Théorème de Thalès : corrigé des exercices de maths en 3ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (Thalès 3e corrigé)

figure 1 : dans le triangle AGE, M ∈ [AG], F ∈ [AE] et (MF) // (GE), donc \(\dfrac{AM}{AG}=\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{MF}{GE}\)

Ensuite, figure 2 : dans le triangle TCB, S ∈ [TC], A ∈ [TB] et (SA) // (CB), donc \(\dfrac{TS}{TC}=\dfrac{TA}{TB}=\dfrac{SA}{CB}\)

Figure 3 : les droites (DE), (CF) et (BG) sont parallèles, donc \(\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{BG}{DE}\) ; \(\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OF}{OE}=\dfrac{CF}{DE}\) et \(\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{OG}{OF}=\dfrac{BG}{CF}\)

Figure 4 : les droites (AC), (MN) et (DB) sont parallèles.

• Dans le triangle DAC, M ∈ [DA], I ∈ [DC] et (MI) // (AC), donc \(\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{DI}{DC}=\dfrac{MI}{AC}\)
• Dans le triangle CDB, I ∈ [CD], N ∈ [CB] et (IN) // (DB), donc \(\dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CN}{CB}=\dfrac{IN}{DB}\)

Exercice 2 :

Montrer à l’aide de la partie directe du théorème de Thalès que :

Figure en haut à gauche. Les points A, B, M sont alignés, ainsi que A, C, N, et (BC) // (MN). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}\) soit \(\dfrac{AB}{4{,}5}=\dfrac{4}{AN}=\dfrac{2}{6}\)

\(AN=12\)

\(AB=1,5\)

Détail : \(AN=\dfrac{4\times 6}{2}=12\) et \(AB=\dfrac{4{,}5\times 2}{6}=1{,}5\), donc AN = 12 et AB = 1,5.

Figure en haut à droite. Les points C, S, B sont alignés, ainsi que C, T, A, et (ST) // (BA). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{CS}{CB}=\dfrac{CT}{CA}=\dfrac{ST}{BA}\) soit \(\dfrac{5}{13}=\dfrac{CT}{6{,}5}=\dfrac{3}{AB}\)

\(CT=6,5\times \frac{5}{13}=\frac{32,5}{13}\)

\(AB=3\times \frac{13}{5}=\frac{39}{5}\)

donc CT = 2,5 et AB = 7,8.

Figure en bas à gauche. Les points A, P, B sont alignés, ainsi que A, M, C, et (PM) // (BC). On a AP = AB − PB = 5 − 2 = 3. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{PM}{BC}\) soit \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{AC}=\dfrac{2}{BC}\)

\(AC=\dfrac{6\times 5}{3}=10\) et \(BC=\dfrac{2\times 5}{3}=\dfrac{10}{3}\), donc AC = 10 et BC = 10/3 ≈ 3,33.

Figure en bas à droite. Les points I, M, K sont alignés, ainsi que I, L, J, et (ML) // (KJ). On a IJ = IL + LJ = 8 + 2 = 10. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{IM}{IK}=\dfrac{IL}{IJ}=\dfrac{ML}{KJ}\) soit \(\dfrac{5}{IK}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{ML}{7}\)

\(IK=\dfrac{5\times 10}{8}=6{,}25\) et \(ML=\dfrac{8\times 7}{10}=5{,}6\), donc IK = 6,25 et ML = 5,6.

Exercice 3 (Thalès 3e corrigé)

Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois.
Sur le dessin ci-dessous, on donne :

BS = 6 m ; BN = 1,8 m ; AM = 1,95 m ; AB = 2,5m.

1 .Dans le triangle ABS rectangle en B, d’après la propriété directe du théorème de Pythagore :

\(AS^2=AB^2+BS^2\)
\(AS^2=2,5^2+6^2\)
\(AS^2=6,25+36\)
\(AS^2=42,25\)
\(AS=\sqrt{42,25}\)
\(AS=6,5\)

conclusion : AS = 6,5 mètres.

2 Calculer les longueurs SN et SM.

Le point N appartient au segment [SB] et le point M au segment [SA], donc :

\(SN=SB-BN=6-1{,}8=4{,}2\) et \(SM=SA-AM=6{,}5-1{,}95=4{,}55\)

SN = 4,2 m et SM = 4,55 m.

Remarque : on ne peut pas utiliser ici le théorème de Thalès, car le parallélisme de (MN) et (AB) n’est pas encore connu : c’est justement l’objet de la question 3.

3. Démontrer que la traverse [MN] est parallèle au sol.

Les points S, M, A d’une part et S, N, B d’autre part sont alignés dans le même ordre.

\(\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{4{,}55}{6{,}5}=0{,}7\) et \(\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{4{,}2}{6}=0{,}7\)

Donc \(\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}\) et, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles : la traverse est parallèle au sol.

Une fois ce parallélisme établi, le théorème de Thalès donne aussi la longueur de la traverse :

\(MN=\frac{4,2\times 2,5}{6}= 1,75\,m\)

Exercice 4 :

On lit les dimensions sur le dessin : une brique mesure 10 cm de haut et 20 cm de long, et les briques sont décalées d’une demi-brique d’une rangée à l’autre.

• B est situé 4 rangées au-dessus de O : OB = 4 × 10 = 40 cm.
• D est situé 7 rangées au-dessus de O : OD = 7 × 10 = 70 cm.
• A est situé à 3 briques et demie de O : OA = 3,5 × 20 = 70 cm.
• C est situé à 6 briques et demie de O : OC = 6,5 × 20 = 130 cm.

Les points O, A, C d’une part et O, B, D d’autre part sont alignés dans le même ordre.

\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{70}{130}=\dfrac{7}{13}\) et \(\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{40}{70}=\dfrac{4}{7}\)

Comparons par les produits en croix : \(7\times 7=49\) et \(13\times 4=52\). Comme \(49\neq 52\), on a \(\dfrac{OA}{OC}\neq\dfrac{OB}{OD}\).

Si les droites (AB) et (CD) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité de ces deux rapports. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles : la structure métallique ne peut pas être posée ainsi.

Exercice 5 (Thalès 3e corrigé)

Un funiculaire part de D pour se rendre à A suivant la droite (DA) .
DM = 420m ; DH = 1000m; MP = 252m.

Les triangles DPM et DAH sont respectivement rectangles en P et H.

1) Calculer la distance DP en mètre .

Dans le triangle DPM rectangle en P, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(DM^2=DP^2+PM^2\)

\(420^2=DP^2+252^2\)

\(176400=DP^2+63504\)

\(DP^2=176400-63504\)

\(DP^2=112896\)

\(DP=\sqrt{112896}\)

\({\color{DarkRed} DP=336\,m}\)

2) a) Démontrer que les droite (MP) et (HA) sont parralèles .

On sait que :

\((MP)\perp (DH)\) et \((AH)\perp (DH)\).

Propriété : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.

Conclusion : \((MP)\parallel (AH)\) .

b) Calculer la distance DA en mètre puis en kilomètre.

Dans les triangles DPM et DHA :

On sait que :

\(M\in (DA)\), \(P\in (DH)\) et \((MP)\parallel (AH)\).

d’après la partie directe du théorème de Thalès, nous avons les égalités suivantes :

\(\frac{DM}{DA}=\frac{DP}{DH}=\frac{PM}{HA}\)

\(\frac{420}{DA}=\frac{336}{1000}=\frac{252}{HA}\)

en utilisant le produit en croix, nous obtenons :

\(DA=\frac{420\times 1000}{336}=1250\,m=1,25\,km\)

Exercice 6 :

a. [SO] est une hauteur de la pyramide donc le triangle AOS est rectangle en O .

