Corrigé du sujet (brevet maths 2022)
Exercice 1 :
Q1. On remplace \(x\) par \(-2\) : \(f(-2)=8\times (-2)^2+3\times (-2)-1=8\times 4-6-1=32-7=25\).
L’image de \(-2\) est 25 : réponse C.
Q2. \(f(1)=1+1=2\) : l’image de 1 par la fonction \(f\) est 2. (L’image de 2 est \(2+1=3\), et non 1 ; tout nombre a une image par \(f\).)
Réponse B.
Q3. On utilise la double distributivité : \((x+4)(2x-3)=2x^2-3x+8x-12=2x^2+5x-12\).
Réponse B.
Q4. Les droites (AA’) et (BB’) se coupent en L et les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{LA^{\prime}}{LA}=\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB}\), soit \(\dfrac{12}{32}=\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{14}\).
Donc \(A^{\prime}B^{\prime}=\dfrac{12\times 14}{32}=5{,}25\) cm. Réponse C.
Q5. \(3x-7=5x+13\) donne \(3x-5x=13+7\), soit \(-2x=20\), donc \(x=\dfrac{20}{-2}=-10\).
Vérification : \(3\times (-10)-7=-37\) et \(5\times (-10)+13=-37\). Réponse A : \(-10\).
Exercice 2 (brevet maths 2022)
Les deux cow-boys sont perpendiculaires au sol et le segment [PA] est horizontal, donc le point A est à la même hauteur que le pistolet, c’est-à-dire à 1 m du sol.
Le chapeau C est au sommet d’Averell, à 2,13 m du sol, donc \(AC=2{,}13-1=1{,}13\) m.
Dans le triangle PAC rectangle en A, on connaît le côté opposé à l’angle \(\widehat{APC}\) et le côté adjacent, on utilise donc la tangente :
\(\tan \widehat{APC}=\dfrac{AC}{PA}=\dfrac{1{,}13}{6}\), d’où \(\widehat{APC}=\arctan(\dfrac{1{,}13}{6})\approx 10{,}67^\circ\) (à la calculatrice, touche \(\tan^{-1}\)).
Lucky Luke doit incliner son pistolet d’un angle \(\widehat{APC}\approx 11^\circ\) au degré près.
Exercice 3 :
1) Par une homothétie de centre O, un point, son image et le centre O sont alignés : O appartient donc aux droites (AA’), (BB’) et (CC’). Ensuite, on trace deux de ces droites, par exemple (AA’) et (BB’) : le centre O est leur point d’intersection (la droite (CC’) passe aussi par ce point, ce qui permet de vérifier le tracé).
2) Sur la figure, le triangle A’B’C’ est « retourné » par rapport au triangle ABC : B est au-dessus de A alors que B’ est en dessous de A’, et C est à droite de A alors que C’ est à gauche de A’. Puis le point O se trouve donc entre chaque point et son image (O est situé entre A et A’, entre B et B’, entre C et C’) : un point et son image sont de part et d’autre du centre. Le rapport k est négatif.
3) On mesure la longueur d’un côté et celle de son image, par exemple [AC] et [A’C’]. Sur la figure, A’C’ est environ 1,5 fois plus long que AC (les mesures sur les deux autres côtés donnent le même quotient : \(\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB}\approx\dfrac{B^{\prime}C^{\prime}}{BC}\approx 1{,}5\)).
La valeur absolue du rapport est donc 1,5 et, comme le rapport est négatif : \(k=-1{,}5\).
4) Dans une homothétie de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Ici \(k^2=(-1{,}5)^2=2{,}25\).
L’aire du triangle A’B’C’ est 2,25 fois plus grande que celle du triangle ABC.
Exercice 4 (brevet maths 2022)
1) Léo a parcouru 10,5 km en 1 h 03 min. Or 3 min \(=\dfrac{3}{60}\) h \(=0{,}05\) h, donc 1 h 03 min \(=1{,}05\) h.
\(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{10{,}5}{1{,}05}=10\). Sa vitesse moyenne est 10 km/h.
2) a) Le récapitulatif indique une allure de 6 min/km. De plus, on calcule \(f(6)=\dfrac{60}{6}=10\) : on retrouve bien une vitesse de 10 km/h.
b) \(f(5)=\dfrac{60}{5}=12\). L’image de 5 par f est 12 : lors de sa dernière course, avec une allure de 5 min/km, Léo a couru à une vitesse moyenne de 12 km/h.
