Corrigé du contrôle de maths 1ère : signe du trinôme, inéquations et problèmes

Exercice 1 : Un tableau de signes (4 points)

1. \(a = -2\), \(b = 2\), \(c = 12\). Alors \(\Delta = 2^2 – 4 \times (-2) \times 12 = 4 + 96 = 100 > 0\), \(\sqrt{100} = 10\).
   Donc \(x_1 = \dfrac{-2 – 10}{2 \times (-2)} = \dfrac{-12}{-4} = 3\). De même, \(x_2 = \dfrac{-2 + 10}{2 \times (-2)} = \dfrac{8}{-4} = -2\). Les racines de \(f(x)\) sont \(-2\) et 3.
2. \(f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\), donc \(f(x) = -2(x + 2)(x – 3)\).
   Un trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Ici \(a = -2 < 0\) :

   \(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		3		\(+\infty\)
   signe de \(f(x)\)		\(-\)	0	\(+\)	0	\(-\)

3. D’après le tableau : \(f(x) > 0\) pour \(x \in ]-2 \,;\, 3[\). Ensuite, \(f(x) \leq\, 0\) pour \(x \in ]-\infty \,;\, -2] \cup [3 \,;\, +\infty[\).

Barème : a) 0,5 point pour \(\Delta\), 1 point pour les deux racines. Puis b) 0,5 point pour la forme factorisée, 1 point pour le tableau (signes et zéros). Enfin, c) 0,5 point par ensemble, crochets compris.

Erreur fréquente : oublier le coefficient \(-2\) dans la forme factorisée. Autre piège : mettre « \(+\) à l’extérieur des racines » par habitude alors que \(a\) est négatif.

Exercice 2 : Des inéquations (5 points)

1. \(\Delta = 6^2 – 4 \times 1 \times m = 36 – 4m\). Or l’équation a deux solutions distinctes si et seulement si \(\Delta > 0\). Cela donne \(36 – 4m > 0\), soit \(m < 9\). Il faut et il suffit donc que \(m < 9\).
2. \(\Delta = 1^2 – 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0\) : le trinôme n’a pas de racine. Ainsi, il est toujours du signe de \(a = 1\), donc strictement positif sur \(\mathbb{R}\). Il n’est jamais négatif ou nul. \(S = \emptyset\).
3. \(3x^2 \geq\, 5x + 2\) équivaut à \(3x^2 – 5x – 2 \geq\, 0\).
   Alors \(\Delta = (-5)^2 – 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{49} = 7\).
   Donc \(x_1 = \dfrac{5 – 7}{6} = -\dfrac{1}{3}\) et \(x_2 = \dfrac{5 + 7}{6} = 2\).
   \(a = 3 > 0\) : le trinôme est donc positif à l’extérieur des racines. \(S = ]-\infty \,;\, -\frac{1}{3}] \cup [2 \,;\, +\infty[\).
4. Pour \(x^2 – 5x + 6\) : \(\Delta = 25 – 24 = 1\), racines \(\dfrac{5 – 1}{2} = 2\) et \(\dfrac{5 + 1}{2} = 3\). Ce trinôme est positif à l’extérieur de \([2 \,;\, 3]\) car \(a = 1 > 0\).
   Puis \(1 – x > 0\) équivaut à \(x < 1\).

   \(x\)	\(-\infty\)		1		2		3		\(+\infty\)
   \(1 – x\)		\(+\)	0	\(-\)		\(-\)		\(-\)
   \(x^2 – 5x + 6\)		\(+\)		\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)
   produit		\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)	0	\(-\)

   \(S = ]1 \,;\, 2[ \cup ]3 \,;\, +\infty[\).

Barème : a) 0,5 point pour \(\Delta\) en fonction de \(m\), 0,5 point pour \(m < 9\). Puis b) 0,5 point pour \(\Delta < 0\), 0,5 point pour la conclusion justifiée par le signe de \(a\). Ensuite, c) 0,5 point pour la transposition, 0,5 point pour les racines, 0,5 point pour l’ensemble. Enfin, d) 0,5 point pour les racines 2 et 3, 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour l’ensemble (bornes exclues).

Erreur fréquente : en c, diviser par \(x\) pour « simplifier » ou résoudre sans tout passer dans un seul membre. Or on compare toujours un trinôme à 0.

Exercice 3 : Parabole et droite (4 points)

1. Un point \(M(x \,;\, y)\) appartient à \(\mathcal{P}\) et à \(d\) si et seulement si \(y = x^2 – 3x + 1\) et \(y = x – 2\). Son abscisse vérifie donc \(x^2 – 3x + 1 = x – 2\). Ainsi, \(x^2 – 3x + 1 – x + 2 = 0\). Les abscisses cherchées sont les solutions de \(x^2 – 4x + 3 = 0\).
2. \(\Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times 3 = 16 – 12 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\). Donc \(x_1 = \dfrac{4 – 2}{2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{4 + 2}{2} = 3\).
   Puis, avec l’équation de \(d\) : pour \(x = 1\), \(y = 1 – 2 = -1\) ; pour \(x = 3\), \(y = 3 – 2 = 1\).
   Les points d’intersection sont \(A(1 \,;\, -1)\) et \(B(3 \,;\, 1)\), ce que confirme le graphique.
3. On étudie le signe de la différence \((x^2 – 3x + 1) – (x – 2) = x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)\).
   Ce trinôme a pour racines 1 et 3 et \(a = 1 > 0\). Il est donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
   \(\mathcal{P}\) est au-dessus de \(d\) sur \(]-\infty \,;\, 1[\) et sur \(]3 \,;\, +\infty[\). En revanche, \(\mathcal{P}\) est en dessous de \(d\) sur \(]1 \,;\, 3[\). Enfin, les deux courbes se coupent en \(A\) et \(B\).

