Contrôle de maths spé : théorème spectral et matrices positives

Exercice 1 : Question de cours (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(n \geq\, 1\) est un entier, \(\mathbb{R}^n\) est muni de son produit scalaire canonique \(\langle x, y \rangle = {^t x\, y\) et de la norme associée. On note \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices symétriques réelles, \(\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\) celui des matrices symétriques positives (\(\langle Sx, x \rangle \geq\, 0\) pour tout \(x\)) et \(\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) celui des matrices symétriques définies positives (\(\langle Sx, x \rangle > 0\) pour tout \(x \neq 0\)).

1. Énoncez le théorème spectral, d’abord pour un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien, puis sous forme matricielle. (1 point)
2. Soit \(S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\). Démontrez que \(S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\) si et seulement si \(\operatorname{Sp}(S) \subset \mathbb{R}_+\). (2 points)
3. Énoncez et démontrez la caractérisation spectrale analogue de \(\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\). (1 point)

Exercice 2 : Diagonalisation orthogonale d’une matrice symétrique (4 points)

On considère la matrice

\[A = \begin{pmatrix} 2 -2 0 \\ -2 1 -2 \\ 0 -2 0 \end{pmatrix}.\]

1. Justifiez, sans aucun calcul, que \(A\) est diagonalisable dans une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\). (0,5 point)
2. Calculez le polynôme caractéristique de \(A\) et déterminez ses valeurs propres. (1 point)
3. Déterminez une matrice orthogonale \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A = P D\, {^t P\). (1,5 point)
4. La matrice \(A\) est-elle positive ? Déterminez l’ensemble des réels \(c\) tels que \(A + c I_3 \in \mathcal{S}_3^{++}(\mathbb{R})\). (1 point)

Exercice 3 : Matrices de Gram (3 points)

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(S = {^t A A\).

1. Montrez que \(S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). (1 point)
2. Montrez que \(\ker S = \ker A\). Déduisez-en que \(S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) si et seulement si \(A\) est inversible. (1 point)
3. Réciproquement, montrez que toute matrice de \(\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\) s’écrit \({^t B B\) avec \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). (1 point)

Exercice 4 : Quotient de Rayleigh (3 points)

Soit \(S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\), de valeurs propres \(\lambda_1 \leq\, \lambda_2 \leq\, \cdots \leq\, \lambda_n\) comptées avec multiplicité.

1. Démontrez que, pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\), \(\lambda_1 \|x\|^2 \leq\, \langle Sx, x \rangle \leq\, \lambda_n \|x\|^2\). (1,5 point)
2. Montrez que \(\lambda_n = \max\limits_{\|x\| = 1} \langle Sx, x \rangle\) et précisez en quels vecteurs ce maximum est atteint. (0,5 point)
3. Application : déterminez le maximum et le minimum de \(q(x, y, z) = 2x^2 + y^2 – 4xy – 4yz\) sur la sphère unité \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), ainsi que des points où ils sont atteints. On pourra utiliser l’exercice 2. (1 point)

Exercice 5 : Problème : racine carrée et décomposition polaire (6 points)

Ce problème construit la racine carrée d’une matrice symétrique positive, puis la décomposition polaire d’une matrice inversible. On note \(\mathcal{O}_n(\mathbb{R})\) le groupe orthogonal.

1. Soit \(S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). À l’aide du théorème spectral, construisez une matrice \(R \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\) telle que \(R^2 = S\). (1 point)
2. Soit \(R^{\prime} \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\) telle que \(R^{\prime 2} = S\). Montrez que \(R^{\prime}\) commute avec \(S\), puis que \(R^{\prime}\) laisse stable chaque sous-espace propre \(E_\lambda(S)\). En étudiant l’endomorphisme induit sur \(E_\lambda(S)\), montrez que \(R^{\prime} = R\). (1,5 point)
3. Soit \(M \in GL_n(\mathbb{R})\). Montrez qu’il existe un unique couple \((O, R) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) tel que \(M = OR\). (1,5 point)
4. Déterminez la décomposition polaire de \(M = \begin{pmatrix} 1 2 \\ -2 -1 \end{pmatrix}\) et donnez la nature géométrique de \(O\). (1 point)
5. Pour la matrice \(M\) de la question d, déterminez \(\max\limits_{\|x\| = 1} \|Mx\|\) et \(\min\limits_{\|x\| = 1} \|Mx\|\) ; décrivez l’image par \(M\) du cercle unité. (1 point)

Réviser avant le contrôle : théorème spectral et matrices positives

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Théorème spectral » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés théorème spectral.

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