Probabilités : corrigé des exercices de maths en 2de à télécharger en PDF

Corrigé des exercices

Exercice 1 (probabilités en seconde)

Pour chaque lancer, l’univers des issues est \(\{PP\,;\,PF\,;\,FP\,;\,FF\}\) : ces quatre issues sont équiprobables, de probabilité \(\dfrac{1}{4}\) chacune.

1. a. On note dans un tableau, pour chacun des 50 lancers, la lettre de l’événement réalisé (A, B ou C). Par exemple, une simulation a donné : A réalisé 15 fois, B réalisé 14 fois et C réalisé 21 fois.
   b. La fréquence d’un événement est égale à \(\dfrac{\text{nombre de fois où il est réalisé}}{\text{nombre total de lancers}}\). Avec l’exemple : \(f_A=\dfrac{15}{50}=0{,}30\), \(f_B=\dfrac{14}{50}=0{,}28\) et \(f_C=\dfrac{21}{50}=0{,}42\). On vérifie que \(f_A+f_B+f_C=1\).
2. Une deuxième série de 50 lancers a donné, par exemple, A : 14 fois, B : 13 fois, C : 23 fois, soit \(f_A=0{,}28\), \(f_B=0{,}26\) et \(f_C=0{,}46\).

Les fréquences changent d’une série à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Puis elles restent cependant proches des probabilités \(P(A)=\dfrac{1}{4}\), \(P(B)=\dfrac{1}{4}\) et \(P(C)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\), car C correspond à deux issues (PF et FP). C est donc environ deux fois plus fréquent que A ou B.

Exercice 2 :

On numérote les élèves du lycée de 1 à 832 (par exemple dans l’ordre alphabétique de la liste).

• Avec la calculatrice, on utilise la fonction qui donne un entier aléatoire entre 1 et 832 (randInt(1,832) ou Ent(832×Ran#)+1).
• On répète l’opération et on note les numéros obtenus ; si un numéro sort une deuxième fois, on l’ignore et on recommence.
• On s’arrête dès que l’on a 20 numéros tous différents : ce sont les élèves tirés au sort.

En Python, l’instruction random.sample(range(1, 833), 20) donne directement 20 numéros distincts. Chaque élève a ainsi la même chance d’être choisi.

Exercice 3 (probabilités en seconde)

1. On suppose qu’à chaque naissance, il y a autant de chances d’avoir une fille qu’un garçon. On lance une pièce équilibrée (ou on tire un entier aléatoire 0 ou 1) : Pile = fille, Face = garçon. On recommence tant que les deux sexes ne sont pas représentés, c’est-à-dire jusqu’à obtenir un résultat différent du premier. Le nombre de lancers effectués est le nombre d’enfants de la famille.
2. a. Exemple de résultats obtenus pour 100 simulations :
   

   Nombre d’enfants	2	3	4	5	6	7	10
   Nombre de familles	51	31	3	3	7	4	1

   b. Le nombre moyen d’enfants est :
   \[\dfrac{2\times 51+3\times 31+4\times 3+5\times 3+6\times 7+7\times 4+10\times 1}{100}=\dfrac{302}{100}=3{,}02\]
   On obtient en moyenne environ 3 enfants par famille. Les résultats varient d’une série de simulations à l’autre, mais sur un très grand nombre de simulations la moyenne se stabilise autour de 3.

Exercice 4 :

a. Ensuite, on simule un lancer de dé avec la calculatrice (randInt(1,6)) ou avec Python (random.randint(1,6)). Puis on répète les lancers en cochant les chiffres déjà obtenus, et on compte le nombre de lancers nécessaires pour que les six chiffres soient cochés.

Exemple de 10 simulations : 11 ; 9 ; 8 ; 21 ; 17 ; 14 ; 12 ; 9 ; 14 ; 14 lancers.

b. Sur cet échantillon, la moyenne vaut \(\dfrac{11+9+8+21+17+14+12+9+14+14}{10}=\dfrac{129}{10}=12{,}9\) lancers.

Dix simulations, c’est peu : la moyenne fluctue beaucoup. De plus, en regroupant les simulations de toute la classe (plusieurs centaines), la moyenne se stabilise autour de 14,7. Il faut en moyenne environ 15 lancers pour obtenir les six chiffres.

Exercice 5 (probabilités en seconde)

On choisit un chiffre au hasard : toutes les positions sont équiprobables, donc la probabilité d’obtenir un chiffre donné est \(\dfrac{\text{nombre d’apparitions de ce chiffre}}{\text{nombre de chiffres considérés}}\). Ensuite, on compte les apparitions (le 3 de la partie entière est compté comme premier chiffre).