Dans le triangle AOS rectangle en O, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AS^2=AO^2+OS^2\)

\(20^2=12^2+OS^2\)

\(400=144+OS^2\)

\(OS^2=400-144\)

\(OS^2=256\)

\(OS=\sqrt{256}\)

\({\color{DarkRed} OS=16\,cm}\)

b. Le coefficient de réduction est :

\(k=\frac{SM}{SO}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}\)

c.

\(SI=\frac{1}{8}SA=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}=2,5\,cm\)

\(IA=SA-SI=20-2,5=17,5\,cm\)

Exercice 7 (Thalès 3e corrigé)

C’est une application du théorème de Thalès .

\(\frac{24}{200}=\frac{30}{x}\)

\(x=\frac{30\times 200}{24}=250\,cm=2,5\,m\)

Conclusion : Il doit placer l’écran à 2,5 mètres de la source de lumière.

Exercice 8 :

Sur le schéma : BS = 6 m, AB = 2,5 m, AM = 1,95 m et BN = 1,8 m.

a. Calcul de AS.

Le montant [BS] est perpendiculaire au sol, donc le triangle ABS est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :

\(AS^2=AB^2+BS^2=2{,}5^2+6^2=6{,}25+36=42{,}25\)

\(AS=\sqrt{42{,}25}=6{,}5\), donc AS = 6,5 m.

b. Calcul de SM et SN.

M appartient au segment [SA] et N au segment [SB], donc :

\(SM=SA-AM=6{,}5-1{,}95=4{,}55\) et \(SN=SB-BN=6-1{,}8=4{,}2\)

SM = 4,55 m et SN = 4,2 m.

c. Parallélisme de la traverse [MN] et du sol.

Les points S, M, A et S, N, B sont alignés dans le même ordre.

\(\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{4{,}55}{6{,}5}=0{,}7\) et \(\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{4{,}2}{6}=0{,}7\)

Les deux rapports sont égaux donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles : la traverse [MN] est parallèle au sol.

Exercice 9 (Thalès 3e corrigé)

On applique le théorème de Thalès puisque nous avons une configuration du sablier.

Nous avons l’égalité des rapports suivants :

\(\frac{L}{1}=\frac{20}{5}\)

\(L=\frac{20\times 1}{5}=4\,pas\)

La largeur de la rivière est de 4 pas .

b.

\(65\times 4=260\,cm\)

La largeur de la rivière est de 260 centimètres.

Exercice 10 :

Les droites (CA) et (DH) sont perpendiculaires à une même droites donc elles sont parallèles.

\(H\in(AB)\,,\,D\in (CB)\)

d’après la partie directe du théorème de Thalès, nous avons l’égalité suivante :

\(\frac{BD}{BC}=\frac{DH}{CA}\)

\(\frac{BD}{1200}=\frac{150}{200}\)

\(BD=\frac{150\times 1200}{200}=900\,m\)

Conclusion : Il lui reste à parcourir 900 mètres.

Exercice 11 (Thalès 3e corrigé)

Les droites (BI) et (KA) sont parallèles, \(S\in(KI)\,et\,S\in(AB)\)

d’après la partie directe du théorème de Thalès :

\(\frac{BI}{KA}=\frac{SI}{SK}\)

\(\frac{BI}{4,5}=\frac{4}{6}\)

\(BI=\frac{4\times 4,5}{6}=3\,cm\)

Conclusion : la longueur du segment [BI] est de 3 cm.

Exercice 12 :

On peut utiliser le théorème de Thalès uniquement sur les figures b, d et e.

Exercice 13 (Thalès 3e corrigé)

On a OF = OF’ = 3 cm, AB = 2,5 cm et OA = 8 cm. Les droites (AB) et (OB ») sont toutes les deux perpendiculaires à l’axe de la lentille, donc elles sont parallèles.

Hauteur de l’image. Les points A, F, O sont alignés sur l’axe et les points B, F, B » sont alignés. On a FA = OA − OF = 8 − 3 = 5 cm. D’après le théorème de Thalès dans la configuration en papillon de centre F :

\(\dfrac{FO}{FA}=\dfrac{OB^{\prime\prime}}{AB}\) soit \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{OB^{\prime\prime}}{2{,}5}\), donc \(OB^{\prime\prime}=\dfrac{3\times 2{,}5}{5}=1{,}5\) cm.

La droite (B’B ») est parallèle à l’axe et les droites (OB ») et (A’B’) sont perpendiculaires à l’axe : le quadrilatère OA’B’B » est un rectangle, donc A’B’ = OB » et A’B’ = 1,5 cm.

Position de l’image. Les points A, O, A’ sont alignés, ainsi que B, O, B’, et (AB) // (A’B’) (toutes deux perpendiculaires à l’axe). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{OA^{\prime}}{OA}=\dfrac{A^{\prime}B^{\prime}}{AB}\) soit \(\dfrac{OA^{\prime}}{8}=\dfrac{1{,}5}{2{,}5}\)

\(OA^{\prime}=\dfrac{8\times 1{,}5}{2{,}5}=4{,}8\), donc l’image se forme à OA’ = 4,8 cm de la lentille (elle est renversée).

Exercice 14 :

Dans les triangles ADE et ACB, d’après la partie directe du théorème de Thalès :

\(\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}\)

\(BC=2BF=2\times 1737=3474 km\)

\(\frac{2,8}{AB}=\frac{0,026}{3474000}\)

\(AB=\frac{2,8\times 3474000}{0,026}\)

\(AB=374123077\,m\)

La distance Terre-Lune est d’environ 374 123 km (arrondie au km).

Exercice 15 (Thalès 3e corrigé)

Les droites (FC) et (DA) sont parallèles si \(\frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IF}\) .

\(\frac{7x+5}{5x}=\frac{12}{7}\)

\(7(7x+5)=12\times 5x\)

\(49x+35=60x\)

\(60x-49x=35\)

\(11x=35\)

\(x=\frac{35}{11}\)

Exercice 16 :

La hauteur du bâton est BD .

Notons \(x\) la hauteur du bâton .

\(AB=x-15\)

\(AC=x\)

Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(x^2=(x-15)^2+45^2\)

\(x^2=x^2-30x+15^2+45^2\)

\(x^2=x^2-30x+225+2025\)

\(x^2=x^2-30x+2250\)

\(-30x+2250=0\)

\(x=\frac{-2250}{-30}\)

\({\color{DarkRed} x=75}\)

La hauteur du bâton est de 75 cm .

Exercice 17 (Thalès 3e corrigé)

Construire un triangle ABC tel que AB=12cm,BC=16cm,AC=8cm .

1)Placer le point E sur (AB) tel que AE=9cm puis tracer la parallèle à (BC) passant par E.

Elle coupe (AC) en F.

Calculez AF.

On sait que \(F\in(AC)\), \(E\in(AB)\) et \((FE)\parallel(CB)\) ; d’après la partie directe du théorème de Thalès :

\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

\(\frac{AF}{8}=\frac{9}{12}\)

\(AF=\frac{8\times 9}{12}\)

\({\color{DarkRed} AF=6\,cm}\)

2)Dans la suite du problème, le point E se promène sur [AB] et on pose AE=x .

a)Donner un encadrement de x .

0<x<12

b)Calculer AF en fonction de x .

\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

\(\frac{AF}{8}=\frac{x}{12}\)

\(AF=\frac{8}{12}x\)

\(AF=\frac{2}{3}x\)

c) En déduire FC et exprimer également EB en fonction de x .

\(FC=AC-AF=8-\frac{2}{3}x\)

\(EB=AB-AE=12-x\)

3) a) Calculer BK en fonction de x.

