Corrigé du contrôle de maths 1ère : applications du produit scalaire et Al-Kashi

Exercice 1 : Calculer une longueur (4 points)

1. \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC} = 7 \times 5 \times \cos 60^\circ = 35 \times \dfrac{1}{2}\).
   \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 17{,}5\).
2. D’après le théorème d’Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \times AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}\).
   \(BC^2 = 49 + 25 – 2 \times 7 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 74 – 35 = 39\).
   \(BC = \sqrt{39}\) cm, soit environ \(6{,}2\) cm.
3. On applique Al-Kashi avec l’angle en \(B\) : \(AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \times AB \times BC \times \cos \widehat{ABC}\).
   Donc \(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB^2 + BC^2 – AC^2}{2 \times AB \times BC} = \dfrac{49 + 39 – 25}{2 \times 7 \times \sqrt{39}} = \dfrac{63}{14\sqrt{39}} \approx 0{,}7206\).
   \(\widehat{ABC} \approx 43{,}9^\circ\).

Erreur fréquente : utiliser la valeur arrondie \(6{,}2\) au lieu de \(\sqrt{39}\) dans le calcul de c) ; on obtient alors \(44{,}0^\circ\), ce qui fausse l’arrondi. On garde la valeur exacte jusqu’au bout.

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour la formule d’Al-Kashi, 0,5 point pour \(BC^2 = 39\), 0,5 point pour la valeur exacte et l’arrondi avec unité ; c) 0,5 point pour la formule adaptée à l’angle en \(B\), 0,5 point pour le cosinus, 0,5 point pour l’angle arrondi.

Exercice 2 : Calculer les angles d’un triangle (3 points)

1. Al-Kashi avec l’angle en \(D\) : \(EF^2 = DE^2 + DF^2 – 2 \times DE \times DF \times \cos \widehat{EDF}\).
   \(\cos \widehat{EDF} = \dfrac{DE^2 + DF^2 – EF^2}{2 \times DE \times DF} = \dfrac{64 + 25 – 49}{2 \times 8 \times 5} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}\).
   L’angle est compris entre \(0^\circ\) et \(180^\circ\) et son cosinus vaut \(\dfrac{1}{2}\) : \(\widehat{EDF} = 60^\circ\).
2. \(\cos \widehat{DEF} = \dfrac{DE^2 + EF^2 – DF^2}{2 \times DE \times EF} = \dfrac{64 + 49 – 25}{2 \times 8 \times 7} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14}\).
   \(\widehat{DEF} \approx 38{,}2^\circ\).
3. La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\) : \(\widehat{DFE} \approx 180 – 60 – 38{,}2\).
   \(\widehat{DFE} \approx 81{,}8^\circ\).

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le cosinus égal à \(\dfrac{1}{2}\), 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour le cosinus, 0,5 point pour l’angle arrondi ; c) 0,5 point.

Exercice 3 : Un ensemble de points (4 points)

1. \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\vec{IB} = -\vec{IA}\) et \(IA = \dfrac{AB}{2}\).
   Avec la relation de Chasles : \(\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}\) et \(\vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB} = \vec{MI} – \vec{IA}\).
   Par bilinéarité : \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) \cdot (\vec{MI} – \vec{IA}) = MI^2 – IA^2\).
   \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \dfrac{AB^2}{4}\).
2. \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\) équivaut à \(MI^2 = \dfrac{AB^2}{4}\), soit \(MI = \dfrac{AB}{2}\).
   \(\Gamma\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\dfrac{AB}{2}\), c’est-à-dire le cercle de diamètre \([AB]\).
3. \(\vec{CA}(1 – 4 \,;\, 1 – 0)\), soit \(\vec{CA}(-3 \,;\, 1)\), et \(\vec{CB}(5 – 4 \,;\, 3 – 0)\), soit \(\vec{CB}(1 \,;\, 3)\).
   \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = -3 \times 1 + 1 \times 3 = 0\).
   \(C\) appartient à \(\Gamma\) : les vecteurs \(\vec{CA}\) et \(\vec{CB}\) sont orthogonaux, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).
4. \(I(\dfrac{1 + 5}{2} \,;\, \dfrac{1 + 3}{2})\), soit \(I(3 \,;\, 2)\), et \(AB^2 = (5-1)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20\).
   \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 5\) équivaut à \(MI^2 – \dfrac{20}{4} = 5\), soit \(MI^2 = 10\), soit \(MI = \sqrt{10}\).
   C’est le cercle de centre \(I(3 \,;\, 2)\) et de rayon \(\sqrt{10}\).