1. Parmi les 30 premiers chiffres (3141592653 5897932384 6264338327), il y a 0 fois le 0, 2 fois le 1, 4 fois le 2 et 7 fois le 3.
   • a. \(P(0)=\dfrac{0}{30}=0\) : événement impossible.
   • b. \(P(1)=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}\).
   • c. \(P(2)=\dfrac{4}{30}=\dfrac{2}{15}\).
   • d. \(P(3)=\dfrac{7}{30}\).
2. a. Parmi les 50 premiers chiffres, on compte 1 fois le 0, 5 fois le 1, 5 fois le 2 et 9 fois le 3 :
   \(P(0)=\dfrac{1}{50}=0{,}02\) ; \(P(1)=\dfrac{5}{50}=0{,}1\) ; \(P(2)=\dfrac{5}{50}=0{,}1\) ; \(P(3)=\dfrac{9}{50}=0{,}18\).
   b. Parmi les 100 chiffres, on compte 8 fois le 0, 8 fois le 1, 12 fois le 2 et 12 fois le 3 :
   \(P(0)=\dfrac{8}{100}=0{,}08\) ; \(P(1)=0{,}08\) ; \(P(2)=\dfrac{12}{100}=0{,}12\) ; \(P(3)=0{,}12\).
   Plus on prend de chiffres, plus ces probabilités se rapprochent de \(0{,}1\), ce qui correspondrait à une répartition équilibrée des dix chiffres.

Exercice 6 :

La roue compte \(9+6+3+2+4=24\) secteurs identiques : on est en situation d’équiprobabilité, chaque secteur a une probabilité de \(\dfrac{1}{24}\).

1. Quatre secteurs ne font rien gagner : \(P(\text{rien})=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}\). La probabilité de ne rien gagner est \(\dfrac{1}{6}\).
2. Gagner au moins 50 € signifie gagner 50 € ou 100 € : cela correspond à \(3+2=5\) secteurs. La probabilité de gagner au moins 50 € est \(\dfrac{5}{24}\).

Exercice 7 (probabilités en seconde)

• a. L’univers est l’ensemble des issues possibles : \(\Omega=\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\).
• b. Le dé est équilibré : aucune face n’est favorisée, donc les six issues ont la même probabilité. On est en situation d’équiprobabilité.
• c. Chaque face a une probabilité de \(\dfrac{1}{6}\).
• d. Les nombres pairs sont 2, 4 et 6, donc \(P(\text{pair})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\). Les nombres impairs sont 1, 3 et 5, donc \(P(\text{impair})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\). Oui, les deux probabilités sont égales.

Huitième exercice (corrigé) : probabilités en seconde

1. L’univers est \(\Omega=\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,\ldots\,;\,20\}\), il contient 20 issues.
2. Le dé est équilibré : les 20 faces ont la même chance d’apparaître, chacune avec la probabilité \(\dfrac{1}{20}\).
3. a. Il y a 10 nombres impairs entre 1 et 20 (1, 3, …, 19) : \(P=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\).
   b. Les multiples de 3 sont 3, 6, 9, 12, 15, 18, soit 6 nombres : \(P=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\).
   c. Les nombres divisibles par 5 sont 5, 10, 15, 20, soit 4 nombres : \(P=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\).
   d. Le seul multiple de 15 est 15 : \(P=\dfrac{1}{20}\).
4. On note T « obtenir un multiple de 3 » et C « obtenir un multiple de 5 ». Un nombre multiple de 3 et de 5 est un multiple de 15, donc \(P(T\cap C)=\dfrac{1}{20}\). D’où :
   \[P(T\cup C)=P(T)+P(C)-P(T\cap C)=\dfrac{6}{20}+\dfrac{4}{20}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{9}{20}\]
   On retrouve les 9 nombres 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20. \(P(T\cup C)=\dfrac{9}{20}=0{,}45\).

Exercice 9 (probabilités en seconde)

a. Par ailleurs, on note I l’événement « la pièce est italienne » et \(\overline{P}\) l’événement « obtenir Face ». Puis l’arbre comporte d’abord trois branches (F, A, I), de probabilité \(\dfrac{1}{3}\) chacune, puis, au bout de chacune, deux branches (P et \(\overline{P}\)) de probabilité \(\dfrac{1}{2}\) chacune (pièces équilibrées).