Dans le triangle CAB, K ∈ [CB], F ∈ [CA] et (FK) // (AB). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CF}{CA}\) soit \(\dfrac{CK}{16}=\dfrac{8-\frac{2}{3}x}{8}\)

\(CK=2\times (8-\dfrac{2}{3}x)=16-\dfrac{4}{3}x\)

\(BK=CB-CK=16-(16-\dfrac{4}{3}x)=\dfrac{4}{3}x\), donc \(BK=\dfrac{4}{3}x\).

b) Nature du quadrilatère EFKB et longueur EF.

Les droites (EF) et (BK) sont parallèles (car (EF) // (BC)) et les droites (FK) et (EB) sont parallèles (car (FK) // (AB)). Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme : EFKB est un parallélogramme.

Ses côtés opposés ont donc la même longueur : \(EF=BK=\dfrac{4}{3}x\). On retrouve ce résultat avec le théorème de Thalès dans le triangle ABC : \(\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}\) donne \(EF=\dfrac{16x}{12}=\dfrac{4}{3}x\).

Exercice 18:

a) Calculer L’angle  .

La valeur de cet angle est impossible à déterminer.

b) Quelle est la nature du triangle AEF ? Justifier votre réponse.

Le triangle AEF est quelconque.

Justification : le triangle ABC n’est pas rectangle, car \(AB^2=64\) et \(AC^2+BC^2=40{,}96+24{,}01=64{,}97\neq 64\) ; ses côtés sont tous différents, donc il n’est ni isocèle ni équilatéral. Par ailleurs \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{12}{8}=1{,}5\) et \(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{9{,}6}{6{,}4}=1{,}5\) : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (EF) // (BC), et le triangle AEF est un agrandissement de rapport 1,5 du triangle ABC (EF = 1,5 × 4,9 = 7,35 cm). Il a donc la même forme que ABC : c’est un triangle quelconque, et avec les outils de 3e on ne peut pas calculer la mesure de l’angle Â, qui n’appartient à aucun triangle rectangle de la figure.

Exercice 19 (Thalès 3e corrigé)

Les points O,C,F ; O,B,E et O,A,D sont alignés.

(CB)//(FE) et (BA)//(ED).

Montrer que (CA)//(FD) .

Indication :

Utiliser les égalités des rapports dans les triangles OFE et OED.

Puis appliquer la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que (CA)//(FD) .

Démonstration complète :

• Dans le triangle OFE : C ∈ [OF], B ∈ [OE] et (CB) // (FE). D’après le théorème de Thalès, \(\dfrac{OC}{OF}=\dfrac{OB}{OE}\).
• Dans le triangle OED : B ∈ [OE], A ∈ [OD] et (BA) // (ED). D’après le théorème de Thalès, \(\dfrac{OB}{OE}=\dfrac{OA}{OD}\).

Ces deux égalités ont le rapport \(\dfrac{OB}{OE}\) en commun, donc \(\dfrac{OC}{OF}=\dfrac{OA}{OD}\).

De plus, les points O, C, F et O, A, D sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès appliquée dans le triangle OFD, les droites (CA) et (FD) sont parallèles.

Exercice 20 :

1.Dans les triangles KMN et KLV, le segment [MN] est un agrandissement de [LV]

et le coefficient d’agrandissement est \(k=\frac{8}{5}\)

donc

\(MN=\frac{8}{5}\times 4=\frac{32}{5}\)

En effet, K, L, M sont alignés ainsi que K, V, N, avec (LV) // (MN) et KM = KL + LM = 5 + 3 = 8 m ; d’après le théorème de Thalès, \(\dfrac{KL}{KM}=\dfrac{LV}{MN}\) soit \(\dfrac{5}{8}=\dfrac{4}{MN}\). Donc MN = 6,4 m.

Calcul de VT : les droites (VN) et (MT) se coupent en S, les points V, S, N et T, S, M sont alignés, et (VT) // (MN) puisque T appartient à la droite (LV). D’après le théorème de Thalès dans la configuration en papillon :

\(\dfrac{SV}{SN}=\dfrac{ST}{SM}=\dfrac{VT}{MN}\) soit \(\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac{VT}{6{,}4}\)

\(VT=\dfrac{3\times 6{,}4}{4{,}5}=\dfrac{64}{15}\approx 4{,}27\), donc VT = 64/15 m ≈ 4,27 m.

2. Les points D,C,M et F,C,N sont alignés dans le même ordre.

D’après la figure, CD = 45, CM = 51, CF = 30 et CN = 34.

\(\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{45}{51}\) et \(\dfrac{CF}{CN}=\dfrac{30}{34}\)

or \(45\times 34=1530\) et \(30\times 51=1530\)

donc \(\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{CF}{CN}\) (ces deux rapports valent \(\dfrac{15}{17}\)) et, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DF) et (MN) sont parallèles.

Exercice 21 (Thalès 3e corrigé)

D’après le schéma nous sommes bien dans une configuration de Thalès où les points O,M,A,N sont alignés (il suffisait de 3points mais ici je précise que ces quatre sont alignés). et les points 0, B et C sont également alignés. Et qu’il y a plusieurs triangles intéressants deux à deux tels que OAB et ONC ou OBM et OCA.

Le théorème de Thalès nous dit que si les triangles OAB et ONC forment une configuration de Thalès tel que les points O,A,N d’une part sont alignés dans cet ordre, et O,B,C d’autre part sont alignés dans cet ordre. Et si les droites (AB) et (NC) sont parallèles alors nous avons les égalités de rapport suivants :

OC/OB = ON/OA = NC/AB (1)

Il en va de même pour les triangles OBM et OCA qui forment une configuration de Thalès puisque les points O,B et C sont alignés dans cet ordre et les points O, M et N sont eux aussi alignés dans cet ordre. Puisque les droites (BM) et (AC) sont parallèles nous avons les égalités de rapport suivants :

OC/OB = OA/OM = CA/BM (2)

Utilisons (1) et remarquons que \(\frac{OC}{OB}=\frac{ON}{OA}=\frac{NC}{AB}\) est équivalent à \(\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{ON}=\frac{AB}{NC}\)

Avec (2) nous avons \(\frac{OA}{OM}=\frac{OC}{OB}=\frac{1}{\frac{OB}{OC}}\) or dans (1) \(\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{ON}\) donc OA/OM = ON/OA puisque \(\frac{1}{\frac{OA}{ON}}=\frac{ON}{OA}\)

ce qui par un produit en croix nous donne OA² =OMxON

Exercice 22 :

1. Dans les triangles ECD et EAB :

\((AB) //(CD) \ C\in (EB)\ D\in (AE)\)

d’après la partie directe du théorème de Thalès, nous avons :

\(\frac{EC}{EB}=\frac{ED}{EA}=\frac{CD}{AB}\)

\(\frac{EC}{16}=\frac{6}{10}=\frac{CD}{20}\)

Calculons CD :

\(\frac{CD}{20}=\frac{6}{10}\)

\(10\times CD=6\times 20\)

\(\frac{10\times CD}{10}=\frac{6\times 20}{10}\)

\(\boxed{CD=12\,cm}\)

2. Dans les triangles BFG et BEA:

\(B,F,E\,\,B,G,A\) sont alignés dans le même ordre .

\(\frac{BF}{BE}=\frac{12,8}{16}=\frac{128}{160}\)

\(\frac{BG}{BA}=\frac{16}{20}=\frac{128}{160}\)

Conclusion :

\(\frac{BF}{BE}=\frac{BG}{BA}\)

donc d’après la partie réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (AE) sont parallèles .

