Corrigé du contrôle de maths 2de : vecteurs, translations et relation de Chasles

Exercice 1 : Translation sur un quadrillage (4 points)

1. Le vecteur \(\vec{AB}\) correspond à un déplacement de 3 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut. On applique ce déplacement à chaque sommet du triangle \(CDE\).
   On obtient le triangle \(C^{\prime}D^{\prime}E^{\prime}\) tracé en vert ci-dessous.

   

2. Par définition de la translation de vecteur \(\vec{AB}\), chaque point a pour image un point obtenu par le même déplacement.
   \(\vec{CC^{\prime}} = \vec{DD^{\prime}} = \vec{EE^{\prime}} = \vec{AB}\).
3. On a \(\vec{CC^{\prime}} = \vec{DD^{\prime}}\). Or si \(\vec{CC^{\prime}} = \vec{DD^{\prime}}\), alors le quadrilatère \(CC^{\prime}D^{\prime}D\) est un parallélogramme (éventuellement aplati ; ici les points ne sont pas alignés).
   \(CDD^{\prime}C^{\prime}\) est un parallélogramme.

Erreur fréquente : déplacer le triangle en partant du point \(B\) au lieu d’appliquer le même déplacement de 3 carreaux à droite et 1 en haut à chaque sommet.

Barème : a) 2 points : 0,5 par sommet bien placé, 0,5 pour le triangle tracé et nommé ; b) 1 point (0,5 si seulement deux vecteurs) ; c) 1 point : 0,5 pour l’égalité de vecteurs, 0,5 pour la conclusion.

Exercice 2 : Vecteurs dans un parallélogramme (4 points)

1. \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Ses diagonales se coupent en leur milieu \(O\), donc \(\vec{AO} = \vec{OC}\).
   \(\vec{AB} = \vec{DC}\) et \(\vec{AO} = \vec{OC}\).
2. Comme \(\vec{DC} = \vec{AB}\), le point \(C\) est l’image de \(D\) par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).
   L’image de \(O\) est le point \(X\) tel que \(\vec{OX} = \vec{CO}\). Or \(\vec{CO} = \vec{OA}\) car \(O\) est le milieu de \([AC]\), donc \(X = A\).
   L’image de \(D\) est \(C\) ; l’image de \(O\) est \(A\).
3. Règle du parallélogramme : \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\).
   \(O\) est le milieu de \([AC]\), donc \(\vec{OC} = -\vec{OA}\) et \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\).
   Relation de Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BO} = \vec{AO}\).
   \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) ; \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\) ; \(\vec{AB} + \vec{BO} = \vec{AO}\).
4. Par définition de \(E\), \(\vec{CE} = \vec{DC}\) : on a donc \(\vec{DC} = \vec{CE}\), ce qui signifie que \(C\) est le milieu de \([DE]\).
   De plus \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (question a), donc \(\vec{AB} = \vec{CE}\). Si \(\vec{AB} = \vec{CE}\), alors \(ABEC\) est un parallélogramme (les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés).
   \(C\) est le milieu de \([DE]\) et \(ABEC\) est un parallélogramme.

Erreur fréquente : écrire \(\vec{AB} = \vec{CD}\). Dans le parallélogramme \(ABCD\), les vecteurs égaux sont \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\) : ils ont le même sens.

Barème : a) 1 point (0,5 par vecteur) ; b) 1 point (0,5 par image, avec justification) ; c) 1 point (0,5 pour le premier résultat, 0,25 pour chacun des deux autres) ; d) 1 point : 0,5 pour le milieu, 0,5 pour le parallélogramme.

Exercice 3 : Simplifier avec la relation de Chasles (4 points)

1. \(\vec{u} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD}\).
   \(\vec{u} = \vec{AD}\).
2. \(\vec{v} = \vec{MA} + \vec{AN} + \vec{NP} = \vec{MN} + \vec{NP}\).
   \(\vec{v} = \vec{MP}\).
3. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé : \(-\vec{CB} = \vec{BC}\).
   \(\vec{w} = \vec{AB} + \vec{BC}\).
   \(\vec{w} = \vec{AC}\).
4. \(\vec{s} = \vec{DE} + \vec{EF} – \vec{DF} = \vec{DF} – \vec{DF}\).
   \(\vec{s} = \vec{0}\).
5. On réordonne les termes pour enchaîner les points :
   \(\vec{t} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA}\).
   \(\vec{t} = \vec{0}\).