Il y a 6 issues équiprobables, chacune de probabilité \(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}\).

b. Ensuite, on choisit une pièce au hasard parmi trois : \(P(F)=\dfrac{1}{3}\).

c. Obtenir Pile sur la pièce allemande, c’est l’événement \(A\cap P\) : une seule issue (A ; Pile), donc \(P(A\cap P)=\dfrac{1}{6}\).

d. \(F\cap\overline{A}\) : « la pièce est française et elle n’est pas allemande ». Puis une pièce française n’est jamais allemande, donc cet événement est tout simplement « la pièce est française ». De plus, il contient les issues (F ; Pile) et (F ; Face) : \(P(F\cap\overline{A})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).

Exercice 10 :

Le jeu compte \(13+1+4+1+1+1+1+1+1=24\) cartes. Ensuite, la carte est tirée au hasard : chaque carte a la probabilité \(\dfrac{1}{24}\) d’être tirée.

• a. Il y a 4 cartes Loup-Garou : \(P(L)=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}\).
• b. Il y a 13 cartes Villageois : \(P(V)=\dfrac{13}{24}\).
• c. Les événements L et V sont incompatibles, donc \(P(L\cup V)=\dfrac{4}{24}+\dfrac{13}{24}=\dfrac{17}{24}\). L’événement « ni Loup-Garou, ni Villageois » est son contraire : \(P=1-\dfrac{17}{24}=\dfrac{7}{24}\). On retrouve les 7 autres cartes (chasseur, cupidon, sorcière, voyante, petite fille, capitaine, voleur).

Exercice 11 :

Les douze secteurs sont égaux : chacun a une probabilité de \(\dfrac{1}{12}\).

• a. Il y a un seul secteur orange : \(P(O)=\dfrac{1}{12}\).
• b. Sur la roue, on compte 4 secteurs bleus (bleu foncé, bleu, bleu clair et bleu marine) : \(P(B)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\).
• c. « Ne pas obtenir un secteur bleu » est l’événement contraire de B : \(P(\overline{B})=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\), ce qui correspond aux 8 autres secteurs.

Exercice 12 :

On choisit au hasard une personne parmi les 64 300 821 habitants de France métropolitaine : chaque habitant a la même probabilité d’être choisi, donc la probabilité d’un événement est le nombre d’habitants concernés divisé par 64 300 821.

• a. \(P(\text{ARA})=\dfrac{7\,877\,698}{64\,300\,821}\approx 0{,}122\,513\), soit \(P(\text{ARA})\approx 0{,}1225\).
• b. \(P(\text{IDF})=\dfrac{12\,082\,144}{64\,300\,821}\approx 0{,}187\,900\), soit \(P(\text{IDF})\approx 0{,}1879\).
• c. Une personne ne peut pas habiter dans les deux régions à la fois : les événements sont incompatibles, on additionne les effectifs. \(5\,007\,977+3\,293\,850=8\,301\,827\), donc \(P=\dfrac{8\,301\,827}{64\,300\,821}\approx 0{,}129\,109\), soit \(P\approx 0{,}1291\).

Exercice 13 :

1. Il y a 4 006 634 entreprises, toutes ont la même chance d’être choisies.
   a. \(P(\text{ETI})=\dfrac{5\,776}{4\,006\,634}\approx 0{,}001\,44\), soit \(P(\text{ETI})\approx 0{,}0014\).
   b. C’est l’événement contraire de « être une grande entreprise » : \(P(\overline{\text{GE}})=1-\dfrac{292}{4\,006\,634}=\dfrac{4\,006\,342}{4\,006\,634}\approx 0{,}999\,93\), soit \(P(\overline{\text{GE}})\approx 0{,}9999\).
2. Il y a 13 404 milliers de salariés, tous ont la même chance d’être choisis.
   a. \(P(\text{GE})=\dfrac{3\,890}{13\,404}\approx 0{,}290\,21\), soit \(P\approx 0{,}2902\).
   b. Un salarié travaille dans une seule entreprise : les événements sont incompatibles. \(P(\text{PME}\cup\text{MIC})=\dfrac{3\,687+2\,504}{13\,404}=\dfrac{6\,191}{13\,404}\approx 0{,}461\,88\), soit \(P\approx 0{,}4619\).

On remarque que très peu d’entreprises sont grandes, mais qu’elles emploient près de 29 % des salariés.