Exercice 23 (Thalès 3e corrigé)

1. Dans les triangles ABC et AMN :

\((BC) //(MN) \ M\in (AB)\ N\in (AC)\)

d’après la partie directe du théorème de Thalès, nous avons :

\(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{MN}\)

\(\frac{2,4}{AM}=\frac{5,2}{7,8}=\frac{BC}{4,5}\)

Calculons AM :

\(\frac{2,4}{AM}=\frac{5,2}{7,8}\)

\(5,2\times AM=2,4\times 7,8\)

\(\frac{5,2\times AM}{5,2}=\frac{2,4\times 7,8}{5,2}\)

\(AM=\frac{2,4\times 7,8}{5,2}=3,6\)

\(\boxed{AM=3,6\,cm}\)

Calculons BC:

\(\frac{BC}{4,5}=\frac{5,2}{7,8}\)

\(7,8\times BC=4,5\times 5,2\)

\(\frac{7,8\times BC}{7,8}=\frac{4,5\times 5,2}{7,8}\)

\(BC=\frac{4,5\times 5,2}{7,8}=3\)

\(\boxed{BC=3\,cm}\)

2. Dans les triangles ABC et APR:

\(P,A,C\,\,R,A,B\) sont alignés dans le même ordre .

\(\frac{AP}{AC}=\frac{2,6}{5,2}=\frac{26}{52}=0,5\)

\(\frac{AR}{AB}=\frac{1,2}{2,4}=\frac{12}{24}=0,5\)

Conclusion :

\(\frac{AP}{AC}=\frac{AR}{AB}\)

donc d’après la partie réciproque du théorème de Thalès, les droites (PR) et (BC) sont parallèles .

Exercice 24 :

1. Dans les triangles OAC et OBE :

\(A,O,B\,\,C,O,E\) sont alignés dans le même ordre .

\(\frac{OA}{OB}=\frac{60}{72}=\frac{5}{6}\)

\(\frac{OC}{OE}=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}\)

Conclusion :

\(\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OE}\)

donc d’après la partie réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (EB) sont parallèles .

2. Dans les triangles OAC et OBE :

\((AC) //(EB) \ C\in (OE)\ A\in (OB)\)

d’après la partie directe du théorème de Thalès, nous avons :

\(\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OE}=\frac{AC}{EB}\)

\(\frac{60}{72}=\frac{50}{60}=\frac{100}{EB}\)

Calculons EB:

\(\frac{100}{EB}=\frac{50}{60}\)

\(50\times EB=100\times 60\)

\(\frac{50\times EB}{50}=\frac{100\times 60}{50}\)

\(\boxed{EB=120\,cm}\)

Exercice 25 (Thalès 3e corrigé)

Sur la figure, O est le centre de la sphère, OM = 18 m (rayon), le triangle OHM est rectangle en H et \(\widehat{HOM}=52^{\circ}\).

1. Calcul de OH. Dans le triangle OHM rectangle en H :

\(\cos(\widehat{HOM})=\dfrac{OH}{OM}\) donc \(OH=18\times \cos(52^{\circ})\approx 11{,}08\)

OH ≈ 11,08 m.

2. Calcul de HM. Dans le même triangle :

\(\sin(\widehat{HOM})=\dfrac{HM}{OM}\) donc \(HM=18\times \sin(52^{\circ})\approx 14{,}18\)

HM ≈ 14 m (arrondi au mètre).

3. Hauteur totale de la géode. Le point le plus haut de la calotte est situé sur la droite (OH), à 18 m au-dessus de O. La hauteur totale vaut donc :

\(18+OH=18+18\times \cos(52^{\circ})\approx 29{,}08\)

La géode mesure environ 29,1 m de haut.

4. a. La géode repose sur le sol selon un disque de centre H et de rayon HM (section d’une sphère par un plan).

b. Aire de ce disque : \(\mathcal{A}=\pi\times HM^2\approx \pi\times 14{,}184^2\approx 632\)

L’aire au sol est d’environ 632 m² (en utilisant la valeur non arrondie de HM ; avec HM = 14 m on trouverait environ 616 m²).

5. a. À l’échelle \(\dfrac{1}{300}\), la longueur réelle OM = 18 m = 1 800 cm devient \(\dfrac{1800}{300}=6\) cm. Sur la représentation, OM = 6 cm.

Construction : on trace un segment [OH] ; en O, on construit au rapporteur un angle de 52° avec [OH] ; on reporte 6 cm sur ce côté pour placer M ; on vérifie que l’angle en H est droit (OH mesure alors environ 3,7 cm et HM environ 4,7 cm).

Exercice 26 :

1. Le triangle SAH est rectangle en H (l’axe du cône est perpendiculaire à sa base). On a :

\(\tan(\widehat{ASH})=\dfrac{AH}{SH}=\dfrac{2}{10}=0{,}2\)

À la calculatrice, \(\widehat{ASH}\approx 11^{\circ}\) (valeur approchée 11,3°).

2. Le triangle ESK est rectangle en K et \(\widehat{ESK}=\widehat{ASH}\) (même angle au sommet S). Donc :

\(\tan(\widehat{ESK})=\dfrac{EK}{SK}=0{,}2\) soit \(EK=0{,}2\times 4=0{,}8\)

EK = 0,8 cm. On peut aussi le retrouver avec le théorème de Thalès, car (EK) // (AH).

3. a. Volumes des cônes :

\(V_1=\dfrac{1}{3}\times \pi\times AH^2\times SH=\dfrac{1}{3}\times \pi\times 2^2\times 10=\dfrac{40\pi}{3}\approx 41{,}9\), soit \(V_1\approx 42\text{ cm}^3\).

\(V_2=\dfrac{1}{3}\times \pi\times EK^2\times SK=\dfrac{1}{3}\times \pi\times 0{,}8^2\times 4=\dfrac{2{,}56\pi}{3}\approx 2{,}7\), soit \(V_2\approx 3\text{ cm}^3\).

b. La demi-boule a pour rayon AH = 2 cm :

\(V_3=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\times \pi\times 2^3=\dfrac{16\pi}{3}\approx 16{,}8\), soit \(V_3\approx 17\text{ cm}^3\).

c. Le pommeau est formé du tronc de cône (le grand cône privé du petit) surmonté de la demi-boule :

\(V=V_1-V_2+V_3\approx 41{,}89-2{,}68+16{,}76\approx 55{,}97\)

Le volume du pommeau est d’environ 56 cm³.

Exercice 27 (Thalès 3e corrigé)

1. Le point C est à la verticale de D, donc (DC) est perpendiculaire au sol, c’est-à-dire à la droite (DE). La personne est debout, donc (EY) est aussi perpendiculaire à (DE).

Propriété : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites (DC) et (EY) sont parallèles.

2. Les points D, A, E sont alignés, ainsi que C, A, Y, et (DC) // (EY). D’après le théorème de Thalès dans la configuration en papillon de centre A :

\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AY}=\dfrac{DC}{EY}\) soit \(\dfrac{1{,}5}{0{,}6}=\dfrac{DC}{1{,}7}\)

\(DC=\dfrac{1{,}5\times 1{,}7}{0{,}6}=4{,}25\)

Le puits a une profondeur de 4,25 m.

Exercice 28 :

Montrer que O est le milieu de [ST].

Hypothèses :

Les droites (OM) et (RT) sont parallèles (d’après question précédente).

M milieu de [SR] d’après le codage.

Propriété :

Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté

alors cette droite coupe le troisième côté en son milieu.

Conclusion :

O est le milieu de [ST]

Exercice 29 (Thalès 3e corrigé)

1. Montrer que les droites (IO) et (BD) sont parallèles.

Hypothèses :

I milieu de [AB] et O milieu de [AD] (d’après le codage)

Propriété :

Si une droite passe par le milieu de deux côtés d’un triangle alors

cette droite est parallèle au troisième côté.

