Corrigé du contrôle de maths 3ème : réciproque de Thalès et parallélisme

Exercice 1 : Des droites parallèles (4 points)

1. \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4\)
   \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\)
   Les deux quotients sont égaux à \(0{,}4\).
2. Les points \(A\), \(M\), \(B\) et les points \(A\), \(N\), \(C\) sont alignés dans le même ordre, et \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\).
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
3. Maintenant que \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(0{,}4 = \dfrac{MN}{8}\).
   \(MN = 0{,}4 \times 8 = 3{,}2\).
   \(MN = 3{,}2\text{ cm}\).

Erreur fréquente : utiliser \(\frac{MN}{BC}\) pour prouver le parallélisme. On ne peut pas : la longueur \(MN\) ne se calcule qu’une fois le parallélisme démontré. La réciproque n’utilise que les longueurs sur les deux côtés issus de \(A\).

Barème : a) 2 points (1 point par quotient) ; b) 1 point : 0,5 point pour l’alignement dans le même ordre, 0,5 point pour la propriété citée et la conclusion ; c) 1 point : 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 2 : Parallèles ou pas (4 points)

1. On compare \(\dfrac{5}{7}\) et \(\dfrac{6}{8{,}5}\) avec les produits en croix :
   \(5 \times 8{,}5 = 42{,}5\) et \(7 \times 6 = 42\).
   Comme \(42{,}5 \neq 42\), les quotients \(\dfrac{OR}{OT}\) et \(\dfrac{OS}{OU}\) ne sont pas égaux.
   (Valeurs approchées : \(\frac{5}{7} \approx 0{,}714\) et \(\frac{6}{8{,}5} \approx 0{,}706\).)
2. Les points \(R\), \(O\), \(T\) et \(S\), \(O\), \(U\) sont alignés, mais \(\dfrac{OR}{OT} \neq \dfrac{OS}{OU}\).
   Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité de ces quotients. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((RS)\) et \((TU)\) ne sont pas parallèles.
3. Il faudrait \(\dfrac{5}{7} = \dfrac{6}{OU}\), donc \(OU = \dfrac{7 \times 6}{5} = \dfrac{42}{5} = 8{,}4\).
   Il faudrait \(OU = 8{,}4\text{ cm}\).

Erreur fréquente : arrondir trop tôt. Avec des arrondis au dixième, on obtient \(0{,}7\) et \(0{,}7\) et on conclut à tort que les droites sont parallèles : il faut comparer les valeurs exactes.

Barème : a) 2 points : 1 point pour les calculs, 1 point pour la comparaison exacte ; b) 1 point : 0,5 point pour la propriété (contraposée), 0,5 point pour la conclusion ; c) 1 point.

Exercice 3 : Deux triangles à tester (4 points)

1. Le plus grand côté est \([KM]\).
   D’une part : \(KM^2 = 6^2 = 36\).
   D’autre part : \(KL^2 + LM^2 = 3{,}6^2 + 4{,}8^2 = 12{,}96 + 23{,}04 = 36\).
   On constate que \(KM^2 = KL^2 + LM^2\).
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\).
2. Le plus grand côté est \([PR]\).
   D’une part : \(PR^2 = 8{,}6^2 = 73{,}96\).
   D’autre part : \(PQ^2 + QR^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\).
   On constate que \(PR^2 \neq PQ^2 + QR^2\).
   D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(PQR\) n’est pas rectangle.

Barème : a) 2 points : 0,5 point pour le choix du plus grand côté, 1 point pour les deux calculs, 0,5 point pour la conclusion avec le sommet \(L\) ; b) 2 points : 1 point pour les deux calculs, 1 point pour la conclusion justifiée par la contraposée.

Exercice 4 : L’étagère (4 points)

1. Dans le triangle \(ABC\), le plus grand côté est \([BC]\).
   \(BC^2 = 50^2 = 2\,500\)
   \(AB^2 + AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1\,600 = 2\,500\)
   Donc \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
   Les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires : l’étagère est perpendiculaire au mur.
2. \(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{16}{40} = 0{,}4\) et \(\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{20}{50} = 0{,}4\).
   Les points \(C\), \(D\), \(A\) et \(C\), \(E\), \(B\) sont alignés dans le même ordre et \(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB}\).
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((DE)\) et \((AB)\) sont parallèles.
3. Les droites \((DE)\) et \((AB)\) sont parallèles et \((AB)\) est perpendiculaire au mur \((AC)\).
   Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
   Le renfort \((DE)\) est donc perpendiculaire au mur.

Barème : a) 2 points : 1 point pour les calculs, 0,5 point pour la réciproque de Pythagore, 0,5 point pour la conclusion sur l’étagère ; b) 1,5 point : 0,5 point pour les deux quotients, 0,5 point pour l’ordre des points, 0,5 point pour la réciproque et la conclusion ; c) 0,5 point pour la propriété citée.

Exercice 5 : La charpente (4 points)

1. \(H\) est le milieu de \([AB]\), donc \(AH = 8 : 2 = 4\text{ m}\).
   Le triangle \(SHA\) est rectangle en \(H\), donc d’après le théorème de Pythagore :
   \(SA^2 = SH^2 + AH^2\), soit \(25 = SH^2 + 16\).
   \(SH^2 = 25 – 16 = 9\), donc \(SH = \sqrt{9} = 3\).
   La charpente mesure 3 m de haut.
2. \(\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
   Les points \(S\), \(M\), \(A\) et \(S\), \(N\), \(B\) sont alignés dans le même ordre et \(\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}\).
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((MN)\) et \((AB)\) sont parallèles : la poutre est horizontale, comme \([AB]\).
3. Les droites \((MN)\) et \((AB)\) étant parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{MN}{AB}\), soit \(0{,}4 = \dfrac{MN}{8}\).
   \(MN = 0{,}4 \times 8 = 3{,}2\).
   La poutre mesure \(3{,}2\text{ m}\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour \(AH = 4\text{ m}\), 0,5 point pour l’égalité de Pythagore, 0,5 point pour le résultat ; b) 1,5 point : 0,5 point pour les quotients, 0,5 point pour l’ordre des points, 0,5 point pour la propriété et la conclusion ; c) 1 point : 0,5 point pour l’égalité de Thalès, 0,5 point pour le résultat.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : réciproque de Thalès et parallélisme

Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Théorème de Thalès » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés théorème de thalès.

Retrouve tous les contrôles de maths en 3ème classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 3ème sur ce thème

• Contrôle de maths 3ème : théorème de Thalès et calculs de longueurs
• Contrôle de maths 3ème : théorème de Thalès et trigonométrie

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 3ePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 3e à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