Barème : a) 0,5 point pour l’égalité des ordonnées, 0,5 point pour la réduction. Puis b) 0,5 point pour les racines, 1 point pour les deux points (ordonnées comprises). Enfin, c) 0,5 point pour la différence, 0,5 point pour son signe, 0,5 point pour la conclusion rédigée.

Erreur fréquente : ne donner que les abscisses 1 et 3 en b, alors que l’on demande les coordonnées des points.

Exercice 4 : L’enclos de Maëlle (3,5 points)

1. Les deux côtés perpendiculaires au mur utilisent \(2x\) mètres de grillage. Il reste donc \(40 – 2x\) mètres pour le côté parallèle au mur. Ce côté mesure \(40 – 2x\) mètres.
   \(A(x) = x(40 – 2x) = 40x – 2x^2\), donc \(A(x) = -2x^2 + 40x\).
2. On résout \(-2x^2 + 40x \geq\, 150\), soit \(-2x^2 + 40x – 150 \geq\, 0\). En divisant par \(-2 < 0\), le sens change : \(x^2 – 20x + 75 \leq\, 0\).
   Alors \(\Delta = (-20)^2 – 4 \times 75 = 400 – 300 = 100\), \(\sqrt{100} = 10\). Les racines sont donc \(\dfrac{20 – 10}{2} = 5\) et \(\dfrac{20 + 10}{2} = 15\).
   \(x^2 – 20x + 75\) est négatif ou nul entre ses racines. De plus, \([5 \,;\, 15]\) est bien inclus dans \(]0 \,;\, 20[\). Ainsi, l’aire est d’au moins \(150\text{ m}^2\) pour \(x\) compris entre 5 m et 15 m.
3. Forme canonique : \(A(x) = -2(x^2 – 20x) = -2[(x – 10)^2 – 100] = -2(x – 10)^2 + 200\).
   Comme \(-2(x – 10)^2 \leq\, 0\), on a \(A(x) \leq\, 200\), avec égalité pour \(x = 10\). Le côté parallèle au mur mesure alors \(40 – 2 \times 10 = 20\) m.
   L’aire est maximale pour \(x = 10\) m. Ainsi, l’enclos mesure 10 m sur 20 m et son aire vaut \(200\text{ m}^2\).

Barème : a) 0,5 point pour \(40 – 2x\), 0,5 point pour \(A(x)\). Puis b) 0,5 point pour l’inéquation, 0,5 point pour les racines, 0,5 point pour la conclusion dans le contexte. Enfin, c) 0,5 point pour la valeur de \(x\) justifiée (forme canonique ou \(-\frac{b}{2a}\)), 0,5 point pour les dimensions et l’aire.

Erreur fréquente : compter quatre côtés de grillage et écrire \(20 – x\) pour la longueur. Or le mur remplace le quatrième côté.

Exercice 5 : La balle de Noé (3,5 points)

1. \(h(0) = -5 \times 0^2 + 10 \times 0 + 15 = 15\). La balle est donc lancée à 15 m de hauteur.
2. On résout \(h(t) = 0\) : \(-5t^2 + 10t + 15 = 0\). Puis, en divisant par \(-5\), on obtient \(t^2 – 2t – 3 = 0\).
   Alors \(\Delta = (-2)^2 – 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16\), \(\sqrt{16} = 4\). Donc \(t_1 = \dfrac{2 – 4}{2} = -1\) et \(t_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3\).
   Comme \(t \geq\, 0\), on garde \(t = 3\). La balle touche le sol au bout de 3 secondes.
3. On résout \(h(t) \geq\, 15\) : \(-5t^2 + 10t + 15 \geq\, 15\), soit \(-5t^2 + 10t \geq\, 0\), soit \(5t(2 – t) \geq\, 0\).
   Le trinôme \(-5t^2 + 10t\) a pour racines 0 et 2, et \(a = -5 < 0\). Il est donc positif ou nul entre ses racines, c’est-à-dire pour \(t \in [0 \,;\, 2]\).
   Ainsi, la balle est au-dessus de sa hauteur de départ pendant 2 secondes.

Barème : a) 0,5 point. Puis b) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour les racines, 0,5 point pour le choix de \(t = 3\) justifié. Enfin, c) 0,5 point pour l’inéquation réduite, 0,5 point pour l’intervalle \([0 \,;\, 2]\), 0,5 point pour la durée.

Erreur fréquente : garder la solution \(t = -1\) ou répondre « 2 » sans unité. En effet, un temps négatif n’a pas de sens ici, et la réponse attendue est une durée en secondes.

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Après le corrigé du contrôle : signe du trinôme, inéquations et problèmes

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