Conclusion :

(IO) et (BD) sont parallèles

2. Montrer que J est le milieu de [AC].

Hypothèses :

Les droites (OJ) et (DC) sont parallèles (d’après question précédente).

O milieu de [AD] par hypothèses

Propriété :

Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté

alors cette droite coupe le troisième côté en son milieu.

Conclusion :

J est le milieu de [AC].

Le théorème de Thalès en maths est très intéressant mais aussi pratique. Il vous permet de résoudre vos exercices tout en développant des compétences.

Exercice 30 :

Un funiculaire part de D pour se rendre à A suivant la droite (DA) .

DM = 420 m ; DH = 1 000 m;

MP = 252 m.

Les triangles DPM et DAH sont respectivement rectangles en P et H.

1) Calculer la distance DP en mètre.

Dans le triangle DMP rectangle en P, d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

\(DM^2=DP^2+MP^2\)

\(420^2=DP^2+252^2\)

\(176400=DP^2+63504\)

\(DP^2=176400-63504\)

\(DP^2=112896\)

\(DP=\sqrt{112896}=336\,m\)

2) a) Démontrer que les droites (MP) et (HA) sont parallèles.

On sait que :

(MP) est perpendiculaire à (DH)

(AH) est perpendiculaire à (DH)

Propriété :

Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles

Conclusion : (MP) //(HA)

b) Calculer la distance DA en mètre puis en kilomètre.

On sait que :

\(M\in(AD)\), \(P\in(DH)\) et \((MP)\parallel(AH)\).

d’après la partie directe du théorème de Thalès, nous avons les égalitéés suivantes :

\(\frac{DM}{DA}=\frac{DP}{DH}\)

\(\frac{420}{DA}=\frac{336}{1000}\)

donc

\(DA=\frac{420\times 1000}{336}=1250\,m=1,25\,km\)

Exercice 31 (Thalès 3e corrigé)

a. Les droites (BD) et (CE) se coupent en A et (BC) // (DE). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}\) soit \(\dfrac{4}{AD}=\dfrac{3}{4{,}5}=\dfrac{BC}{4{,}2}\)

\(AD=\dfrac{4\times 4{,}5}{3}=6\) et \(BC=\dfrac{3\times 4{,}2}{4{,}5}=2{,}8\)

AD = 6 cm et BC = 2,8 cm.

b. Les points F, A, C sont alignés dans le même ordre que les points G, A, B (F et G sont de l’autre côté de A).

\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{4{,}05}{3}=1{,}35\) et \(\dfrac{AG}{AB}=\dfrac{5{,}4}{4}=1{,}35\)

Les deux rapports sont égaux donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (BC) sont parallèles.

Exercice 32 :

On lit AC = 7,2 cm (la valeur « 72 cm » de l’énoncé est une coquille : un triangle de côtés 6 cm, 10 cm et 72 cm ne peut pas exister).

a. Les points A, R, B sont alignés, ainsi que A, T, C, et (RT) // (BC). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AR}{AB}=\dfrac{AT}{AC}=\dfrac{RT}{BC}\) soit \(\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{AT}{7{,}2}=\dfrac{RT}{10}\)

\(AT=\dfrac{4{,}5\times 7{,}2}{6}=5{,}4\) et \(TR=\dfrac{4{,}5\times 10}{6}=7{,}5\)

Le point E est sur la demi-droite [AB) au-delà de B, donc \(AE=AB+BE=6+2=8\).

AT = 5,4 cm ; TR = 7,5 cm ; AE = 8 cm.

b. Les points A, B, E et A, T, C sont alignés dans le même ordre.

\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{6}{8}=0{,}75\) et \(\dfrac{AT}{AC}=\dfrac{5{,}4}{7{,}2}=0{,}75\)

Les deux rapports sont égaux donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BT) et (EC) sont parallèles.

Exercice 33 (Thalès 3e corrigé)

Une homothétie de rapport −0,4 multiplie toutes les longueurs par 0,4 (la valeur absolue du rapport) ; le signe « moins » indique seulement que l’image est de l’autre côté du centre L.

Sur la figure : LJ = 5 cm, LK = 7 cm et JK = 6 cm.

\(LJ^{\prime}=0{,}4\times 5=2\) ; \(LK^{\prime}=0{,}4\times 7=2{,}8\) ; \(J^{\prime}K^{\prime}=0{,}4\times 6=2{,}4\)

Le triangle LJ’K’ a pour côtés LJ’ = 2 cm, LK’ = 2,8 cm et J’K’ = 2,4 cm.

Exercice 34 :

On utilise AE = 1,50 m, BD = 1,10 m et EC = 6 m (dans les données, la deuxième longueur est BD et non ED, puisque la question b demande de calculer ED).

a. Les droites (AE) et (BD) sont parallèles ; les points C, D, E sont alignés, ainsi que C, B, A. D’après le théorème de Thalès dans le triangle CAE :

\(\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{BD}{AE}\) soit \(\dfrac{CD}{6}=\dfrac{1{,}1}{1{,}5}\)

\(CD=\dfrac{6\times 1{,}1}{1{,}5}=4{,}4\), donc DC = 4,4 m.

b. D est sur le segment [EC], donc \(ED=EC-DC=6-4{,}4=1{,}6\). ED = 1,60 m.

c. La fillette se trouve à 1,40 m derrière la camionnette, donc à 6 − 1,4 = 4,6 m du point C. Notons P sa position au sol et Q le point de la droite (AC) situé à sa verticale : (PQ) // (AE). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{PQ}{AE}=\dfrac{CP}{CE}\) soit \(PQ=\dfrac{1{,}5\times 4{,}6}{6}=1{,}15\)

À cet endroit, la zone invisible s’élève jusqu’à 1,15 m. Comme 1,10 m est inférieur à 1,15 m, la fillette est entièrement dans la zone grisée : le conducteur ne peut pas la voir.

Exercice 35 (Thalès 3e corrigé)

a. Croquis : les deux lames se croisent au pivot O. On note A et B les extrémités des poignées, C et D les extrémités des lames, avec A, O, D alignés et B, O, C alignés. On code OA = OB = 10 cm (longueur d’une poignée lue sur le schéma), AB = 14 cm (écartement des poignées) et CD = 50 cm (ouverture des lames). Les deux branches de la cisaille ayant les mêmes dimensions, OA = OB et OD = OC, donc \(\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}\) : les points A, O, D et B, O, C étant alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès donne (AB) // (CD).

b. Les points A, O, D et B, O, C sont alignés et (AB) // (CD). D’après le théorème de Thalès dans la configuration en papillon :

\(\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{CD}{AB}\) soit \(\dfrac{OD}{10}=\dfrac{50}{14}\)

\(OD=\dfrac{10\times 50}{14}=\dfrac{250}{7}\approx 35{,}7\)

Les lames doivent mesurer environ 35,7 cm (mesurées depuis le pivot).

Exercice 36 :

1.Démontrer que les droites (LF) et (HG) sont parallèles.

On sait que \((LF))\perp (EH);(HG))\perp (EH)\)

Propriété : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.

Conclusion : (LF)//(HG).

2.Calculer EF, EH et FG.

On sait que : \(L\in (EH);F\in (EG);(LF)//(HG)\)

D’après la partie directe du théorème de Thalès, nous avons les égalités suivantes :

\(\frac{EL}{EH}=\frac{EF}{EG}=\frac{LF}{HG}\)

\(\frac{8}{EH}=\frac{EF}{15}=\frac{10}{12}\)

donc

\(EH=\frac{8\times 12}{10}=9,6\) et \(EF=\frac{15\times 10}{12}=12,5\)

\(FG=EG-EF=15-12,5=2,5\)

Exercice 37 (Thalès 3e corrigé)

Sur la figure ci-dessous, BR=2,5 cm, BL=15cm, BE=1,5 cm et BI = 9 cm.

