Cours de maths en 6ème.

Les nombres décimaux : cours de maths en 6ème

Cours de maths sur les nombres décimaux en 6ème faisant intervenir le vocabulaire et écriture de position (dixième, centième,etc…),les zéros inutiles, écriture avec des lettres.Droite graduée, comparaison de nombres décimaux et encadrement.Troncature et arrondi et multiplication et division par 10, 100, 1 000.

I. Les nombres décimaux

Définition :
  • Il existe dix CHIFFRES : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
  • Un MOT s’écrit avec des lettres.
  • Un NOMBRE s’écrit avec des chiffres.

1.Ecriture de position :

Définition :

Tout nombre décimal peut s’écrire en deux parties séparées par une virgule :

La partie entière suivie de la virgule suivie de la partie décimale.

Suivant sa position, un chiffre indique :

  •  les unités, les dizaines, les centaines . . . dans la partie entière.
  • les dixièmes, les centièmes, les millièmes . . . dans la partie décimale.

Partie entière

 

Partie decimale

millier

centaine

dizaine

unité

dixième

centième

millième

 

7

4

2

5

6

3

Exemple :

742 , 563

La partie entière est 742 et la partie décimale est 563.

742,563 = 700 + 40 + 2+ 0,5 + 0,06 + 0,003

7 centaines , 4 dizaines , 2 unités , 5 dixièmes , 6 centièmes , 3 milièmes.

Exemples :

  • Dans le nombre 5,63 le chiffre 6 est le chiffre des dixième.
  • Dans le nombre 917,842 le chiffre des centièmes est 4 et chiffre des unités est 7
  • Dans le nombre 1,976 le chiffre 6 est le chiffre des millièmes et 9 est le chiffre des dixièmes.

2. Les zéros utiles et inutiles :

Règle :

On peut écrire ou supprimer des zéros à gauche de la partie entière ou à droite de la partie décimale.

Cela ne change pas sa valeur.

Ainsi 18,3 = 018,3 = 18,30 = 018,30

Un nombre entier est aussi un nombre décimal car 37 = 37,0 .

Exemples :

a. En supprimant les zéros inutiles si cela est possible, complète les égalités :

013\,=\,13\,\\140\,=\,140\,\\\,3,04\,=\,3,04\,\\24,00\,=\,24\,\\\,5\,304,2300\,=\,5\,304,23

2\,007\,=2\,007\,\\027,304\,=\,27,304

b. Complète par = ou \neq

5,300...\,5,3\,\\609\,...\,69\\\,12\,...12,0\,\\025\,...25\\\,0,82\,...\,82\,\\82,9\,...82,90\\\,920,3...\,92,3

3- Les écritures d’un nombre

3.1. Ecriture avec des lettres :

Règle :
  • Million et Milliard sont des noms, ils prennent un   s au pluriel.
  • Vingt et Cent prennent un s au pluriel s’ils ne sont pas suivis d’un autre nombre.
  • Mille est invariable, il ne prend jamais de s au   pluriel.

Exemples :

Ecrire en lettres les nombres suivants :

600 : six cents. ;

540 : cinq cent quarante.

287 : deux cents quatre vingt sept.

80 : quatre vingts ;

7,03 : sept et trois centièmes .

2 005 076 : deux millions et cinq mille et soixante seize.

3.2. Ecriture avec des fractions décimales :

Propriété :

Un nombre décimal a plusieurs écritures.

Exemple :

237,45=2\times 100+3\times 10+7\times \,1+\frac{4}{10}+\frac{5}{100}

237,45=237+\frac{4}{10}+\frac{5}{100}

237,45=237+\frac{45}{100}

237,45=\frac{23\,745}{100}    (c’est l’écriture fractionnaire de 237,45).

Application :

Donne l’écriture décimale ou/et l’écriture fractionnaire des nombres suivants :

1,016=\frac{1016}{1000};\frac{562}{10}=56,2;734,17=\frac{73417}{100};\frac{73468}{1000000}=0,073468.

