Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : sens de variation, tableaux et extremums.
Cette correction insiste sur la rédaction. Pour comparer deux images avec un tableau de variations, on vérifie d’abord que les deux nombres sont dans un même intervalle où la fonction est monotone ; sinon, on encadre chaque image et on regarde si les encadrements se chevauchent. Un extremum se donne toujours avec la valeur de \(x\) où il est atteint.
Pour les démonstrations, on prend deux réels \(a < b\) de l’intervalle, on étudie le signe de \(f(b) – f(a)\) en factorisant, puis on conclut. Le problème de la serre utilise une forme canonique pour prouver un maximum. Le barème suit chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : sens de variation, tableaux et extremums.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Lecture graphique des variations | 5 points |
| Exercice 2 : Exploiter un tableau de variations | 5 points |
| Exercice 3 : Démontrer un sens de variation | 5 points |
| Exercice 4 : La température d’une serre | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Lecture graphique des variations (5 points)
- La courbe s’étend de l’abscisse \(-4\) à l’abscisse 5, extrémités comprises. \(f\) est définie sur \([-4\,;5]\).
- \(f(-2) = 3\) et \(f(1) = -2\). La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points (une fois entre \(-2\) et 1, une fois entre 1 et 5). L’équation \(f(x) = 0\) admet deux solutions.
- \(f\) est croissante sur \([-4\,;-2]\), décroissante sur \([-2\,;1]\) et croissante sur \([1\,;5]\) :
- Les valeurs candidates pour le maximum sont 3 (en \(-2\)) et 4 (en 5) ; pour le minimum, 1 (en \(-4\)) et \(-2\) (en 1).
Sur \([-4\,;5]\), le maximum de \(f\) est 4, atteint en \(x = 5\), et le minimum est \(-2\), atteint en \(x = 1\).
- Sur \([-4\,;1]\), \(f\) monte jusqu’à 3 puis redescend. Le maximum de \(f\) sur \([-4\,;1]\) est 3, atteint en \(x = -2\).
- \(-1\) et 0 appartiennent à \([-2\,;1]\), intervalle sur lequel \(f\) est décroissante ; comme \(-1 < 0\), les images sont rangées dans l’ordre inverse.
\(f(-1) > f(0)\).
Erreur fréquente : donner 3 comme maximum sur \([-4\,;5]\), en oubliant de regarder la valeur à l’extrémité \(x = 5\).
Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point : 0,25 par image, 0,5 pour le nombre de solutions ; c) 1,5 point : 0,75 pour les abscisses, 0,75 pour les valeurs et les flèches ; d) 1 point : 0,5 par extremum avec l’abscisse ; e) 0,5 point ; f) 0,5 point avec la justification par la décroissance.
Exercice 2 : Exploiter un tableau de variations (5 points)
- Les valeurs hautes du tableau sont 5 et 1, les valeurs basses sont 2 et \(-1\).
Le maximum de \(g\) est 5, atteint en \(x = 0\) ; le minimum est \(-1\), atteint en \(x = 4\).
- 1 et 3 appartiennent à \([0\,;4]\), où \(g\) est décroissante, et \(1 < 3\). Donc \(g(1) > g(3)\).
- \(-2 \in [-3\,;0]\), où \(g\) est strictement croissante de 2 à 5, donc \(2 < g(-2) < 5\).
\(5 \in [4\,;6]\), où \(g\) est strictement croissante de \(-1\) à 1, donc \(-1 < g(5) < 1\).
Ainsi \(g(5) < 1 < 2 < g(-2)\). Donc \(g(-2) > g(5)\).
- \(-1 \in [-3\,;0]\), donc \(2 < g(-1) < 5\). \(2 \in [0\,;4]\), donc \(-1 < g(2) < 5\).
Les deux encadrements se chevauchent et les deux nombres ne sont pas dans un même intervalle où \(g\) est monotone.
On ne peut pas comparer \(g(-1)\) et \(g(2)\) avec ces seules informations : selon la courbe, \(g(2)\) peut être plus grand ou plus petit que \(g(-1)\).
- Sur \([-3\,;0]\), \(g(x) \geq\, 2\) : pas de solution. Sur \([0\,;4]\), \(g\) décroît strictement de 5 à \(-1\) et 0 est compris entre ces valeurs : une solution. Sur \([4\,;6]\), \(g\) croît strictement de \(-1\) à 1 : une solution.
L’équation \(g(x) = 0\) admet exactement deux solutions sur \([-3\,;6]\).
