Corrigé du brevet de maths 2024 en Polynésie française

Corrigé du sujet

Exercice 1 (brevet 2024 Polynésie)

1. Le plus grand côté est [AC]. Puis on compare \(AC^2\) et \(AB^2+BC^2\) :

   \(AC^2=29^2=841\) et \(AB^2+BC^2=20^2+21^2=400+441=841\).

   Comme \(AC^2=AB^2+BC^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (le sommet opposé au plus grand côté).

   Réponse : ABC est un triangle rectangle en B.

2. La représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l’origine : f est une fonction affine \(f(x)=ax+b\). De plus, la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 1), donc \(b=1\). Ensuite, elle passe aussi par (2 ; 2) : quand x augmente de 2, f(x) augmente de 1, donc \(a=\dfrac{1}{2}\).

   Vérification avec le point (−2 ; 0) : \(\dfrac{-2}{2}+1=0\).

   Réponse : \(f(x)=\dfrac{x}{2}+1\).

3. Le carré n° 2 est de l’autre côté du point O par rapport au carré n° 1 : le rapport de l’homothétie est donc négatif. Par ailleurs, le codage montre que OE = 2 × OC, et le côté du carré n° 2 est le double de celui du carré n° 1.

   Réponse : l’homothétie de centre O et de rapport −2.

4. Le ratio 10 : 6 : 2 correspond à \(10+6+2=18\) parts. Puis pour 90 cL, une part vaut \(90: 18=5\) cL. Ensuite, le jus de fruit de la passion représente 6 parts : \(6\times 5=30\) cL.

   Réponse : 30 cL de jus de fruit de la passion.

5. Le nombre de sacs doit diviser à la fois 408 et 168 ; le plus grand nombre de sacs est donc le PGCD de 408 et 168.

   \(408=2^3\times 3\times 17\) et \(168=2^3\times 3\times 7\), donc PGCD(408 ; 168) \(=2^3\times 3=24\).

   Chaque sac contient alors \(408: 24=17\) pommes et \(168: 24=7\) poires.

   Réponse : 24 sacs.

Exercice 2 :

1. Les coûts réels supérieurs ou égaux à 10 milliards d’euros sont ceux d’Athènes 2004 (10), Pékin 2008 (31), Londres 2012 (11), Rio de Janeiro 2016 (16,5) et Tokyo 2021 (12,1).

   5 éditions ont eu un coût réel supérieur ou égal à 10 milliards d’euros.

2. À Rio de Janeiro, le coût prévisionnel était de 9 milliards d’euros et le coût réel de 16,5 milliards d’euros.

   \[\dfrac{16{,}5-9}{9}\times 100=\dfrac{7{,}5}{9}\times 100\approx83{,}3\]

   Le pourcentage d’augmentation est d’environ 83 %.

3. Il y a 8 éditions entre 1992 et 2021 :

   \[\dfrac{9{,}3+2{,}3+5{,}5+10+31+11+16{,}5+12{,}1}{8}=\dfrac{97{,}7}{8}=12{,}2125\]

   Arrondi au dixième, le coût réel moyen est bien de 12,2 milliards d’euros.

4. a. Parmi les 8 éditions, seules 2 ont un coût réel supérieur à 12,2 milliards d’euros : Pékin (31) et Rio de Janeiro (16,5) ; Tokyo (12,1) est juste en dessous. Or la moitié de 8 éditions serait 4 éditions.

   L’affirmation est donc fausse : le journaliste confond la moyenne et la médiane. Puis en rangeant les coûts réels dans l’ordre croissant (2,3 ; 5,5 ; 9,3 ; 10 ; 11 ; 12,1 ; 16,5 ; 31), la médiane est \(\dfrac{10+11}{2}=10{,}5\) milliards d’euros : c’est elle qui partage les éditions en deux groupes de même effectif. De plus, la moyenne est tirée vers le haut par la valeur très élevée de Pékin.

   b. Entre 1992 et 2024, il y a 9 éditions (les 8 du graphique et Paris 2024). Si la moyenne des coûts prévisionnels est de 5,5 milliards d’euros, leur somme est \(9\times 5{,}5=49{,}5\) milliards d’euros.

   Somme des coûts prévisionnels du graphique : \(3{,}5+1{,}8+3+5{,}3+2{,}6+4{,}8+9+13=43\).

   Coût prévisionnel de Paris 2024 : \(49{,}5-43=6{,}5\). Ensuite, la journaliste devrait annoncer 6,5 milliards d’euros.

Exercice 3 (brevet 2024 Polynésie)

1. a. Par ailleurs, le triangle ABC est rectangle en C. D’après le théorème de Pythagore :

   \(AB^2=AC^2+BC^2=15^2+27^2=225+729=954\), donc \(AB=\sqrt{954}\approx30{,}9\) m.

   Arrondie au mètre, la distance entre Alyssa et le bord de la piscine est AB ≈ 31 m.

   b. Puis les droites (JH) et (DE) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (FE) : elles sont donc parallèles.

