}310\)
La longueur du cercle b vaut environ 11,3 cm (valeur approchée au dixième).
Exercice 6 :
On calcule l’aire de chacune des quatre figures.
- Triangle rose : il est rectangle, ses côtés de l’angle droit mesurent 2,5 cm et 1,5 cm. \(A = \dfrac{2{,}5 \times 1{,}5}{2} = \dfrac{3{,}75}{2} = 1{,}875\). Son aire est 1,875 cm², soit environ 1,88 cm² au centième près.
- Triangle jaune : la hauteur de 1,8 cm est perpendiculaire au côté de 3 cm. \(A = \dfrac{3 \times 1{,}8}{2} = \dfrac{5{,}4}{2} = 2{,}7\). Son aire est 2,7 cm².
- Triangle bleu : la base mesure \(1 + 2{,}5 = 3{,}5\) cm et la hauteur correspondante 1,4 cm. \(A = \dfrac{3{,}5 \times 1{,}4}{2} = \dfrac{4{,}9}{2} = 2{,}45\). Son aire est 2,45 cm².
- Disque vert : son rayon mesure 0,9 cm. \(A = \pi \times 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}81 \times \pi \approx 2{,}545\). Son aire vaut environ 2,54 cm² (valeur approchée au centième).
Exercice 7 (périmètres 6e corrigé)
a. Le codage permet de comparer les côtés des deux figures. La figure 1 a un côté codé ///, trois côtés codés // et deux côtés codés /. La figure 2 a exactement les mêmes côtés : un côté ///, trois côtés // et deux côtés /. Les côtés qui portent le même codage ont la même longueur, donc les deux figures ont le même périmètre.
b. La figure 2 est le rectangle lui-même. Le contour de la figure 1 relie les mêmes sommets que ce rectangle (ses quatre coins), mais en passant par des lignes brisées au lieu de suivre les côtés droits. Or le chemin le plus court entre deux points est le segment qui les joint : chaque ligne brisée est plus longue que le côté du rectangle qu’elle remplace. Donc la figure 1 a un périmètre plus grand que la figure 2.
Exercice 8 :
Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.
a. \(P_{ABCD} = 2{,}5 + 1{,}5 + 2 + 1{,}2 = 7{,}2\)
Le périmètre du quadrilatère ABCD est 7,2 cm.
b. \(P_{EFGH} = 35 + 22 + 18 + 28 = 103\)
Le périmètre du quadrilatère EFGH est 103 m.
Exercice 9 (périmètres 6e corrigé)
a. Le triangle ABC est isocèle en A : \(AB = AC = 3{,}8\) cm et \(BC = 2{,}5\) cm.
\(P = 3{,}8 + 3{,}8 + 2{,}5 = 10{,}1\), donc P = 10,1 cm.
b. Le triangle DEF est équilatéral de côté 37 mm.
\(P = 3 \times 37 = 111\), donc P = 111 mm (soit 11,1 cm).
c. GHIJ est un rectangle de longueur 3,1 cm et de largeur 14 mm = 1,4 cm (on exprime les deux longueurs dans la même unité).
\(P = 2 \times (3{,}1 + 1{,}4) = 2 \times 4{,}5 = 9\), donc P = 9 cm.
d. KLMN est un carré de côté 23 mm.
\(P = 4 \times 23 = 92\), donc P = 92 mm (soit 9,2 cm).
Exercice 10 :
Cercle intérieur : son diamètre mesure 64 m.
\(P = \pi \times 64 \approx 201{,}062\)
Le cercle intérieur mesure environ 201,06 m.
Cercle extérieur : son rayon mesure 66 m, donc son diamètre mesure \(2 \times 66 = 132\) m.
\(P = \pi \times 132 \approx 414{,}690\)
Le cercle extérieur mesure environ 414,69 m.
Exercice 11 (périmètres 6e corrigé)
a. ABCD est un carré de côté 1,9 cm : \(A = 1{,}9 \times 1{,}9 = 3{,}61\), donc A = 3,61 cm².
b. EFGH est un rectangle de longueur 2,5 cm et de largeur 1,9 cm : \(A = 2{,}5 \times 1{,}9 = 4{,}75\), donc A = 4,75 cm².
c. IJK est un triangle rectangle en K, avec \(IK = 1{,}3\) cm et \(KJ = 2{,}2\) cm : \(A = \dfrac{1{,}3 \times 2{,}2}{2} = \dfrac{2{,}86}{2} = 1{,}43\), donc A = 1,43 cm².
d. Dans le triangle LMN, la hauteur issue de L mesure 1,6 cm et la base correspondante [NM] mesure 2,9 cm : \(A = \dfrac{2{,}9 \times 1{,}6}{2} = \dfrac{4{,}64}{2} = 2{,}32\), donc A = 2,32 cm².