3) a) On part de 10 sur l’axe des ordonnées, on rejoint la courbe horizontalement puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses : on lit 6. Un antécédent de 10 par f est 6. (Par le calcul : \(\dfrac{60}{6}=10\).)
b) On part de 14 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées : on lit environ 4,3. Le piéton se déplace à environ 4,3 km/h. (Par le calcul : \(\dfrac{60}{14}\approx 4{,}29\).)
Exercice 5 :
Quantité de cocktail pour 6 personnes. On convertit toutes les quantités en centilitres :
- jus de mangue : 6 dL = 60 cL ;
- jus de poire : 30 cL ;
- jus de citron vert : 120 mL = 12 cL ;
- sirop de cassis : 15 cL.
Total pour 6 personnes : \(60+30+12+15=117\) cL, soit 1,17 L.
Quantité pour 20 personnes. Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes : \(\dfrac{117\times 20}{6}=390\) cL, soit 3,9 L de cocktail.
Volume du récipient. Le rayon est \(r=16: 2=8\) cm et la hauteur \(h=20\) cm :
\(V=\pi\times r^2\times h=\pi\times 8^2\times 20=1\,280\pi\approx 4\,021\) cm3, soit environ 4,02 L (car 1 L = 1 000 cm3).
Conclusion. Comme \(4{,}02\gt 3{,}9\), le récipient d’Alexandre est assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes (il reste environ 0,12 L de marge).
Exercice 6 :
1) Le triangle BCD est rectangle en C, avec BC = 1,5 km et CD = 2 km. D’après le théorème de Pythagore :
\(BD^2=BC^2+CD^2=1{,}5^2+2^2=2{,}25+4=6{,}25\), donc \(BD=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\).
La longueur BD est bien égale à 2,5 km.
2) Le triangle BCD est rectangle en C, donc (BC) est perpendiculaire à (CD). Ensuite, le triangle DEF est rectangle en E, donc (EF) est perpendiculaire à (DE). Comme C, D et E sont alignés, les droites (CD) et (DE) sont la même droite (CE).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles : les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
3) Les points B, D, F d’une part et C, D, E d’autre part sont alignés, et les droites (BC) et (EF) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\(\dfrac{DF}{DB}=\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{EF}{CB}\), soit \(\dfrac{DF}{2{,}5}=\dfrac{5}{2}\).
Donc \(DF=\dfrac{2{,}5\times 5}{2}=6{,}25\). La longueur DF est bien égale à 6,25 km.
4) Le parcours en traits pleins est A → B → D → F → G :
\(AB+BD+DF+FG=7+2{,}5+6{,}25+3{,}5=19{,}25\).
La longueur totale du parcours est de 19,25 km.
5) On utilise \(t=\dfrac{d}{v}\) avec \(d=AB=7\) km et \(v=16\) km/h : \(t=\dfrac{7}{16}=0{,}4375\) h.
En minutes : \(0{,}4375\times 60=26{,}25\) min, soit 26 min et \(0{,}25\times 60=15\) s.
Mathilde mettra 26 min 15 s pour aller de A à B.
Exercice 7 :
1) Le lutin est orienté vers la droite (s’orienter à 90). Par ailleurs, dans le bloc « motif », il avance de 30 pas (la largeur du rectangle), tourne vers la gauche d’un angle droit pour monter, avance de la longueur 150 pas, puis tourne encore d’un angle droit pour repartir dans l’autre sens. Puis en répétant ces quatre instructions 2 fois, il trace les quatre côtés du rectangle et revient au point de départ avec son orientation initiale (il a tourné de \(4\times 90=360^\circ\)).
A = 90, B = 150 et C = 90.
2) La frise est formée de 6 rectangles de 30 pixels de large et de 5 espaces identiques entre eux. Si on note \(e\) la largeur d’un espace : \(6\times 30+5\times e=220\), donc \(5e=220-180=40\) et \(e=8\) pixels.
Après chaque motif, le lutin revient au coin inférieur gauche du rectangle qu’il vient de tracer ; pour atteindre le coin du rectangle suivant, il doit donc avancer de la largeur d’un rectangle plus un espace : \(D=30+8=38\).
Vérification : le 6e rectangle commence à \(5\times 38=190\) pixels du départ et se termine à \(190+30=220\) pixels.
D = 38 pas.
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