Ce contrôle de maths de 1ère porte sur le thème suivant : nombre dérivé, tangente, approximation affine.
Ce sujet porte sur l’entrée dans la dérivation. Tu calcules un taux de variation puis sa limite quand \(h\) tend vers 0 pour obtenir un nombre dérivé, d’abord sur un trinôme, ensuite sur la fonction inverse. Sur un graphique quadrillé, tu lis des nombres dérivés comme coefficients directeurs de tangentes.
Tu écris aussi l’équation d’une tangente avec \(y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\) et tu t’en sers pour une approximation affine de \(\sqrt{4{,}2}\), nouveauté du programme. Le dernier exercice relie le nombre dérivé à une vitesse instantanée. La calculatrice n’est permise qu’à une question signalée.
- Niveau : 1ère
- Chapitre : Dérivée d’une fonction
- Durée conseillée : 1 heure
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 4 points ; exercice 5 : 3 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : calculer un taux de variation et sa limite quand h tend vers 0
- Représenter : lire un nombre dérivé comme coefficient directeur d’une tangente
- Raisonner : établir l’équation d’une tangente et l’utiliser
- Modéliser : interpréter un nombre dérivé comme une vitesse instantanée
- Chercher : approcher une valeur par une approximation affine et estimer l’erreur
Exercice 1 : Taux de variation d’un trinôme (4 points)
Calculatrice interdite, sauf à la question d) de l’exercice 4.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 – 3x + 2\).
- Montre que, pour tout réel \(h \neq 0\), le taux de variation de \(f\) entre \(2\) et \(2 + h\) vaut \(\dfrac{f(2+h) – f(2)}{h} = 1 + h\). (1,5 point)
- Déduis-en que \(f\) est dérivable en \(2\) et donne \(f^{\prime}(2)\). (0,5 point)
- Soit \(a\) un réel. Montre que, pour tout \(h \neq 0\), \(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h} = 2a – 3 + h\), puis donne \(f^{\prime}(a)\) en fonction de \(a\). (1,5 point)
- Vérifie que ce résultat redonne la valeur trouvée en b). (0,5 point)
Exercice 2 : Lecture graphique de nombres dérivés (5 points)
On a tracé ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_g\) d’une fonction \(g\) dérivable sur \(\mathbb{R}\), ainsi que ses tangentes aux points \(A(-3\,;3)\), \(B(0\,;1)\) et \(C(6\,;3)\). La tangente en \(A\) est parallèle à l’axe des abscisses ; la tangente en \(B\) passe par le point de coordonnées \((3\,;-2)\) ; la tangente en \(C\) passe par le point de coordonnées \((5\,;0)\).
- Détermine \(g^{\prime}(-3)\) en justifiant. (1 point)
- Détermine \(g^{\prime}(0)\) en justifiant. (1 point)
- Détermine \(g^{\prime}(6)\) en justifiant. (1 point)
- Donne l’équation réduite de la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point \(B\). (1 point)
- On admet que \(g(x) = \dfrac{x^3}{27} – x + 1\). Calcule le taux de variation de \(g\) entre \(0\) et \(h\) (avec \(h \neq 0\)) et retrouve par le calcul la valeur de \(g^{\prime}(0)\). (1 point)
Exercice 3 : La fonction inverse et ses tangentes (4 points)
On considère la fonction inverse \(k\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(k(x) = \dfrac{1}{x}\). Soit \(a\) un réel non nul.
- Montre que, pour tout réel \(h\) non nul tel que \(a + h \neq 0\), \(\dfrac{k(a+h) – k(a)}{h} = \dfrac{-1}{a(a+h)}\). (1,5 point)
- Déduis-en \(k^{\prime}(a)\). (0,5 point)
- Détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de \(k\) au point d’abscisse \(2\). (1 point)
- En quels points de la courbe de \(k\) la tangente a-t-elle pour coefficient directeur \(-4\) ? (1 point)
Exercice 4 : Approximation affine d’une racine carrée (4 points)
On note \(r\) la fonction racine carrée : \(r(x) = \sqrt{x}\). On admet qu’elle est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et que \(r^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
- Détermine l’équation réduite de la tangente \(T\) à la courbe de \(r\) au point d’abscisse \(4\). (1 point)
- Déduis-en l’approximation affine de \(\sqrt{4 + h}\) pour \(h\) proche de 0. (1 point)
- Donne, sans calculatrice, une valeur approchée de \(\sqrt{4{,}2}\) et de \(\sqrt{3{,}96}\). (1 point)
- Calculatrice autorisée : compare ces valeurs approchées aux valeurs affichées par la calculatrice. Laquelle des deux approximations est la plus précise ? Explique pourquoi. (1 point)
Exercice 5 : La vitesse d’une bille qui tombe (3 points)
Inès lâche une bille du haut d’une tour. On admet que la distance parcourue par la bille, en mètres, \(t\) secondes après le lâcher, est \(d(t) = 5t^2\). La vitesse instantanée de la bille à l’instant \(t\) est le nombre dérivé \(d^{\prime}(t)\), en mètres par seconde.
- Calcule la vitesse moyenne de la bille entre \(t = 2\) et \(t = 2{,}5\). (1 point)
- Pour \(h \neq 0\), exprime en fonction de \(h\) la vitesse moyenne entre \(t = 2\) et \(t = 2 + h\). (1 point)
- Déduis-en la vitesse instantanée de la bille à \(t = 2\) s, en m/s puis en km/h. (1 point)
Réviser avant le contrôle : nombre dérivé, tangente, approximation affine
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Dérivée d’une fonction » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés dérivée d’une fonction.
Retrouve tous les contrôles de maths en 1ère classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.