   Les points F, J, D d’une part et F, H, E d’autre part sont alignés, et (JH) // (DE). D’après le théorème de Thalès :

   \[\dfrac{FJ}{FD}=\dfrac{FH}{FE}=\dfrac{JH}{DE}\quad\text{soit}\quad\dfrac{15}{FD}=\dfrac{7}{18}\]

   \(FD=\dfrac{15\times 18}{7}=\dfrac{270}{7}\approx38{,}57\) m, puis \(JD=FD-FJ=\dfrac{270}{7}-15=\dfrac{165}{7}\approx23{,}57\) m.

   Arrondie au mètre, on a bien JD ≈ 24 m.

   c. Comme 24 m < 31 m, c’est Jules qui est le plus proche d’un bord de la piscine.

2. Dans le triangle ABC rectangle en C, on connaît le côté opposé et le côté adjacent à l’angle \(\widehat{ABC}\) :

   \[\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{15}{27}\]

   La calculatrice donne \(\widehat{ABC}\approx29{,}1^\circ\).

   Comme \(29{,}1^\circ\lt35^\circ\), les gradins Nord respectent la norme de sécurité.

3. Aire d’un panneau : \(1\times 1{,}7=1{,}7\) m².

   Nombre de panneaux sur le toit : \(4\,678{,}4: 1{,}7=2\,752\) panneaux.

   Énergie produite en un an : \(2\,752\times 350=963\,200\) kWh.

   L’ensemble des panneaux produit bien 963 200 kWh par an.

4. Volume d’eau de la piscine (pavé droit) : \(V=50\times 25\times 3=3\,750\) m³.

   Énergie nécessaire : \(3\,750\times 9{,}3=34\,875\) kWh.

   Il faut environ 34 875 kWh pour chauffer toute l’eau de la piscine de 18° à 26°.

Exercice 4 :

1. On calcule chaque produit :

   1er tirage \ 2e tirage	3	5
   5	15	25
   2	6	10
   3	9	15

2. Les boules sont indiscernables au toucher : les 6 issues du tableau sont équiprobables. Ensuite, le résultat 15 apparaît 2 fois (\(5\times 3\) et \(3\times 5\)).

   La probabilité d’obtenir 15 est \(\dfrac{2}{6}=\) \(\dfrac{1}{3}\).

3. Parmi les 6 résultats (15 ; 25 ; 6 ; 10 ; 9 ; 15), les multiples de 3 sont 15, 6, 9 et 15, soit 4 résultats.

   La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\) : l’affirmation est vraie.

4. Le produit des deux premières boules est l’un des nombres 6, 9, 10, 15 ou 25 (tableau de la question 1).

   Anissa : \(165=3\times 5\times 11\). Parmi les produits possibles, seul 15 divise 165, et \(165: 15=11\). Puis une des boules de la troisième boîte porte donc le nombre 11.

   Bilel : \(78=2\times 3\times 13\). Parmi les produits possibles, seul 6 divise 78, et \(78: 6=13\). De plus, l’autre boule porte donc le nombre 13.

   Les boules de la troisième boîte portent les nombres 11 et 13.

Exercice 5 :

Partie A

1. \(f(-4)=(-4+2)^2-(-4)=(-2)^2+4=4+4=8\). Donc \(f(-4)=8\).

2. On cherche x tel que \(g(x)=3\) : \(7x+4=3\), donc \(7x=-1\) et \(x=-\dfrac{1}{7}\).

   Un antécédent de 3 par la fonction g est \(-\dfrac{1}{7}\).

Partie B

1. a. Ensuite, la cellule B1 contient la valeur de x ; Paul a saisi en B3 la formule =7*B1+4.

   b. Par ailleurs, dans le tableau, f(x) et g(x) ne sont égaux que dans la colonne E : \(f(0)=g(0)=4\). Paul trouve donc une seule solution : x = 0.

2. a. Ligne 4 : mettre image par g à 7 * réponse + 4.

   b. Si le nombre choisi est 0 : \(f(0)=(0+2)^2-0=4\) et \(g(0)=7\times 0+4=4\). Puis les deux images sont égales, donc le programme répond « le nombre choisi est une solution de f(x)=g(x) ».

   c. Ensuite, on en déduit que 0 est une solution de l’équation \(f(x)=g(x)\).

3. a. Puis on développe avec l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :

   \(f(x)=g(x)\) équivaut à \((x+2)^2-x=7x+4\), soit \(x^2+4x+4-x=7x+4\), soit \(x^2+3x+4=7x+4\).

   En soustrayant \(7x+4\) aux deux membres : \(x^2+3x+4-7x-4=0\), c’est-à-dire \(x^2-4x=0\).

   b. x est un facteur commun : \(x^2-4x=x(x-4)\).

   c. L’équation devient \(x(x-4)=0\). De plus, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul : \(x=0\) ou \(x-4=0\), soit \(x=4\).

   Vérification : \(f(4)=6^2-4=32\) et \(g(4)=7\times 4+4=32\).

   Les solutions de l’équation \(f(x)=g(x)\) sont 0 et 4.

4. • Paul n’a pas résolu l’équation : il n’a testé que les entiers de −3 à 3, il a trouvé 0 mais pas la solution 4.
   • Jane n’a pas résolu l’équation non plus : elle a testé les entiers de −5 à 3, ce qui donne seulement la solution 0 ; de plus, un tel programme ne peut pas tester tous les nombres (décimaux, fractions…).
   • Morgane a résolu l’équation : par le calcul, elle a trouvé toutes les solutions, 0 et 4.

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