Exercice 14 :

1. La somme des fréquences vaut 1, donc \(f_A=1-(0{,}35+0{,}32+0{,}16+0{,}10)=1-0{,}93=0{,}07\). 7 % des lycéens utilisent un autre moyen de communication.
2. Le lycéen est choisi au hasard : la probabilité de chaque événement est égale à sa fréquence. Chaque lycéen n’a qu’un seul moyen préféré, donc les événements S, F, R, C et A sont deux à deux incompatibles.
   a. \(P(F\cup S)=P(F)+P(S)=0{,}32+0{,}35\), donc \(P(F\cup S)=0{,}67\).
   b. \(\overline{R\cup A}\) : « le lycéen ne préfère ni les réseaux sociaux, ni un autre moyen », c’est-à-dire qu’il préfère les SMS, le face à face ou le chat vidéo. \(P(R\cup A)=0{,}16+0{,}07=0{,}23\), donc \(P(\overline{R\cup A})=1-0{,}23=0{,}77\).
   c. \(S\cup A\cup R\) : « le lycéen préfère les SMS, les réseaux sociaux ou un autre moyen », c’est-à-dire ni le face à face ni le chat vidéo. \(P(S\cup A\cup R)=0{,}35+0{,}07+0{,}16\), donc \(P(S\cup A\cup R)=0{,}58\).

Exercice 15 :

Sur chaque roue, les secteurs sont de même dimension : on est en situation d’équiprobabilité.

• La roue 1 compte 8 secteurs dont 1 rouge : \(P_1=\dfrac{1}{8}=0{,}125\).
• La roue 2 compte 15 secteurs dont 2 rouges : \(P_2=\dfrac{2}{15}\approx 0{,}133\).

Pour comparer exactement, on met au même dénominateur : \(\dfrac{1}{8}=\dfrac{15}{120}\) et \(\dfrac{2}{15}=\dfrac{16}{120}\). Comme \(\dfrac{16}{120}\gt\dfrac{15}{120}\), Sacha doit choisir la roue 2, même si l’écart est faible.

Exercice 16 (probabilités en seconde)

1. L’élève est choisi au hasard parmi 200 élèves : on est en situation d’équiprobabilité. Il y a 90 filles et 120 élèves qui pratiquent un sport, donc \(P(F)=\dfrac{90}{200}=\dfrac{9}{20}=0{,}45\) et \(P(S)=\dfrac{120}{200}=\dfrac{3}{5}=0{,}6\).

2. \(F\cap S\) : « l’élève est une fille et elle pratique un sport ». Le tableau donne 54 filles sportives : \(P(F\cap S)=\dfrac{54}{200}=0{,}27\).

3. \(P(F\cup S)=P(F)+P(S)-P(F\cap S)=0{,}45+0{,}6-0{,}27=\) 0,78. On soustrait \(P(F\cap S)\) parce que les 54 filles sportives sont comptées deux fois dans la somme \(P(F)+P(S)\).

4. \(\overline{F\cup S}\) : « l’élève n’est pas une fille et ne pratique pas de sport », c’est-à-dire « c’est un garçon qui ne pratique pas de sport ».

• Avec l’événement contraire : \(P(\overline{F\cup S})=1-P(F\cup S)=1-0{,}78=0{,}22\).
• Avec le tableau : il y a 44 garçons qui ne pratiquent pas de sport, donc \(\dfrac{44}{200}=0{,}22\).

La probabilité est 0,22 (22 %) : les deux méthodes donnent le même résultat.

Exercice 17 :

1. Chaque case contient la somme du numéro de la ligne (dé rouge) et du numéro de la colonne (dé bleu).

2. Le dé rouge a 6 issues, le dé bleu a 6 issues : il y a \(6\times 6=36\) issues. Les dés sont équilibrés et indépendants : chaque couple (rouge ; bleu) a la même probabilité \(\dfrac{1}{36}\). On est en situation d’équiprobabilité.

3. On compte les cases du tableau.

• a. La somme 7 apparaît 6 fois (en jaune sur le tableau) : \(P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).
• b. Les sommes 10, 11 et 12 apparaissent respectivement 3, 2 et 1 fois, soit 6 cases : \(P(B)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).
• c. Une somme est paire lorsque les deux numéros ont la même parité (deux pairs ou deux impairs) : \(3\times 3+3\times 3=18\) cases, donc \(P(C)=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}\).
• d. Les doubles sont les 6 cases de la diagonale (en bleu) : \(P(D)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).

4. Un double a une somme paire (\(1+1,\ 2+2,\ \ldots\)), donc il ne peut pas avoir pour somme 7, qui est impaire : \(A\cap D=\varnothing\). Les événements A et D sont incompatibles. Ainsi \[P(A\cup D)=P(A)+P(D)=\dfrac{6}{36}+\dfrac{6}{36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\]

Exercice 18 (probabilités en seconde)

1. On numérote les boules : R1, R2, R3, B1, B2. Comme on remet la boule dans l’urne, le premier tirage a 5 issues et le second aussi : il y a \(5\times 5=25\) couples équiprobables, chacun de probabilité \(\dfrac{1}{25}\). L’issue RR correspond à \(3\times 3=9\) couples ; l’issue BB correspond à \(2\times 2=4\) couples ; RB correspond à \(3\times 2=6\) couples et BR à \(2\times 3=6\) couples. Au total \(9+6+6+4=25\).