4. La droite graduée :

Définition :

Pour graduer une droite, on choisit : un sens , une origine O et une unité de longueur.

On repère chaque point d’une droite graduée par un nombre appelé l’abscisse.

separation

On dit que 2 est l’abscisse du point A ou que le point A a pour abscisse 2. On note A( 2 )

Exemples :

L’abscisse de B est 1 . L’abscisse de C est 2,2 . L’abscisse de D est 0,4 .

Sur cette droite graduée, place les points E ( 3 ) , F ( 1,6 )

II. Ordre des nombres décimaux :

1. Comparaison des nombres décimaux :

Définition :

 Comparer deux nombres décimaux, c’est dire lequel est le plus grand, le plus petit ou s’ils sont égaux :

  •  « > » signifie « est supérieur à » ( est plus grand que ) ;
  • « < » signifie « est inférieur à » ( est plus petit que ) .

Cas 1 : les parties entières sont différentes.

On compare les parties entières ; 57,235 ? 71,12

57,235 est inférieur à 71,12

 Cas 2 : les parties entières sont égales.

1ère méthode : On compare les décimales de même rang 7,267 < 7,293

2ème méthode : On essaye d’obtenir le même nombres de décimales 7,293 > 7,291

Remarque :

Le nombre qui a le plus de chiffres n’est pas toujours le plus grand 5,9 > 5,899

Exemple :

Comparer 8,5 < 13,2 ; 27,4 >3,4 ; 8,5 > 8,2 ; 3,41 < 3,7 .

Définitions :
  • Classer des nombres par ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand ;
  • Classer des nombres par ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit.

Exemples :

Ranger dans l’ordre croissant les nombres décimaux suivants :

8,5 – 13,21 – 27,4 – 3,4 – 13,205 – 3,402

Réponse :

3,4 < 3,402< 8,5 < 13,205 < 13,21 < 27,4

2. Intercaler et Encadrer :

Propriété:

Entre deux nombres décimaux, on peut toujours intercaler un nombre décimal.

Exemple :

Comparer 3 < …… < 4     ; 3,4 < …… < 3,5     ; 3,43 < …… < 3,44 3,421 < …… <3,422

 Encadrer un nombre, c’est donner à ce nombre une valeur inférieure et un   valeur supérieure.

Voici des encadrements de 13,71 :

10 < 13,71 < 20 10 < 13,71 < 15 13 < 13,71 < 14

(ici, 13,71 est encadré par 2 entiers consécutifs)

3. Tronquer et arrondir :

Définition

La troncature à l’unité d’un nombre décimal est     sa partie entière .

Exemple :

La troncature de 72,583 à l’unité est 72.

L’arrondi à l’unité d’un nombre décimal est le nombre entier le plus proche :

C’est le nombre entier précédent si le chiffre des dixièmes est 0 , 1 , 2 , 3 ou 4

C’est le nombre entier suivant si le chiffre des dixièmes est 5 , 6 , 7 , 8 ou 9

Exemple :

L’arrondi à l’unité de 27,32 est 27 ;

l’arrondi à l’unité de 37,8 est 38.

L’arrondi à l’unité de 72,583 est 73.

36,89 504,3629,654324,507
Troncature au

dixième

36,8504,329,6324,5
Arrondi au

dixième

36,9504,429,7324,5

III. Multiplier ou diviser par 10 , 100 ou 1000

1. Règle de calcul :

Méthode :

Multiplier par 10, 100 ou 1000 revient à déplacer la virgule vers la

droite, d’autant de rang qu’il y a de zéro(s), en plaçant un ou des zéros si c’est nécessaire.

Exemples :

18,53×10 = 185,3;

18,53×100 = 1 853;

18,53×1000 =18 530.

Méthode :

Diviser par 10, 100 ou 1000 revient à déplacer la virgule d’un, deux ou trois rangs vers la gauche en plaçant un ou des zéros si c’est nécessaire.

Exemples :

27,49 :10 = 2,749 ;

27,49 :100 = 0,274 9 ;

27,49: 1000 =0,027 49 .


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