Ce que vous trouverez dans ce livre
- 552 exercices sur 26 chapitres, du calcul immédiat au long problème
- Un renvoi de page relie chaque énoncé à son corrigé rédigé, et inversement
- Au moins un problème par chapitre, comme Stirling ou le laplacien discret
Chaque chapitre rassemble entre 19 et 23 énoncés de difficulté croissante. En réduction, on part des éléments propres d'une petite matrice 2×2, puis on aborde les polynômes caractéristiques de AB et BA et la matrice de permutation circulaire. Côté espaces euclidiens, on croise la matrice de Hilbert et l'inégalité de Hadamard. Les probabilités ne sont pas oubliées : test de dépistage, polynômes de Bernstein, lemme de Borel-Cantelli, collectionneur de vignettes, extinction d'une population.
Les solutions vont bien au-delà du résultat final. Elles détaillent chaque étape du raisonnement, et beaucoup se terminent par un point de méthode qui dégage le réflexe à retenir, par exemple recoller des calculs modulaires grâce au théorème chinois. Plusieurs corrections s'appuient sur des figures, notamment pour la convergence uniforme des suites de fonctions. Les solutions d'un chapitre sont toutes groupées après ses énoncés, ce qui évite de lire la réponse par mégarde.
Pour qui ?
Pour l'étudiant de MP ou MPI qui veut s'entraîner seul entre deux colles, vérifier sa rédaction et accumuler des réflexes avant les écrits.
Le programme, chapitre par chapitre
Pour chaque chapitre, le nombre d'exercices corrigés et quelques-uns de leurs thèmes.
| Chapitre | Quelques exercices | Nombre |
|---|---|---|
| Premier semestre | ||
| 1Compléments sur les groupes : groupes monogènes et ordre | Sous-groupes engendrés dans Z · Somme et intersection de sous-groupes de Z · Ordres des éléments de Z/12Z · Générateurs de Z/nZ · Ordre d'une matrice et d'une permutation | 20 ex. |
| 2Anneaux, idéaux, Z/nZ et algèbres | Inversibles de Z/nZ et calcul d'inverses · Calculs de l'indicatrice d'Euler · Puissances modulo n par le théorème d'Euler · Un système de trois congruences · Idéaux de Z et PGCD | 22 ex. |
| 3Éléments propres et polynôme caractéristique | Éléments propres d'une matrice d'ordre 2 · Polynôme caractéristique d'une matrice d'ordre 3 · Spectre à partir de la trace et du déterminant · Valeurs propres de l'inverse et d'un polynôme en A · Calculs par blocs | 22 ex. |
| 4Diagonalisation, trigonalisation et nilpotence | Diagonalisation d'une matrice 2×2 · Trois valeurs propres distinctes · Matrices non diagonalisables · Matrice de rotation sur R et sur C · Valeur propre double et matrice de passage | 22 ex. |
| 5Polynômes d'endomorphismes et Cayley-Hamilton | Polynômes minimaux de matrices simples · Sous-algèbre engendrée par un projecteur · Un polynôme annulateur de degré 2 · Inverse par Cayley-Hamilton · Cayley-Hamilton en dimension 2 | 21 ex. |
| 6Normes, espaces vectoriels normés et suites | Vérifier qu'une application est une norme · Distance associée à une norme · Comparaison des normes usuelles sur K^n · Boule unité d'une norme hexagonale · Boules unité des normes p | 23 ex. |
| 7Topologie d'un espace normé et continuité | Ouverts et fermés par image réciproque · Réunions et intersections infinies · Intérieur et adhérence dans R · Ouverts et fermés relatifs · Applications lipschitziennes et uniformément | 22 ex. |
| 8Compacité, connexité par arcs et dimension finie | Compacité par la définition séquentielle · Parties compactes du plan · Distance à un compact et à un fermé · Le groupe orthogonal est compact · Théorème de Heine et continuité uniforme | 19 ex. |
| 9Séries numériques et vectorielles | Divergence grossière et premières sommes · Séries télescopiques · Nature par équivalents · Règle de d'Alembert · Encadrement de la série harmonique | 21 ex. |
| 10Suites de fonctions : convergence simple et uniforme | Puissances de x sur [0,1] · Une bosse qui s'écrase · Calculs de normes infinies · Une bosse de hauteur presque constante · Sinus oscillants et dérivées | 21 ex. |
| 11Séries de fonctions | Convergence normale sur un intervalle adapté · Une série télescopique non uniformément · Dérivation terme à terme d'une somme explicite · Sommes des séries de terme général n x^n et n² · Calcul de ln 2 par intégration terme à terme | 19 ex. |
| 12Séries entières | Rayons par la règle de d'Alembert · Séries entières lacunaires · Rayons par comparaison · Lemme d'Abel et rayon de convergence · Produit de Cauchy et rayon d'une somme | 22 ex. |
| 13Fonctions vectorielles d'une variable réelle | Dérivabilité par coordonnées · Arche de cycloïde · Trace, transposée et sous-espaces · Fonctions de norme constante · Dérivée de la norme euclidienne | 22 ex. |
| 14Intégrales généralisées et fonctions intégrables | Intégrales de référence · Calculs directs par primitive · Exponentielles complexes · Comparaison de fonctions positives · Intégrabilité par équivalents aux bornes | 23 ex. |
