Corrigé du contrôle de maths 6ème : nombres décimaux et fractions

Exercice 1 : Rangs et écritures des décimaux (4 points)

1. Dans \(3\,407{,}258\) : 3 est le chiffre des milliers, 4 celui des centaines, 0 celui des dizaines, 7 celui des unités, 2 celui des dixièmes, 5 celui des centièmes et 8 celui des millièmes.
   Le chiffre des dixièmes est 2 et le chiffre des centaines est 4.
2. Le nombre de dizaines se lit en s’arrêtant au chiffre des dizaines : \(3\,407{,}258\) contient 340 dizaines (\(340 \times 10 = 3\,400\)).
   Le nombre de dizaines est 340.
3. \(0{,}27\) se lit « 27 centièmes » et \(4{,}3\) se lit « 43 dixièmes ».
   \(0{,}27 = \frac{27}{100}\) et \(4{,}3 = \frac{43}{10}\).
4. \(\frac{3}{10} = 0{,}3\) et \(\frac{7}{1\,000} = 0{,}007\). Il n’y a pas de centièmes, on écrit donc un 0 à ce rang.
   \(5 + 0{,}3 + 0{,}007 = 5{,}307\).
   Le nombre est \(5{,}307\).

Erreur fréquente : confondre « chiffre des dizaines » (ici 0) et « nombre de dizaines » (ici 340).

Barème : a) 1 point : 0,5 par chiffre ; b) 1 point ; c) 1 point : 0,5 par fraction ; d) 1 point : 0,5 pour les conversions en décimaux, 0,5 pour le résultat \(5{,}307\).

Exercice 2 : Comparer et arrondir (4 points)

1. On écrit tous les nombres avec trois décimales : \(4{,}500\) ; \(4{,}050\) ; \(4{,}550\) ; \(4{,}505\) ; \(4{,}100\). Ils ont tous 4 unités, on compare donc les parties décimales : 50, 100, 500, 505, 550 millièmes.
   \(4{,}05 < 4{,}1 < 4{,}5 < 4{,}505 < 4{,}55\).
2. À l’unité : \(17{,}368\) est entre 17 et 18 ; le chiffre des dixièmes est 3, inférieur à 5, donc on arrondit à 17.
   Au dixième : \(17{,}368\) est entre \(17{,}3\) et \(17{,}4\) ; le chiffre des centièmes est 6, supérieur ou égal à 5, donc on arrondit à \(17{,}4\).
   Au centième : \(17{,}368\) est entre \(17{,}36\) et \(17{,}37\) ; le chiffre des millièmes est 8, donc on arrondit à \(17{,}37\).
   Arrondis : 17 à l’unité, \(17{,}4\) au dixième, \(17{,}37\) au centième.
3. \(2{,}7 = 2{,}70\) et \(2{,}8 = 2{,}80\) ; tout nombre comme \(2{,}71\), \(2{,}75\) ou \(2{,}79\) convient.
   Par exemple \(2{,}7 < 2{,}75 < 2{,}8\).

Erreur fréquente : penser que \(4{,}505\) est plus grand que \(4{,}55\) parce qu’il a plus de chiffres.

Barème : a) 1,5 point : 1 point si un seul nombre est mal placé, 0 au-delà ; b) 1,5 point : 0,5 par arrondi ; c) 1 point pour tout nombre correct.

Exercice 3 : Fractions égales et comparaison (4 points)

1. \(20 = 5 \times 4\), donc on multiplie aussi le numérateur par 4 : \(3 \times 4 = 12\).
   \(14 = 7 \times 2\) et \(21 = 7 \times 3\), donc on divise le numérateur et le dénominateur par 7.
   \(\frac{3}{5} = \frac{12}{20}\) et \(\frac{14}{21} = \frac{2}{3}\).
2. Le numérateur 7 est plus petit que le dénominateur 9.
   \(\frac{7}{9} < 1\).
3. \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}\). Les deux fractions ont alors le même dénominateur et \(5 < 6\).
   \(\frac{5}{8} < \frac{3}{4}\).
4. On écrit toutes les fractions avec le dénominateur 12 :
   \(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}\) et \(\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}\).
   Comme \(7 < 8 < 10\) :
   \(\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}\).

Barème : a) 1 point : 0,5 par égalité ; b) 0,5 point avec la justification ; c) 1 point : 0,5 pour la fraction égale \(\frac{6}{8}\), 0,5 pour la conclusion ; d) 1,5 point : 1 point pour les deux fractions de dénominateur 12, 0,5 pour le rangement.

Exercice 4 : Fractions et décimaux mêlés (4 points)

1. \(\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75\) (ou \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100}\)).
   \(\frac{7}{2} = 7 : 2 = 3{,}5\).
   \(\frac{3}{4} = 0{,}75\) et \(\frac{7}{2} = 3{,}5\).
2. \(\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0{,}6\).
   Maëlle a raison : \(0{,}6\) et \(\frac{3}{5}\) désignent le même nombre.
3. On écrit tout en écriture décimale : \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) et \(\frac{3}{4} = 0{,}75\).
   \(0{,}45 < 0{,}5 < 0{,}7 < 0{,}75\), donc :
   \(0{,}45 < \frac{1}{2} < 0{,}7 < \frac{3}{4}\).
   On le voit sur une droite graduée en centièmes :

   

4. \(\frac{16}{4} = 4\) et \(\frac{20}{4} = 5\). Comme \(16 < 17 < 20\), on a \(4 < \frac{17}{4} < 5\). D’ailleurs \(\frac{17}{4} = 4{,}25\).
   \(\frac{17}{4}\) est compris entre 4 et 5.

Erreur fréquente : croire que \(0{,}7 < \frac{1}{2}\) en comparant 7 et 2. Il faut d’abord écrire les nombres de la même façon.

Barème : a) 1 point : 0,5 par écriture décimale ; b) 1 point : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conclusion ; c) 1 point : 0,5 pour les conversions, 0,5 pour le rangement ; d) 1 point : 0,5 pour 4 et 5, 0,5 pour la justification.

Exercice 5 : La sortie de la 6e B (4 points)

1. \(\frac{3}{7}\) de 28 : \(28 : 7 = 4\), puis \(4 \times 3 = 12\).
   12 élèves viennent à vélo.
2. \(\frac{1}{4}\) de 28 : \(28 : 4 = 7\).
   À pied : \(28 – 12 – 7 = 9\).
   7 élèves prennent le bus et 9 élèves viennent à pied.
3. \(\frac{3}{4}\) de \(60\) : \(60 : 4 = 15\), puis \(15 \times 3 = 45\).
   La classe consacre \(45\) € aux pizzas.
4. On cherche combien de fois \(7{,}50\) € est contenu dans \(45\) €.
   \(2 \times 7{,}50 = 15\), donc \(6 \times 7{,}50 = 3 \times 15 = 45\).
   La classe peut acheter 6 pizzas.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour la méthode, 0,5 pour le résultat ; b) 1 point : 0,5 pour le bus, 0,5 pour les élèves à pied ; c) 1 point : 0,5 pour la méthode, 0,5 pour 45 € ; d) 1 point (accepté si une somme fausse de c) est correctement exploitée).

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Après le corrigé du contrôle : nombres décimaux et fractions

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