Exercice 12 :
a. On découpe la figure en un rectangle de 2 cm sur 3 cm et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(6 – 2 = 4\) cm et 3 cm.
\(A = 2 \times 3 + \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 + 6 = 12\)
L’aire de la surface bleue est 12 cm².
b. On découpe la figure en un rectangle de 5 cm sur 2 cm et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm.
\(A = 5 \times 2 + \dfrac{3 \times 4}{2} = 10 + 6 = 16\)
L’aire de la surface verte est 16 cm².
Exercice 13 (périmètres 6e corrigé)
La figure part d’un carré de 5 dm de côté. On lui retire, en bas, un demi-disque de diamètre 5 dm, et on lui ajoute, à droite, un autre demi-disque de même diamètre 5 dm.
Ces deux demi-disques ont exactement la même aire : ce qui est enlevé est compensé par ce qui est ajouté. L’aire de la surface colorée est donc égale à celle du carré.
\(A = 5 \times 5 = 25\)
L’aire de la surface colorée est 25 dm² (valeur exacte).
Exercice 14 :
Avec 3 L, Yann peint un disque de rayon 2 m, dont l’aire vaut \(\pi \times 2 \times 2 = 4 \times \pi\), c’est-à-dire un peu plus de 12 m² (car \(4 \times 3 = 12\)).
Avec 6 L, soit deux fois plus de peinture, Mathias peut peindre deux fois cette surface : \(2 \times 4 \times \pi = 8 \times \pi\). Comme \(\pi\) est inférieur à 3,2, cette surface est inférieure à \(8 \times 3{,}2 = 25{,}6\) m², donc environ 25 m².
Le mur rectangulaire mesure 7 m sur 5 m : son aire est \(7 \times 5 = 35\) m².
Comme 25 m² est bien inférieur à 35 m², Mathias ne peut pas peindre tout le mur avec 6 L de peinture.
Exercice 15 (périmètres 6e corrigé)
La surface verte se compose d’un carré de 1 dm de côté au centre et de deux quarts de disque de rayon 1 dm, un de chaque côté.
Les deux quarts de disque forment ensemble un demi-disque de rayon 1 dm.
- Aire du carré : \(1 \times 1 = 1\) dm².
- Aire du demi-disque : \(\dfrac{3{,}14 \times 1 \times 1}{2} = 1{,}57\) dm².
\(A \approx 1 + 1{,}57 = 2{,}57\)
L’aire de la surface verte vaut environ 2,57 dm².
Exercice 16 :
Parmi les figures 1 et 2,
1. Quelle est celle qui a le plus grand périmètre ? Justifie.
La figure 2
2. Quelle est celle qui a la plus grande aire ?Justifie.
La figure 2
Exercice 17 (périmètres 6e corrigé)
Donne, en unités d’aire, les aires des figures 3 à 6.
- figure 3 : 3,5 u.a
- figure 4 : 5 u.a
- figure 5 : 1,5 u.a
- figure 6 : 5 u.a
Exercice 18 :
- En détaillant tes calculs, donne en cm les périmètres des figures 7 et 9. Pour la figure 9, tu donneras une valeur approchée au dixième.
figure 7 : 3,4 dm = 34 cm, donc \(P_7 = (34 + 7{,}5) \times 2 = 41{,}5 \times 2 = 83\) cm.
figure 9 : \(P_9 = 2 \times \pi \times 2 \approx 12{,}57\) cm, soit environ 12,6 cm au dixième.
2. En détaillant tes calculs, donne en cm² les aires des figures 7,8 et 9. Pour la figure 9, tu donneras une valeur approchée au centième.
\(A_7 = 7{,}5 \times 34 = 255\) cm²
\(A_8 = \dfrac{(4{,}2 + 1{,}1) \times 5{,}1}{2} = \dfrac{5{,}3 \times 5{,}1}{2} = 13{,}515\) cm²
\(A_9 = \pi \times 2^2 \approx 12{,}57\) cm²
Exercice 19 (périmètres 6e corrigé)
- Un rectangle a pour longueur 7 cm et pour aire 8,4 cm². Quelle est sa largeur ?
\(l = A : L = 8{,}4 : 7 = 1{,}2\) cm
2. BUT est un triangle rectangle en U tel que BU = 3,4 cm et UT = 5,3 cm. Quelle est son aire en
cm² ?
\(A = \dfrac{3{,}4 \times 5{,}3}{2} = 9{,}01\) cm²
3. Une salle de classe a la forme d’un carré de côté 6,2 m. Quelle est son aire en dam² ? En dm² ?
\(A = 6{,}2 \times 6{,}2 = 38{,}44\) m² = 0,384 4 dam² = 3 844 dm²
Exercice 20 :
1. Sur ta copie, trace un triangle d’aire 12 cm².
Il suffit de tracer un triangle rectangle ayant pour côtés 6 cm et 4 cm.
