Ce QCM de maths spé vérifie la maîtrise des compléments sur les groupes : sous-groupe engendré, groupes monogènes et cycliques, générateurs de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) et ordre d’un élément. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Compléments sur les groupes : groupes monogènes et ordre du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Groupes - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quels sont les sous-groupes du groupe \((\mathbb{Z},+)\) ?
Ales \(n\mathbb{Z}\) avec \(n \in \mathbb{N}\)
Bles \(n\mathbb{Z}\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\) seulement
Cles \(n\mathbb{Z}\) et les \(n\mathbb{Z} + 1\) avec \(n \in \mathbb{N}\)
Dles \(p\mathbb{Z}\) avec \(p\) premier, et \(\mathbb{Z}\)
Question 2
Combien le groupe \((\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+)\) possède-t-il de générateurs ?
A\(6\)
B\(11\)
C\(4\)
D\(5\)
Question 3
Quel est l’ordre de la classe \(\bar{8}\) dans le groupe \((\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+)\) ?
A\(4\)
B\(12\)
C\(8\)
D\(3\)
Question 4
Soit \(x\) un élément d’ordre fini \(d\) d’un groupe \(G\) de neutre \(e\). Pour \(n \in \mathbb{Z}\), l’égalité \(x^n = e\) équivaut à :
A\(n \geqslant d\)
B\(n = d\)
C\(d\) divise \(n\)
D\(n\) divise \(d\)
Question 5
Dans un groupe commutatif de cardinal \(15\), lequel des entiers suivants peut être l’ordre d’un élément ?
A\(2\)
B\(5\)
C\(6\)
D\(10\)
Question 6
Quel est l’ordre de \(e^{4i\pi/5}\) dans le groupe \((\mathbb{C}^*,\times)\) ?
Quel est le sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\) engendré par la partie \(\{12, 18\}\) ?
A\(36\mathbb{Z}\)
B\(6\mathbb{Z}\)
C\(216\mathbb{Z}\)
D\(2\mathbb{Z}\)
Question 9
Tout groupe monogène infini est isomorphe à :
A\((\mathbb{U},\times)\)
B\((\mathbb{Q},+)\)
C\((\mathbb{R},+)\)
D\((\mathbb{Z},+)\)
Question 10
Soit \(H\) et \(K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\). Laquelle des affirmations est toujours vraie ?
A\(H \cup K\) est le sous-groupe engendré par \(H\) et \(K\)
B\(H \cap K\) est un sous-groupe de \(G\)
C\(G \setminus H\) est un sous-groupe de \(G\)
D\(H \cup K\) est un sous-groupe de \(G\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de groupes en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les sous-groupes de \((\mathbb{Z},+)\), tous de la forme \(n\mathbb{Z}\) ;
le sous-groupe engendré par une partie et l’intersection de sous-groupes ;
les générateurs de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) : les classes \(\,\overline{k}\) avec \(k \wedge n = 1\) ;
l’ordre d’un élément et l’équivalence \(x^n = e \iff d \mid n\) ;
le théorème de Lagrange dans le cas commutatif et la classification des groupes monogènes.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe. Seule l’intersection l’est toujours : \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) contient \(2\) et \(3\) mais pas \(5\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour l’ordre d’un élément de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), retenez la formule \(\frac{n}{k \wedge n}\) et vérifiez-la sur un petit exemple. Pour prouver qu’un groupe fini est cyclique, cherchez un élément dont l’ordre égale le cardinal du groupe. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quelle différence entre groupe monogène et groupe cyclique ?
Un groupe monogène est engendré par un seul élément ; il est cyclique s’il est de plus fini. Un groupe monogène infini est isomorphe à \(\mathbb{Z}\), un groupe cyclique d’ordre \(n\) à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
Le théorème de Lagrange donne-t-il l’existence d’un élément de chaque ordre divisant \(|G|\) ?
Non. Il affirme seulement que l’ordre de tout élément divise le cardinal du groupe. Dans \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\), de cardinal \(4\), aucun élément n’est d’ordre \(4\).
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