Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Situation 1
On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles : \(390 = 2 \times 195\), puis \(195 = 3 \times 65\), puis \(65 = 5 \times 13\), et 13 est premier. Donc \(390 = 2 \times 3 \times 5 \times 13\).
Situation 2
Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est [BC] et, pour l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté adjacent est [AB]. On utilise donc le cosinus :
\[\cos\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5\]
La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{ABC} = 60^\circ\).
Situation 3
Les 12 jetons ont la même probabilité d’être tirés (situation d’équiprobabilité). Les issues favorables sont les jetons 1, 2, 3, 4 et 5, soit 5 jetons. La probabilité cherchée vaut donc \(\dfrac{5}{12}\).
Situation 4
1. Dans le tableau de valeurs, sous \(x = 2\) on lit \(f(2) = -3\) : l’image de 2 est \(-3\).
2. Sur le graphique, on part de l’abscisse \(-1\) sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la droite puis on lit l’ordonnée : l’image de \(-1\) est \(3\).
3. Une fonction linéaire vérifie toujours \(f(0) = 0\) : sa représentation graphique passe par l’origine du repère. Ici \(f(0) = 1\), donc \(f\) n’est pas une fonction linéaire. (Comme sa représentation est une droite, c’est une fonction affine : \(f(x) = -2x + 1\).)
Situation 5
1. On remplace \(x\) par 2 dans chaque membre, séparément.
Membre de gauche : \((2 \times 2 – 3)(4 \times 2 + 5) = 1 \times 13 = 13\).
Membre de droite : \(8 \times 2^2 – 2 \times 2 – 15 = 32 – 4 – 15 = 13\).
Les deux membres valent 13 : l’égalité est vraie pour \(x = 2\).
2. On développe le membre de gauche avec la double distributivité :
\[(2x – 3)(4x + 5) = 8x^2 + 10x – 12x – 15 = 8x^2 – 2x – 15\]
On retrouve exactement le membre de droite, quel que soit \(x\) : l’égalité est vraie pour toute valeur de \(x\).
Exercice 2 :
Partie 1
1. La liste contient 9 durées : il y a 9 élèves dans ce groupe.
2. On additionne les 9 durées puis on divise par 9 :
\[\dfrac{135 + 82 + 104 + 200 + 102 + 17 + 143 + 118 + 62}{9} = \dfrac{963}{9} = 107\]
Le temps moyen passé sur les réseaux sociaux est de 107 minutes par jour (soit 1 h 47 min).
3. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(200 – 17 = 183\). L’étendue est de 183 minutes.
4. 1 h 30 min = 90 min. Les durées supérieures ou égales à 90 min sont 135, 104, 200, 102, 143 et 118 : il y en a 6 sur 9. Or \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\), soit environ 66,7 %, ce qui dépasse 50 %. L’affirmation est vraie.
Partie 2
1. La part des élèves ayant répondu est \(\dfrac{400}{640} = 0{,}625\), soit 62,5 %. Comme \(62{,}5\ \% \gt 60\ \%\), plus de 60 % des élèves du collège ont répondu.
2. La cellule F2 doit additionner les nombres de réponses des cellules B2 à E2. On peut saisir =SOMME(B2:E2) (ou =B2+C2+D2+E2), qui devient automatiquement =SOMME(B3:E3), etc. quand on la recopie vers le bas.
3. On additionne la colonne B (« Moins d’une heure ») : \(30 + 12 + 1 + 7 = 50\). 50 élèves ayant répondu passent moins de 1 h par jour sur les réseaux sociaux.
4. « Moins de 1 h 30 min » regroupe les colonnes B et C : \(50 + 101 = 151\) élèves. Le pourcentage correspondant est :
\[\dfrac{151}{400} \times 100 = 37{,}75\]
Environ 37,75 % des élèves ayant répondu passent moins de 1 h 30 min par jour sur les réseaux sociaux.
Exercice 3 :
1. Pour tracer un triangle, on trace 3 côtés, donc on répète 3 fois. Après chaque côté, le lutin doit tourner de l’angle extérieur du triangle : les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°, donc il faut tourner de \(180 – 60 = 120\) degrés (au total, le lutin fait un tour complet : \(3 \times 120 = 360\)). Le bloc complété est :
définir triangle
stylo en position d'écriture
répéter 3 fois
avancer de côté pas
tourner ↺ de 120 degrés
2. À la fin du bloc « triangle », le lutin est revenu à son point de départ, avec la même orientation qu’au début.
- Dans le programme A, entre deux triangles, le lutin tourne de 90° sur place : les quatre triangles ont le même sommet et sont tournés d’un quart de tour les uns par rapport aux autres. C’est le dessin 2.
- Dans le programme B, entre deux triangles, le lutin avance de la longueur d’un côté : chaque nouveau triangle commence au sommet où se termine la base du précédent. Les triangles se touchent donc par un sommet : c’est le dessin 3.
Le dessin 1 (triangles séparés par un espace) ne correspond à aucun des deux programmes.