Les points I,B et E sont alignés dans le même ordre que L,B,R.

Montrer que les droites (IL) et (ER) sont parallèles.

On sait que les points I,B et E sont alignés dans le même ordre que L,B,R.

Calculons séparément :

\(\frac{BR}{BL}=\frac{2,5}{15}\) et \(\frac{BE}{BI}=\frac{1,5}{9}\)

or \(2,5\times 9=22,5\) et \(15\times 1,5=22,5\).

Nous pouvons en déduire que \(\frac{BR}{BL}=\frac{BE}{BI}\) et d’après la réciproque du théorème de Thalès,

les droites (IL) et (ER) sont parallèles.

Exercice 38 :

Cas a. Les points B, E, A sont alignés, ainsi que B, O, C, et le point B est commun aux deux triangles. L’homothétie qui transforme le triangle OBE en ABC laisse B fixe, envoie O sur C et E sur A : son centre est B. Les images sont du même côté de B que les points de départ, donc le rapport est positif :

\(k=\dfrac{BC}{BO}=\dfrac{32}{8}=4\). Le rapport est 4.

Une homothétie de rapport 4 multiplie les longueurs par 4, donc les longueurs du triangle OBE s’obtiennent en divisant par 4 :

\(BE=\dfrac{BA}{4}=\dfrac{20}{4}=5\) et \(OE=\dfrac{CA}{4}=\dfrac{18}{4}=4{,}5\)

BE = 5 cm et OE = 4,5 cm.

Cas b. Les points O, B, C sont alignés, ainsi que E, B, A, et B est entre O et C et entre E et A. L’homothétie de centre B envoie O sur C et E sur A ; les images sont de l’autre côté de B, donc le rapport est négatif :

\(k=-\dfrac{BC}{BO}=-\dfrac{6{,}3}{9}=-0{,}7\). Le rapport est −0,7.

Les longueurs sont multipliées par 0,7, donc :

\(BE=\dfrac{BA}{0{,}7}=\dfrac{4{,}2}{0{,}7}=6\) et \(OE=\dfrac{AC}{0{,}7}=\dfrac{7}{0{,}7}=10\)

BE = 6 cm et OE = 10 cm.

Exercice 39 (Thalès 3e corrigé)

Les points O, P, U et O, Q, V sont alignés et (QP) // (VU). D’après le théorème de Thalès dans la configuration en papillon de centre O :

\(\dfrac{OP}{OU}=\dfrac{OQ}{OV}=\dfrac{QP}{VU}\) avec \(\dfrac{OQ}{OV}=\dfrac{2{,}4}{4{,}8}=\dfrac{1}{2}\)

Le triangle OPQ est donc une réduction de moitié du triangle OUV : il suffit de doubler ou de diviser par 2.

\(OU=2\times OP=2\times 2{,}5=5\) et \(QP=\dfrac{VU}{2}=\dfrac{3{,}6}{2}=1{,}8\)

OU = 5 cm et QP = 1,8 cm.

Exercice 40 :

Cas a. Les points A, B, N sont alignés dans le même ordre que A, C, M, avec AB = 10,5 cm, AN = 10,5 + 12 = 22,5 cm, AC = 7 cm et AM = 7 + 8 = 15 cm.

\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{10{,}5}{22{,}5}=\dfrac{7}{15}\) et \(\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{7}{15}\)

Les rapports sont égaux donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Cas b. Les points M, A, C sont alignés dans le même ordre que N, A, B (configuration en papillon), avec AM = 4 cm, AC = 6 cm, AN = 4,5 cm et AB = 7,2 cm.

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667\) et \(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{4{,}5}{7{,}2}=0{,}625\)

Les produits en croix \(4\times 7{,}2=28{,}8\) et \(6\times 4{,}5=27\) sont différents, donc les rapports ne sont pas égaux. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Exercice 41 (Thalès 3e corrigé)

L’œil O de la personne est à 1,65 m du sol. Le triangle HPO est rectangle en P, avec PO = 100 m et \(\widehat{HOP}=79{,}5^{\circ}\).

Dans ce triangle rectangle, \(\tan(\widehat{HOP})=\dfrac{HP}{PO}\), donc :

\(HP=100\times \tan(79{,}5^{\circ})\approx 539{,}55\)

La hauteur de la tour vaut HP augmentée de la hauteur de l’œil au-dessus du sol :

\(539{,}55+1{,}65\approx 541{,}2\)

La tour mesure environ 541 m.

Exercice 42 :

Sur le plan de coupe : AH = 2,80 m, HC = 0,80 m et CB = 1,5 m, le triangle AHB étant rectangle en H. Donc HB = 0,80 + 1,5 = 2,30 m.

a. Dans le triangle AHC rectangle en H : \(\tan(\widehat{HAC})=\dfrac{HC}{AH}=\dfrac{0{,}8}{2{,}8}\), d’où \(\widehat{HAC}\approx 15{,}9^{\circ}\). \(\widehat{HAC}\approx 16^{\circ}\).

b. Dans le triangle AHB rectangle en H : \(\tan(\widehat{HAB})=\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{2{,}3}{2{,}8}\), d’où \(\widehat{HAB}\approx 39{,}4^{\circ}\). \(\widehat{HAB}\approx 39^{\circ}\).

c. Le point C est à l’intérieur de l’angle \(\widehat{HAB}\), donc \(\widehat{CAB}=\widehat{HAB}-\widehat{HAC}\approx 39{,}4^{\circ}-15{,}9^{\circ}\approx 23{,}5^{\circ}\).

Avec les valeurs non arrondies on obtient 23,46°, donc \(\widehat{CAB}\approx 23^{\circ}\).

Exercice 43 (Thalès 3e corrigé)

Les droites (NM) et (AC) sont parallèles et les longueurs sont exprimées en cm.

Calculer la valeur de NM (donner la valeur exacte et la valeur approchée au millimètre).

On sait que (NM)//(AC), \(N\in[BA]\) et \(M\in[BC]\) ; d’après la partie directe du théorème de Thalès,

nous avons les égalités suivantes :

\(\frac{BM}{BC}=\frac{NM}{AC}\)

\(\frac{4}{6}=\frac{NM}{7}\)

en utilisant la règle du produit en croix :

\(NM=\frac{4\times 7}{6}=\frac{28}{6}\simeq 4,7cm\)

Valeur exacte : NM = 14/3 cm ; valeur approchée : NM ≈ 4,7 cm.

Exercice 44 :

Les droites (AD) et (CE) sont parallèles.

Calculer la valeur de CE (donner la valeur exacte et la valeur approchée au millimètre)

On sait que (AD)//(CE), \(B\in(AE);B\in(DC)\) d’après la partie directe du théorème de Thalès,

nous avons les égalités suivantes :

\(\frac{BE}{BA}=\frac{CE}{AD}\)

\(\frac{7}{8}=\frac{CE}{9}\)

\(CE=\frac{7\times 9}{8}=\frac{63}{8}\)

\(CE=7{,}875\) donc CE ≈ 7,9 cm au millimètre près.

Exercice 45 (Thalès 3e corrigé)

a. Le triangle AHS est rectangle en H, avec AS = 2 350 m et \(\widehat{SAH}=5^{\circ}\). On connaît l’hypoténuse et on cherche le côté opposé à l’angle : on utilise le sinus.