2. On en déduit la probabilité de chaque issue (nombre de couples divisé par 25). On remarque qu’elle est aussi égale au produit des probabilités écrites sur les branches : par exemple \(\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}\).

3. « Les deux boules ont la même couleur » correspond aux issues RR et BB, qui sont incompatibles : \[P=\dfrac{9}{25}+\dfrac{4}{25}=\dfrac{13}{25}=0{,}52\]

4. « Obtenir au moins une boule bleue » a pour contraire « n’obtenir aucune boule bleue », c’est-à-dire l’issue RR. Donc \[P=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}=0{,}64\]

Vérification : les issues RB, BR et BB donnent \(\dfrac{6}{25}+\dfrac{6}{25}+\dfrac{4}{25}=\dfrac{16}{25}\).

Exercice 19 :

1. Lina a tort. Les quatre résultats qu’elle cite ne sont pas équiprobables. Il faut distinguer l’ordre des lancers. L’univers est formé de 8 issues équiprobables (\(2\times 2\times 2=8\)) :

\[\Omega=\{PPP\,;\,PPF\,;\,PFP\,;\,FPP\,;\,PFF\,;\,FPF\,;\,FFP\,;\,FFF\}\]

Chaque issue a pour probabilité \(\dfrac{1}{8}\).

2. Les issues avec exactement un Pile sont PFF, FPF et FFP : \(P=\dfrac{3}{8}\).

3. Le contraire de « au moins un Pile » est « aucun Pile », c’est-à-dire l’issue FFF, de probabilité \(\dfrac{1}{8}\). Donc \(P(\text{au moins un Pile})=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}\).

4. Exactement deux Piles : PPF, PFP et FPP, donc \(P=\dfrac{3}{8}\). Pour trois Piles, il n’y a que PPP (\(\dfrac{1}{8}\)). Les quatre événements « 0 Pile », « 1 Pile », « 2 Piles », « 3 Piles » ont pour probabilités \(\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{3}{8},\dfrac{1}{8}\) et leur somme vaut \(\dfrac{1+3+3+1}{8}=1\), comme il se doit : ils sont incompatibles et couvrent toutes les possibilités. Ils ne sont donc pas équiprobables (3 fois plus de chances d’obtenir 1 ou 2 Piles que 0 ou 3).

Exercice 20 (probabilités en seconde)

Partie A.

1. Les quatre secteurs ont la même taille : \(p=\dfrac{1}{4}=0{,}25\).

2. On divise chaque effectif par 400 : rouge \(\dfrac{96}{400}=0{,}24\) ; bleu \(\dfrac{108}{400}=0{,}27\) ; vert \(\dfrac{102}{400}=0{,}255\) ; jaune \(\dfrac{94}{400}=0{,}235\).

3. On a \(n=400\geq\, 25\) et \(p=0{,}25\) est compris entre 0,2 et 0,8. Ici \(\dfrac{1}{\sqrt{400}}=\dfrac{1}{20}=0{,}05\), donc l’intervalle de fluctuation est \[[0{,}25-0{,}05\,;\,0{,}25+0{,}05]=[0{,}20\,;\,0{,}30]\]

4. Les fréquences 0,24 ; 0,27 ; 0,255 et 0,235 appartiennent toutes à l’intervalle \([0{,}20\,;\,0{,}30]\) (figure ci-dessous). Ces résultats sont compatibles avec une roue équilibrée : on n’a aucune raison de douter d’elle. Attention, cela ne prouve pas que la roue est parfaitement équilibrée : on dit seulement que l’hypothèse n’est pas rejetée.

Partie B. Si la pièce est équilibrée, \(p=0{,}5\) et \(n=100\). L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est \[[0{,}5-\dfrac{1}{10}\,;\,0{,}5+\dfrac{1}{10}]=[0{,}4\,;\,0{,}6]\]
La fréquence observée de Pile est \(\dfrac{62}{100}=0{,}62\). Comme \(0{,}62\gt 0{,}6\), elle n’appartient pas à l’intervalle. On peut rejeter l’hypothèse que la pièce est équilibrée, avec un risque d’erreur d’environ 5 %.

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