2. Sur ta copie, trace un rectangle d’aire 18 cm² et de périmètre 38 cm.
Il suffit de tracer un rectangle de longueur 18 cm et de largeur 1 cm.
Exercice 21 (périmètres 6e corrigé)
a. Le périmètre du triangle ABC est la somme des longueurs de ses trois côtés : \(AC + CB + AB = 6 + 8 + 10 = 24\).
Le périmètre du triangle ABC est 24 cm.
b. Première méthode : le triangle est rectangle en C, on utilise les deux côtés de l’angle droit [CA] et [CB].
\(A = \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\)
Deuxième méthode : on utilise la base [AB] et la hauteur issue de C, qui mesure 4,8 cm.
\(A = \dfrac{10 \times 4{,}8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\)
Les deux méthodes donnent le même résultat : l’aire du triangle ABC est 24 cm².
Exercice 22 :
L’aire d’un triangle est égale à \(\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\).
a. Le triangle ABC est rectangle en A : \(\dfrac{5 \times 3}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\). Son aire est 7,5 cm².
b. Dans le triangle DEF, la base [DE] mesure 8 cm et la hauteur issue de F mesure 4 cm : \(\dfrac{8 \times 4}{2} = \dfrac{32}{2} = 16\). Son aire est 16 cm².
Exercice 23 :
On additionne les longueurs des côtés de chaque polygone.
a. \(P_{ABCD} = 2{,}5 + 1{,}5 + 2 + 1{,}2 = 7{,}2\), donc P = 7,2 cm.
b. \(P_{EFGH} = 35 + 22 + 18 + 28 = 103\), donc P = 103 m.
Exercice 24 :
Le domaine hachuré est un rectangle. Le domaine bleu est obtenu à partir de ce rectangle en ajoutant deux demi-disques en haut (un à gauche, un à droite) et en retirant deux demi-disques identiques en bas. Chaque côté vertical du rectangle est ainsi formé de deux diamètres de ces demi-disques.
a. Le contour du domaine bleu comporte les mêmes côtés horizontaux que le rectangle, mais chaque côté vertical est remplacé par deux demi-cercles. Un demi-cercle est plus long que son diamètre (le segment est le chemin le plus court entre ses deux extrémités). Donc le périmètre du domaine bleu est plus grand que celui du domaine hachuré.
b. Les demi-disques ajoutés et les demi-disques retirés ont la même taille : ce qui est ajouté compense exactement ce qui est enlevé. Donc les deux domaines ont la même aire.
Exercice 25 :
a. On découpe la figure en un rectangle de 2 cm sur 3 cm et un triangle rectangle de côtés \(6 – 2 = 4\) cm et 3 cm.
\(A = 2 \times 3 + \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 + 6 = 12\), donc A = 12 cm².
b. On découpe la figure en un rectangle de 5 cm sur 2 cm et un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm.
\(A = 5 \times 2 + \dfrac{3 \times 4}{2} = 10 + 6 = 16\), donc A = 16 cm².
Exercice 26 :
On part du carré de 5 dm de côté. Le demi-disque blanc retiré en bas et le demi-disque ajouté à droite ont le même diamètre, 5 dm, donc la même aire : ils se compensent.
\(A = 5 \times 5 = 25\)
L’aire de la surface colorée est 25 dm².
Exercice 27 :
Le carré mesure 10 cm de côté. Le segment horizontal tracé à mi-hauteur le partage en deux rectangles de 10 cm sur 5 cm. On lit sur la figure que les deux arcs qui dessinent le pied du champignon sont des quarts de cercle de rayon 5 cm, centrés aux milieux des côtés verticaux du carré.
- Chapeau : demi-disque de rayon 5 cm. \(\dfrac{\pi \times 5 \times 5}{2} = 12{,}5 \times \pi\).
- Deux petits demi-disques sous le chapeau, de diamètre 5 cm donc de rayon 2,5 cm : \(2 \times \dfrac{\pi \times 2{,}5 \times 2{,}5}{2} = 6{,}25 \times \pi\).
- Pied : c’est le rectangle du bas (\(10 \times 5 = 50\) cm²) auquel on enlève deux quarts de disque de rayon 5 cm, soit un demi-disque : \(50 – 12{,}5 \times \pi\). Les deux petits demi-disques sont situés à l’intérieur de ces quarts de disque : ils ont été enlevés avec eux, c’est pourquoi on les compte à part ci-dessus.
\(A = 12{,}5 \times \pi + 6{,}25 \times \pi + 50 – 12{,}5 \times \pi = 50 + 6{,}25 \times \pi\)
\(A \approx 50 + 19{,}634\,9 = 69{,}634\,9\)
L’aire du champignon vaut environ 69,63 cm² (valeur approchée au centième).
Périmètres 6e corrigé : méthode de travail
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Figure géométrique de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec droites parallèles et perpendiculaires : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF.