\(\sin(\widehat{SAH})=\dfrac{HS}{AS}\) donc \(HS=2350\times \sin(5^{\circ})\approx 204{,}82\)

HS ≈ 204,82 m (au centième près).

b. Le point H est à la même altitude que le géomètre (625 m), donc l’altitude du sommet S vaut :

\(625+204{,}82=829{,}82\)

Le sommet S est à une altitude d’environ 829,82 m.

Exercice 46 :

Sur la figure : LE = 6 cm, LI = 4 cm, IT = 3 cm et EI = 5,6 cm. Les points L, E, A sont alignés, ainsi que L, I, T, et (EI) // (AT). On a LT = LI + IT = 4 + 3 = 7 cm.

D’après le théorème de Thalès dans le triangle LAT :

\(\dfrac{LE}{LA}=\dfrac{LI}{LT}=\dfrac{EI}{AT}\) soit \(\dfrac{6}{LA}=\dfrac{4}{7}=\dfrac{5{,}6}{AT}\)

\(LA=\dfrac{6\times 7}{4}=10{,}5\) et \(AT=\dfrac{5{,}6\times 7}{4}=9{,}8\)

Arthur a raison (LA = 10,5 cm), mais Fatou se trompe : AT = 9,8 cm et non 10 cm.

Exercice 47 (Thalès 3e corrigé)

Notons O la fenêtre d’Océane, située à 35 m de haut, et S le début du stade. Le regard d’Océane passe juste par le haut du mur du collège le plus proche du stade (de hauteur h) et arrive en S.

La distance horizontale entre l’immeuble d’Océane et le stade vaut 20 + 40 + 45 = 105 m, et celle entre ce mur du collège et le stade vaut 45 m.

Les murs verticaux sont parallèles. Les points du sol et ceux de la ligne de visée sont alignés à partir de S. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{h}{35}=\dfrac{45}{105}\) donc \(h=\dfrac{35\times 45}{105}=15\)

Le collège mesure 15 m de haut.

Exercice 48 :

On utilise GE = 48 cm, GF = 60 cm, ED = 1,2 m = 120 cm et CF = 1,5 m = 150 cm (les longueurs ED et CF sont celles des deux pieds entiers).

G est sur les segments [ED] et [CF], donc :

\(GD=ED-GE=120-48=72\) et \(GC=CF-GF=150-60=90\)

Les points E, G, D et F, G, C sont alignés dans le même ordre.

\(\dfrac{GE}{GD}=\dfrac{48}{72}=\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{GF}{GC}=\dfrac{60}{90}=\dfrac{2}{3}\)

Les deux rapports sont égaux donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (CD) sont parallèles : le clavier est parallèle au sol.

Exercice 49 :

Les droites (DB) et (CE) se coupent en A et (DE) // (CB) : le triangle ADE est une réduction du triangle ABC, de coefficient \(k=\dfrac{AD}{AB}\).

Dans une réduction de coefficient k, les aires sont multipliées par \(k^2\). Donc :

\(k^2=\dfrac{19{,}2}{30}=0{,}64\) et, comme k est positif, \(k=\sqrt{0{,}64}=0{,}8\)

\(AD=k\times AB=0{,}8\times 10=8\)

AD = 8 cm.

Exercice 50 :

Les points J, B, N sont alignés, ainsi que A, B, C et D, C, N. Le parc AJDC est un rectangle : AJ = 45 m, JD = AC = 96 m et AB = 60 m.

Longueur JB. Le triangle JAB est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\(JB^2=JA^2+AB^2=45^2+60^2=2025+3600=5625\), donc \(JB=\sqrt{5625}=75\) m.

Longueur BN. On a BC = AC − AB = 96 − 60 = 36 m. Les droites (AJ) et (CN) sont toutes les deux perpendiculaires à (AC), donc elles sont parallèles. Les points J, B, N et A, B, C sont alignés. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{BN}{BJ}=\dfrac{BC}{BA}\) soit \(\dfrac{BN}{75}=\dfrac{36}{60}\), donc \(BN=\dfrac{75\times 36}{60}=45\) m.

Distance parcourue : \(NB+BJ=45+75=120\).

Noé va parcourir 120 m.

Exercice 51 :

Traduction de l’énoncé : trouver la hauteur h à laquelle la balle doit être frappée pour passer juste au-dessus du filet et retomber à 5 m du pied du filet (le schéma n’est pas à l’échelle).

Notons A le point où la balle touche le sol, N le pied du filet et P le point du sol situé sous la raquette. La balle suit une ligne droite de la raquette jusqu’à A en frôlant le haut du filet. Le filet (0,9 m) et la hauteur h sont verticaux, donc parallèles.

On a AN = 5 m et AP = 5 + 9 = 14 m. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{h}{0{,}9}=\dfrac{AP}{AN}=\dfrac{14}{5}\) donc \(h=\dfrac{0{,}9\times 14}{5}=2{,}52\)

La balle doit être frappée à une hauteur de 2,52 m.

Exercice 52 :

Sur le plan : AB = 300 m, AC = 400 m et CE = 1 000 m.

Longueur BC. Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\(BC^2=AB^2+AC^2=300^2+400^2=90000+160000=250000\), donc \(BC=500\) m.

Longueurs CD et DE. Les points A, C, E et B, C, D sont alignés, et (AB) // (DE). D’après le théorème de Thalès dans la configuration en papillon de centre C :

\(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DE}{AB}\) soit \(\dfrac{1000}{400}=\dfrac{CD}{500}=\dfrac{DE}{300}\)

\(CD=\dfrac{1000\times 500}{400}=1250\) m et \(DE=\dfrac{1000\times 300}{400}=750\) m.

Longueur du parcours : \(AB+BC+CD+DE=300+500+1250+750=2800\).

Le parcours ABCDE mesure 2 800 m, soit 2,8 km.

Exercice 53 :

1) Construction : on trace le segment [AM] de 8 cm ; on trace la perpendiculaire à (AM) passant par A ; avec le compas, on trace l’arc de cercle de centre M et de rayon 12 cm ; il coupe la perpendiculaire en I. On joint I à M.

2) Le triangle MAI est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\(IM^2=AM^2+AI^2\) soit \(144=64+AI^2\), donc \(AI^2=80\)

\(AI=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) cm (environ 8,94 cm).

3) R ∈ [MI], E ∈ [MA] et (RE) // (AI). D’après le théorème de Thalès dans le triangle MAI :

\(\dfrac{ME}{MA}=\dfrac{MR}{MI}\) soit \(\dfrac{ME}{8}=\dfrac{9}{12}\), donc \(ME=\dfrac{8\times 9}{12}=6\)

ME = 6 cm.

4) Dans le triangle MAI rectangle en A :

\(\cos(\widehat{AMI})=\dfrac{AM}{MI}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\)

À la calculatrice, \(\widehat{AMI}\approx 48{,}2^{\circ}\), donc \(\widehat{AMI}\approx 48^{\circ}\) au degré près.

Exercice 54 :

1) Figure : on trace un angle droit de sommet A ; on place D sur un côté à 5 cm de A et E sur l’autre à 3 cm ; on place B sur la demi-droite [AD) à 8 cm de A ; on trace la parallèle à (DE) passant par B, qui coupe (AE) en C.

2) Le triangle ADE est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\(DE^2=AD^2+AE^2=25+9=34\), donc \(DE=\sqrt{34}\approx 5{,}83\)

DE ≈ 5,8 cm (au mm près).

3) D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) // (BC). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\) soit \(\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{AC}\), donc \(AC=\dfrac{3\times 8}{5}=4{,}8\)

AC = 4,8 cm.

4) Avec la même égalité : \(BC=\dfrac{8\times \sqrt{34}}{5}\approx 9{,}33\). BC ≈ 9,3 cm (au mm près).