Barème : a) 0,5 point pour les décompositions, 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour \(IA^2 = \dfrac{AB^2}{4}\) ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’interprétation ; d) 0,5 point pour \(I\) et \(AB^2\), 0,5 point pour le cercle.

Exercice 4 : Un angle droit dans un rectangle (4 points)

1. Par la relation de Chasles, \(\vec{ID} = \vec{IA} + \vec{AD}\).
   De même \(\vec{IC} = \vec{IB} + \vec{BC}\). Or \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\vec{IB} = -\vec{IA}\), et \(ABCD\) est un rectangle, donc \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
   \(\vec{IC} = -\vec{IA} + \vec{AD}\).
2. \(\vec{ID} \cdot \vec{IC} = (\vec{AD} + \vec{IA}) \cdot (\vec{AD} – \vec{IA}) = AD^2 – IA^2\).
   \(IA = \dfrac{AB}{2} = 2\) et \(AD = 2\), donc \(\vec{ID} \cdot \vec{IC} = 4 – 4\).
   \(\vec{ID} \cdot \vec{IC} = 0\).
3. Le produit scalaire est nul et les vecteurs ne sont pas nuls, donc ils sont orthogonaux.
   L’angle \(\widehat{DIC}\) est droit.
4. Le calcul de b) reste valable : \(\vec{ID} \cdot \vec{IC} = AD^2 – IA^2 = \ell^2 – \dfrac{L^2}{4}\).
   \(\widehat{DIC}\) est droit si et seulement si \(\ell^2 = \dfrac{L^2}{4}\), soit \(\ell = \dfrac{L}{2}\) car les longueurs sont positives.
   L’angle \(\widehat{DIC}\) est droit si et seulement si \(L = 2\ell\) : la longueur est le double de la largeur.

Barème : a) 0,5 point par égalité justifiée ; b) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour \(AD^2 – IA^2\), 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour l’expression \(\ell^2 – \dfrac{L^2}{4}\), 0,5 point pour la condition.

Exercice 5 : Deux bateaux (5 points)

1. \(\vec{PA} \cdot \vec{PB} = PA \times PB \times \cos 70^\circ = 15 \times 12 \times \cos 70^\circ = 180\cos 70^\circ\).
   \(\vec{PA} \cdot \vec{PB} \approx 61{,}6\).
2. D’après le théorème d’Al-Kashi : \(AB^2 = PA^2 + PB^2 – 2 \times \vec{PA} \cdot \vec{PB} = 225 + 144 – 360\cos 70^\circ\).
   \(AB^2 \approx 245{,}87\), donc \(AB \approx 15{,}68\).
   Au bout d’une heure, les bateaux sont à environ \(15{,}7\) km l’un de l’autre.
3. Al-Kashi avec l’angle en \(A\) : \(\cos \widehat{PAB} = \dfrac{PA^2 + AB^2 – PB^2}{2 \times PA \times AB} \approx \dfrac{225 + 245{,}87 – 144}{2 \times 15 \times 15{,}68} \approx 0{,}695\).
   \(\widehat{PAB} \approx 46^\circ\).
4. Durée = distance ÷ vitesse : \(t \approx \dfrac{15{,}68}{20} \approx 0{,}784\) h, et \(0{,}784 \times 60 \approx 47\) min.
   Le chalutier rejoint le voilier en 47 minutes environ.

Erreur fréquente : oublier le facteur 2 devant \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\) dans la formule d’Al-Kashi ; on trouverait alors \(AB \approx 17{,}5\) km.

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la valeur ; b) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour \(AB^2\), 0,5 point pour la distance arrondie avec unité ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le cosinus, 0,5 point pour l’angle ; d) 0,5 point pour le temps en heures, 0,5 point pour la conversion en minutes.

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Après le corrigé du contrôle : applications du produit scalaire et Al-Kashi

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