- Une courbe possible (d’autres tracés sont acceptés s’ils respectent le tableau) :
Erreur fréquente : en d), conclure que \(g(-1) > g(2)\) parce que \(-1\) est « près du maximum » : sans valeurs précises, on ne peut rien affirmer.
Barème : a) 1 point : 0,5 par extremum avec l’abscisse ; b) 0,5 point ; c) 1 point : 0,5 pour les deux encadrements, 0,5 pour la conclusion ; d) 1 point : 0,5 pour les encadrements, 0,5 pour la conclusion ; e) 1 point : 0,5 pour l’étude par intervalle, 0,5 pour le nombre ; f) 0,5 point.
Exercice 3 : Démontrer un sens de variation (5 points)
- Soient \(a < b\) deux réels.
\(f(b) – f(a) = (-3b + 7) – (-3a + 7) = -3b + 3a = -3(b – a)\)
Comme \(a < b\), on a \(b – a > 0\), et \(-3 < 0\), donc \(f(b) – f(a) < 0\), c’est-à-dire \(f(b) < f(a)\).
Si \(a < b\), alors \(f(a) > f(b)\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
- En développant : \((b – a)(b + a) = b^2 + ab – ab – a^2 = b^2 – a^2\).
Si \(0 \leq\, a < b\), alors \(b – a > 0\) et \(b + a > 0\) (car \(b > 0\) et \(a \geq\, 0\)).
Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc \(b^2 – a^2 > 0\), soit \(a^2 < b^2\).
La fonction carré est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\).
- Soient \(0 \leq\, a < b\). D’après b), \(a^2 < b^2\). En multipliant par 2, qui est positif, \(2a^2 < 2b^2\), puis en retranchant 1 : \(2a^2 – 1 < 2b^2 – 1\), soit \(h(a) < h(b)\).
\(h\) est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Erreur fréquente : en b), oublier de justifier que \(b + a\) est positif ; c’est exactement là qu’intervient l’hypothèse \(a \geq\, 0\).
Barème : a) 2 points : 1 pour le calcul et la factorisation, 0,5 pour le signe, 0,5 pour la conclusion ; b) 2 points : 0,5 pour le développement, 1 pour le signe des deux facteurs, 0,5 pour la conclusion ; c) 1 point.
Exercice 4 : La température d’une serre (5 points)
- \(T(0) = 4\) et \(T(12) = -0{,}5 \times 144 + 6 \times 12 + 4 = -72 + 72 + 4 = 4\).
À 8 h et à 20 h, il fait 4 °C dans la serre.
- On développe la forme proposée :
\(22 – 0{,}5(t – 6)^2 = 22 – 0{,}5(t^2 – 12t + 36)\)
\(22 – 0{,}5(t – 6)^2 = 22 – 0{,}5t^2 + 6t – 18\)
\(22 – 0{,}5(t – 6)^2 = -0{,}5t^2 + 6t + 4 = T(t)\)
On a bien \(T(t) = 22 – 0{,}5(t – 6)^2\).
- Un carré est toujours positif ou nul : \((t – 6)^2 \geq\, 0\), donc \(0{,}5(t – 6)^2 \geq\, 0\) et \(T(t) = 22 – 0{,}5(t – 6)^2 \leq\, 22\).
De plus \(T(6) = 22 – 0 = 22\) : la valeur 22 est atteinte, pour \(t = 6\), c’est-à-dire à \(8 + 6 = 14\) h.
La température maximale est 22 °C, atteinte à 14 h.
-
\(t\) 0 6 12 \(T(t)\) 4 croissante ↗ 22 décroissante ↘ 4 - On résout \(T(t) \geq\, 20\) :
\(22 – 0{,}5(t – 6)^2 \geq\, 20\)
\(-0{,}5(t – 6)^2 \geq\, -2\)
\((t – 6)^2 \leq\, 4\) (on a divisé par \(-0{,}5\), négatif, ce qui change le sens)
Cela signifie \(-2 \leq\, t – 6 \leq\, 2\), soit \(4 \leq\, t \leq\, 8\).
Vérification : \(T(4) = -8 + 24 + 4 = 20\) et \(T(8) = -32 + 48 + 4 = 20\).
La température est supérieure ou égale à 20 °C pour \(t \in [4\,;8]\), c’est-à-dire de 12 h à 16 h.
Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point : 0,5 pour le développement du carré, 0,5 pour la conclusion ; c) 1,5 point : 0,5 pour l’argument du carré positif, 0,5 pour la valeur atteinte en 6, 0,5 pour l’heure ; d) 1 point ; e) 1 point : 0,5 pour l’inéquation \((t – 6)^2 \leq\, 4\), 0,5 pour la plage horaire.
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