5) Dans le triangle ADE rectangle en A, le côté opposé à l’angle \(\widehat{AED}\) est AD et le côté adjacent est AE :

\(\tan(\widehat{AED})=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{5}{3}\)

6) À la calculatrice, \(\widehat{AED}\approx 59{,}04^{\circ}\), donc \(\widehat{AED}\approx 59^{\circ}\).

Exercice 55 :

1) Le triangle IJK est rectangle en I. D’après le théorème de Pythagore :

\(KJ^2=IJ^2+IK^2=3{,}6^2+4{,}8^2=12{,}96+23{,}04=36\), donc KJ = 6 cm.

2) I ∈ [KL], J ∈ [KM] et (IJ) // (LM). D’après le théorème de Thalès dans le triangle KLM :

\(\dfrac{KI}{KL}=\dfrac{KJ}{KM}\) soit \(\dfrac{4{,}8}{8}=\dfrac{6}{KM}\), donc \(KM=\dfrac{6\times 8}{4{,}8}=10\)

KM = 10 cm.

3) Dans le triangle IJK rectangle en I :

\(\cos(\widehat{IKJ})=\dfrac{IK}{KJ}=\dfrac{4{,}8}{6}=0{,}8\), d’où \(\widehat{IKJ}\approx 36{,}87^{\circ}\)

\(\widehat{IKJ}\approx 37^{\circ}\) à 1 degré près.

Exercice 56 :

1) Construction : on trace [AB] de 5 cm, puis la perpendiculaire à (AB) en A ; l’arc de cercle de centre B et de rayon 9 cm coupe cette perpendiculaire en C.

2) Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

\(BC^2=AB^2+AC^2\) soit \(81=25+AC^2\), donc \(AC^2=56\)

\(AC=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\) cm (environ 7,48 cm).

3) Le nom de l’angle a disparu de l’énoncé ; on calcule l’angle \(\widehat{ABC}\), dont on connaît le côté adjacent et l’hypoténuse :

\(\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{9}\), d’où \(\widehat{ABC}\approx 56{,}25^{\circ}\)

\(\widehat{ABC}\approx 56^{\circ}\) par défaut. L’autre angle aigu vaut alors \(\widehat{ACB}\approx 90^{\circ}-56{,}25^{\circ}=33{,}75^{\circ}\), soit 33° par défaut.

4) Le point M est sur [BC] avec BM = AB = 5 cm. N ∈ [BA], M ∈ [BC] et (MN) // (AC). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}\) soit \(\dfrac{BN}{5}=\dfrac{5}{9}\), donc \(BN=\dfrac{25}{9}\)

BN = 25/9 cm (environ 2,78 cm).

Exercice 57 :

1) Les points A, O, D et B, O, C sont alignés et (AB) // (CD). D’après le théorème de Thalès dans la configuration en papillon :

\(\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\) soit \(\dfrac{5}{9}=\dfrac{OB}{12}=\dfrac{AB}{15}\)

\(AB=\dfrac{5\times 15}{9}=\dfrac{25}{3}\) et \(OB=\dfrac{5\times 12}{9}=\dfrac{20}{3}\)

AB = 25/3 dm et OB = 20/3 dm.

2) Dans le triangle OCD : \(CD^2=15^2=225\) et \(OC^2+OD^2=12^2+9^2=144+81=225\).

Donc \(CD^2=OC^2+OD^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OCD est rectangle en O. Le tube [BC] est perpendiculaire à la droite (AD).

3) Dans le triangle OCD rectangle en O :

\(\sin(\widehat{OCD})=\dfrac{OD}{CD}=\dfrac{9}{15}=0{,}6\)

À la calculatrice, \(\widehat{OCD}\approx 36{,}87^{\circ}\), donc \(\widehat{OCD}\approx 37^{\circ}\).

Exercice 58 :

1) Construction : on trace [BC] de 7,5 cm, puis les arcs de cercle de centre B et de rayon 4,5 cm et de centre C et de rayon 6 cm ; leur point d’intersection est A.

2) Le plus grand côté est [BC] : \(BC^2=7{,}5^2=56{,}25\) et \(AB^2+AC^2=4{,}5^2+6^2=20{,}25+36=56{,}25\).

Donc \(BC^2=AB^2+AC^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

3) Le nom de l’angle a disparu de l’énoncé ; on calcule l’angle \(\widehat{ABC}\) :

\(\tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{4{,}5}\), d’où \(\widehat{ABC}\approx 53{,}13^{\circ}\)

\(\widehat{ABC}\approx 53^{\circ}\), et donc \(\widehat{ACB}\approx 90^{\circ}-53{,}13^{\circ}\approx 37^{\circ}\).

4) On a AN = AC − NC = 6 − 4 = 2 cm. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre.

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1{,}5}{4{,}5}=\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)

Les rapports sont égaux donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exercice 59 :

1) Construction : on trace [RT] de 7,5 cm, puis les arcs de cercle de centre R et de rayon 4,5 cm et de centre T et de rayon 6 cm ; leur point d’intersection est S. On laisse les arcs visibles.

2) Le plus grand côté est [RT] : \(RT^2=7{,}5^2=56{,}25\) et \(RS^2+ST^2=4{,}5^2+6^2=20{,}25+36=56{,}25\).

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S.

3) a) et b) Le cercle (C) de centre R et de rayon 4,5 cm coupe [RT] en K, donc RK = 4,5 cm et TK = 7,5 − 4,5 = 3 cm. On trace la parallèle d à (RS) passant par K ; elle coupe [TS] en L.

c) K ∈ [TR], L ∈ [TS] et (KL) // (RS). D’après le théorème de Thalès dans le triangle TRS :

\(\dfrac{TK}{TR}=\dfrac{KL}{RS}\) soit \(\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{KL}{4{,}5}\), donc \(KL=\dfrac{3\times 4{,}5}{7{,}5}=1{,}8\)

KL = 1,8 cm.

4) Dans le triangle RST rectangle en S : \(\tan(\widehat{STR})=\dfrac{RS}{ST}=\dfrac{4{,}5}{6}=0{,}75\), d’où \(\widehat{STR}\approx 36{,}87^{\circ}\).

\(\widehat{STR}\approx 37^{\circ}\) au degré près.

Exercice 60 :

On a OA = OB = OT = 4 cm (rayons de (C)) et, S étant le symétrique de O par rapport à A, SA = AO = 4 cm, donc OS = 8 cm.

1) a) Le point T appartient au cercle (C’) de diamètre [OS]. Si un point appartient au cercle de diamètre [OS], distinct de O et de S, alors le triangle formé avec O et S est rectangle en ce point. Le triangle SOT est rectangle en T.

b) La droite (ST) est perpendiculaire en T au rayon [OT] du cercle (C). La droite (ST) est donc tangente au cercle (C) en T.

2) Le nom de l’angle a disparu de l’énoncé ; on calcule l’angle \(\widehat{SOT}\) dans le triangle SOT rectangle en T :

\(\cos(\widehat{SOT})=\dfrac{OT}{OS}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\), donc \(\widehat{SOT}=60^{\circ}\), et par conséquent \(\widehat{OST}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\).

3) a) On trace la parallèle à (OT) passant par B ; elle coupe (ST) en P.

b) Les points S, A, O, B sont alignés dans cet ordre, donc SB = SO + OB = 8 + 4 = 12 cm. O ∈ [SB], T ∈ [SP] et (OT) // (BP). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{SO}{SB}=\dfrac{OT}{BP}\) soit \(\dfrac{8}{12}=\dfrac{4}{BP}\), donc \(BP=\dfrac{4\times 12}{8}=6\)

BP = 6 cm.

Thalès 3e corrigé : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, Thalès 3e corrigé en troisième demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Théorème de Thalès sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec volumes et sections : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.