3. Le lutin est orienté vers la droite et la variable côté vaut d’abord 20 pas. À chaque passage dans la boucle, il trace un triangle équilatéral à partir du même point de départ, puis la longueur du côté double. Les côtés successifs mesurent donc 20, 40, 80 et 160 pas, soit, avec 1 cm pour 10 pas, 2 cm, 4 cm, 8 cm et 16 cm.
Construction : on marque un point de départ O. Chaque triangle a pour base un segment horizontal partant de O vers la droite ; comme le lutin tourne vers la gauche, le troisième sommet est au-dessus de cette base. On obtient quatre triangles équilatéraux emboîtés ayant le sommet O en commun, leurs bases posées sur la même demi-droite horizontale issue de O et leurs côtés gauches sur une même demi-droite qui fait un angle de 60° avec l’horizontale. Les côtés mesurent 2 cm, 4 cm, 8 cm et 16 cm : chaque triangle est un agrandissement de coefficient 2 du précédent.
Exercice 4 :
1. On sait que (AD) \(\perp\) (AB) et que (BC) \(\perp\) (AB). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles. Donc (AD) et (BC) sont parallèles.
2. Les points A, E, C sont alignés, ainsi que les points D, E, B, et les droites (AD) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») dans les triangles EAD et ECB :
\[\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{ED}{EB} = \dfrac{AD}{CB}\]
Avec les longueurs connues : \(\dfrac{9{,}6}{5{,}4} = \dfrac{AD}{9}\), donc \(AD = \dfrac{9 \times 9{,}6}{5{,}4} = \dfrac{86{,}4}{5{,}4} = 16\). Ainsi AD = 16 cm.
3. Les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires en E, donc le triangle BEC est rectangle en E, d’hypoténuse [BC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[BC^2 = BE^2 + EC^2 \quad \text{donc} \quad BE^2 = 9^2 – 5{,}4^2 = 81 – 29{,}16 = 51{,}84\]
Comme BE est une longueur positive, \(BE = \sqrt{51{,}84} = 7{,}2\). On a bien BE = 7,2 cm.
4. Aire du triangle ABE. Il est rectangle en E, avec des côtés de l’angle droit AE et BE :
\[\mathcal{A}_{ABE} = \dfrac{AE \times BE}{2} = \dfrac{9{,}6 \times 7{,}2}{2} = 34{,}56\ \text{cm}^2\]
Aire du triangle ABD. Il est rectangle en A ; il faut d’abord la longueur AB. Dans le triangle ABE rectangle en E, le théorème de Pythagore donne \(AB^2 = AE^2 + BE^2 = 92{,}16 + 51{,}84 = 144\), donc \(AB = 12\) cm. Alors :
\[\mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{AB \times AD}{2} = \dfrac{12 \times 16}{2} = 96\ \text{cm}^2\]
Le tiers de l’aire de ABD vaut \(\dfrac{96}{3} = 32\ \text{cm}^2\), et \(34{,}56 \neq 32\). (En proportion : \(\dfrac{34{,}56}{96} = 0{,}36\), alors qu’un tiers vaut environ 0,333.) Ce n’est pas vrai : l’aire de ABE ne représente pas le tiers de l’aire de ABD, elle en représente 36 %.
Exercice 5 :
Partie 1 : Étude des glaçons
1. Sur la photo, un moule comporte 4 rangées de 5 alvéoles, soit \(4 \times 5 = 20\) glaçons. Avec 12 moules : \(12 \times 20 = 240\). On peut faire 240 glaçons en même temps.
2. Le volume d’un pavé droit est longueur \(\times \) largeur \(\times \) hauteur : \(5 \times 2{,}5 \times 1{,}5 = 18{,}75\ \text{cm}^3\). Comme \(1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}\), un glaçon a un volume de 18,75 mL, soit environ 19 mL.
3. Pour remplir les 12 moules, il faut \(240 \times 18{,}75 = 4\,500\ \text{mL}\), c’est-à-dire 4,5 L. Comme \(4{,}5 \lt 5\), 5 litres d’eau suffisent (il en reste même 0,5 L).
Partie 2 : Le service
4. Le verre est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon 2,5 cm, et de hauteur 15 cm :
\[V = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = 93{,}75\pi \approx 294{,}5\ \text{cm}^3\]
Le verre a donc un volume total d’environ 294,5 mL, soit environ 295 mL.
5. a. 30 L = 3 000 cL. On cherche combien de fois 25 cL « rentrent » dans 3 000 cL : \(\dfrac{3\,000}{25} = 120\). On peut remplir 120 verres.
b. 25 cL = 250 mL = 250 cm³. Le liquide forme un cylindre de rayon 2,5 cm et de hauteur \(h\), donc \(\pi \times 2{,}5^2 \times h = 250\), soit \(6{,}25\pi \times h = 250\). D’où :
\[h = \dfrac{250}{6{,}25\pi} = \dfrac{40}{\pi} \approx 12{,}73\]
Le liquide arrive à une hauteur d’environ 12,7 cm (c’est la hauteur du repère).
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