| 15Convergence dominée et intégration terme à terme | Deux premières limites d'intégrales · Limite exponentielle sous l'intégrale · Domination par morceaux · Une suite sans domination · Limites avec un paramètre réel | 20 ex. |
| 16Intégrales à paramètre | Continuité sur un segment d'intégration · Nécessité de l'hypothèse de domination · Continuité sur un intervalle non borné · Domination sur des intervalles adaptés · Dérivation et fonction arctangente | 19 ex. |
| Second semestre | ||
| 17Ensembles dénombrables et espaces probabilisés | Une bijection explicite de N² sur N · Quelques ensembles dénombrables usuels · Polynômes à coefficients entiers et nombres algébriques · Suites de 0 et de 1 et argument diagonal · Parties finies et parties quelconques de N | 23 ex. |
| 18Variables aléatoires discrètes et lois usuelles | Une loi sur N* définie par une constante · Maximum et minimum de trois dés · Loi conjointe donnée par un tableau · Une loi conjointe produit · Premier six au lancer d'un dé | 22 ex. |
| 19Espérance, variance et loi faible des grands nombres | Loi géométrique par la formule des queues · Loi de Poisson et formule de transfert · Loi uniforme sur un ensemble d'entiers · Une variable d'espérance infinie · Somme et différence de variables de Poisson | 20 ex. |
| 20Fonctions génératrices | Fonctions génératrices de lois classiques · Lire une loi sur sa fonction génératrice · Espérance et variance par dérivation en 1 · Transformations d'une variable · Rayon égal à 1 et espérance infinie | 20 ex. |
| 21Adjoint et isométries d'un espace euclidien | Représentation de formes linéaires · Calcul d'adjoints dans des bases orthonormées ou · Adjoints sur un espace de matrices · Propriétés générales de l'adjoint · Plans stables par un endomorphisme de l'espace | 23 ex. |
| 22Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral | Perturbation de rang un de l'identité · Diagonalisation orthogonale d'une matrice 3 × 3 · Réduction d'une conique par le théorème spectral · Reconnaître un projecteur orthogonal · Projecteurs qui diminuent la norme | 22 ex. |
| 23Équations différentielles linéaires | Mise sous forme de système et forme intégrale · Deux équations scalaires d'ordre 1 · Principe de superposition · Wronskien d'une équation d'Euler · Structure de l'espace des solutions | 20 ex. |
| 24Exponentielle de matrice et systèmes différentiels | Exponentielles diagonales et nilpotentes · Matrices de la forme λI + N · Exponentielle d'une matrice de rotation · Exponentielle d'une matrice symétrique · Déterminant et spectre de l'exponentielle | 21 ex. |
| 25Calcul différentiel dans les espaces normés | Dérivée selon un vecteur par la définition · Dérivées directionnelles sans continuité · Matrices jacobiennes et composition · Norme euclidienne et forme quadratique · Une fonction de classe C¹ par ses dérivées | 22 ex. |
| 26Fonctions de classe C^k et optimisation | Points critiques d'un polynôme de degré 3 · Minimum d'une fonction quadratique · Hessienne et formule de Taylor-Young · Utiliser le théorème de Schwarz · Discussion par la trace et le déterminant | 21 ex. |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Chercher d'abord
Choisissez un exercice, cherchez-le cours fermé sur papier libre, en vous imposant une limite de temps avant toute aide.
Suivre le renvoi
Sous chaque titre, l'indication « Corrigé : page » vous mène directement à la solution ; le corrigé renvoie ensuite vers son énoncé.
Garder les réflexes
Les points de méthode placés en fin de corrigé méritent une fiche à part : relue avant une colle, elle rafraîchit les automatismes.
Refaire plus tard
Reprenez l'exercice raté quelques jours après, sans aide, jusqu'à pouvoir le rédiger d'une traite.
Questions des étudiants
Combien d'exercices compte ce recueil de spé ?
Il en contient 552, répartis sur les 26 chapitres de l'année, des groupes monogènes jusqu'aux fonctions de classe C^k et à l'optimisation. Chacun possède sa solution entièrement rédigée.
Comment énoncés et corrigés sont-ils disposés ?
Un chapitre présente la série complète de ses énoncés, suivie du bloc de ses solutions. Un renvoi de page dans les deux sens permet de passer de l'un à l'autre sans chercher.
Ces exercices conviennent-ils pour préparer les colles ?
Oui. Les exercices courts ressemblent à des questions de colle, tandis que les problèmes, comme le chiffrement RSA ou la caractérisation des lois de Poisson, entraînent aux épreuves écrites longues.
Le théorème spectral a-t-il ses propres exercices ?
Le chapitre 22 en propose 22 : réduction d'une conique, matrices de Gram, décomposition polaire, quotient de Rayleigh, diagonalisation simultanée, puis un problème sur le laplacien discret.
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