Contrôle de maths spé : intégrales à paramètre et fonction Gamma

Exercice 1 : Question de cours : régularité d’une intégrale à paramètre (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans cet exercice, \(A\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\), \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : A \times I \to \mathbb{C}\).

1. Énoncez le théorème de continuité d’une intégrale à paramètre \(g(x) = \displaystyle\int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t\), avec l’hypothèse de domination. (1 point)
2. Énoncez le théorème de dérivation sous le signe intégrale, qui donne la classe \(C^1\) de \(g\) et l’expression de \(g^{\prime}\). (1 point)
3. On pose \(h(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xt}\,\mathrm{d}t\) pour \(x > 0\). Montrez qu’il n’existe aucune fonction intégrable \(\varphi\) sur \([0, +\infty[\) telle que \(e^{-xt} \leq\, \varphi(t)\) pour tout \(x > 0\) et tout \(t \geq\, 0\). Expliquez comment on prouve malgré tout la continuité de \(h\) sur \(]0, +\infty[\) par le théorème de a). (1 point)

Exercice 2 : Une intégrale gaussienne à paramètre (5 points)

On admet que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\). Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(xt)\,\mathrm{d}t\).

1. Montrez que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Montrez que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimez \(F^{\prime}(x)\) sous forme d’une intégrale. (1,5 point)
3. À l’aide d’une intégration par parties soigneusement justifiée, montrez que \(F^{\prime}(x) = -\dfrac{x}{2}\,F(x)\) pour tout réel \(x\). (1,5 point)
4. En déduire l’expression de \(F(x)\) pour tout réel \(x\). (1 point)

Exercice 3 : Une transformée de Laplace (4 points)

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(G(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-xt}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrez que \(G\) est définie et continue sur \([0, +\infty[\) et calculez \(G(0)\). (1 point)
2. Montrez que \(G\) est de classe \(C^2\) sur \(]0, +\infty[\) et que \(G^{\prime\prime}(x) + G(x) = \dfrac{1}{x}\) pour tout \(x > 0\). (1,5 point)
3. Montrez que \(0 \leq\, G(x) \leq\, \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\) et en déduire la limite de \(G\) en \(+\infty\). (0,5 point)
4. À l’aide du changement de variable \(u = xt\) et du théorème de convergence dominée, montrez que \(G(x) \sim \dfrac{1}{x}\) quand \(x \to +\infty\). (1 point)

Exercice 4 : Problème : la fonction Gamma d’Euler (8 points)

On pose, lorsque l’intégrale converge, \(\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t\).

1. Domaine. Montrez que \(t \mapsto t^{x-1} e^{-t}\) est intégrable sur \(]0, +\infty[\) si et seulement si \(x > 0\). (1 point)
2. Relation fonctionnelle. Montrez que \(\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)\) pour tout \(x > 0\), puis calculez \(\Gamma(n + 1)\) pour \(n \in \mathbb{N}\). (1 point)
3. Régularité. Montrez que \(\Gamma\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(]0, +\infty[\) et que, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), \(\Gamma^{(k)}(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} (\ln t)^k\, t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t\). On utilisera une domination sur tout segment \([a, b]\) inclus dans \(]0, +\infty[\). (2 points)
4. Convexité. Montrez que \(\Gamma\) est convexe, puis, à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que \(\Gamma^{\prime}(x)^2 \leq\, \Gamma(x)\,\Gamma^{\prime\prime}(x)\). En déduire que \(\ln \Gamma\) est convexe sur \(]0, +\infty[\). (1,5 point)
5. Variations. Montrez que \(\Gamma^{\prime}\) s’annule en un unique réel \(\alpha\) et que \(\alpha \in \,]1, 2[\). Dressez le tableau de variations de \(\Gamma\) et déterminez sa limite en \(+\infty\). (1 point)
6. Comportement en 0. Montrez que \(\Gamma(x) \sim \dfrac{1}{x}\) quand \(x \to 0^+\). (0,5 point)
7. Une valeur. À l’aide du résultat admis dans l’exercice 2, calculez \(\Gamma(\frac{1}{2})\), puis \(\Gamma(\frac{5}{2})\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : intégrales à paramètre et fonction Gamma

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrales à paramètre » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrales à paramètre.

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