Barème : a) et b) 0,5 point chacune ; c) 1 point : 0,5 pour \(-\vec{CB} = \vec{BC}\), 0,5 pour le résultat ; d) 1 point : 0,5 pour \(\vec{DF}\), 0,5 pour le vecteur nul ; e) 1 point : 0,5 pour la remise en ordre, 0,5 pour le résultat.

Exercice 4 : Constructions et produit par un réel (5 points)

Sur le quadrillage, \(\vec{AB}\) correspond à « 3 carreaux à droite, 1 en haut » et \(\vec{AC}\) à « 1 carreau à droite, 4 en haut ».

1. \(2\vec{AB}\) correspond à 6 carreaux à droite et 2 en haut : on place \(D\) à partir de \(A\) avec ce déplacement. Les vecteurs \(\vec{AD}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires et ont le point \(A\) en commun.
   Les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont alignés, et \(B\) est le milieu de \([AD]\).
2. \(\vec{AB} + \vec{AC}\) correspond à \(3 + 1 = 4\) carreaux à droite et \(1 + 4 = 5\) en haut.
   On place \(G\) à 4 carreaux à droite et 5 carreaux au-dessus de \(A\) (voir la figure).
3. \(\vec{AC}\) : 1 à droite, 4 en haut. \(-2\vec{AB}\) : 6 à gauche, 2 en bas. Au total : \(1 – 6 = -5\), soit 5 carreaux à gauche, et \(4 – 2 = 2\) carreaux en haut.
   On place \(H\) à 5 carreaux à gauche et 2 carreaux au-dessus de \(B\).
4. D’après la relation de Chasles, \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG}\). Or \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AC}\), donc \(\vec{AB} + \vec{BG} = \vec{AB} + \vec{AC}\), d’où \(\vec{BG} = \vec{AC}\).
   Si \(\vec{AC} = \vec{BG}\), alors \(ACGB\) est un parallélogramme.
   \(ABGC\) est un parallélogramme (c’est la règle du parallélogramme).

Erreur fréquente : à la question c), partir de \(A\) au lieu de \(B\). L’origine du vecteur \(\vec{BH}\) est \(B\).

Barème : a) 1 point : 0,5 pour \(D\), 0,5 pour l’alignement ; b) 1,5 point : 0,5 pour la somme des déplacements, 1 pour \(G\) ; c) 1,5 point : 0,5 pour le déplacement de \(-2\vec{AB}\), 0,5 pour le total, 0,5 pour \(H\) ; d) 1 point : 0,5 pour la preuve, 0,5 pour la conclusion.

Exercice 5 : Médiane et somme de vecteurs (3 points)

1. D’après la relation de Chasles :
   \(\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{IB}\) et \(\vec{AC} = \vec{AI} + \vec{IC}\).
   Donc \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI} + \vec{IB} + \vec{IC}\).
   \(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(\vec{IC} = -\vec{IB}\) et \(\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}\).
   Donc \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}\).
2. D’après a), \(\vec{AM} = 2\vec{AI}\). Par la relation de Chasles, \(\vec{AM} = \vec{AI} + \vec{IM}\), donc \(\vec{AI} + \vec{IM} = 2\vec{AI}\), soit \(\vec{IM} = \vec{AI}\) : \(I\) est le milieu de \([AM]\).
   Les diagonales \([AM]\) et \([BC]\) du quadrilatère \(ABMC\) ont le même milieu \(I\).
   \(I\) est le milieu de \([AM]\) et \(ABMC\) est un parallélogramme.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les deux décompositions, 0,5 pour \(\vec{IB} + \vec{IC} = \vec{0}\) justifié, 0,5 pour la conclusion ; b) 1,5 point : 0,75 pour le milieu, 0,75 pour la nature du quadrilatère justifiée par les diagonales.

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